第7讲状态转移矩阵和强迫响应ppt课件

1、http:/ 2021-4-11Modern Control Thttp:/ xAxxx1、特征值法、特征值法Review2、幂级数假设法、幂级数假设法3、Laplace变换法可对应变换法可对应Matlab求解求解0*)(xxt0kAt!Aekkktilaplace()Laplaceinv()A-eye(n)*sssyms)(e11At变换、反矩阵求逆、特征矩阵申明变量AsILhttp:/ xAxxxReviewxxxxxxxxxAAPPAPPPP1111或n1tttneee1)0()()0()()0()(111xxxxxxPPetPetPettAtAtA111)(PPeePAPAAPPAtA

2、At或即特别地，特别地， 阵为如下的对角矩阵阵为如下的对角矩阵Ahttp:/ )()()()()()()(!2)()!1()(!2)()1(ffffffffnffnttettttnetettteteeteeteettnt!2)!1(!22)1(http:/ )( ,) ( ) tt tt xxt)(tx00t1t)(0tx)(1tx),(01tt阵制理论上叫状态转移矩数学上叫矩阵指数，控Ate),(0tteAt引申出http:/ )( , 0) ttteA00( ,) ttI211020( ,)( ,)( ,) tttttt100( ,)( , ) t ttt121221()( )( )( )

3、( )tttttt1( )()tt留意：eAteBt不一定等于e(A+B)t，除非AB=BA。0()00( ,)() t tt ttteA( )( )ttA 系统在形状转移过程中，既可以将系统的一步形状转移分解成多步形状转移，也可以将系统的多步形状转移等效为一步形状转移。 http:/ 幂级数法幂级数法 特征值、特征向量法特征值、特征向量法 拉氏变换法可利用形状图法求逆拉氏变换法可利用形状图法求逆 Cayley-Hamilton法法http:/ 在系统形状图上，把初始形状作为输入节点，Xi(s)作为输出节点，运用梅森公式可求得(sI-A)-1。例：系统的形状图如下，求形状转移矩阵1s1ssx)

4、0(1sx)0(2)(1sX)(2sX11解：运用梅森公式，由形状图可求得)0(11)0(21)1 ()(112111xssxssssX1)0()1()0()0(21)1 ()0(21)(221221112112sxsxsxssssxssssX11)1(111120)(sssAsItttAteteee0由 ，可知)0()()(1xxAsIhttp:/ 。根据Cayley-Hamilton定理有nnnnaaaAI111)(0)(i0)(111IaAaAaAAnnnn的线性组合。是具有同等地位，且和该式表明IAAAAAnnn,21i101110)()()()(nknnkkAtAtAtItAte可设

5、假设A有n个相异特征值，那么可有n个方程解n个待定系数。nittttenkninikikti,.,2 , 1)()()()(http:/ 当A有重特征值时，例如，A有一个m重特征值1和(n-m)个相异特征值j。对m重特征值1，利用求导建立m个方程：10111111121112110111101111101)()() 1()(2)()()()()()(111nkkkmmtmmnnnkkktnknnkkttddeddtntttddeddtttte又，其他(n-m)个特征值j，可建立(n-m)个方程。http:/ of Cayley-Hamilton Method4阶系统矩阵A有一个特征值2和一个3

6、重特征值1，其建立的Cayley-Hamilton方程如下：3232222101322213121313212110)()()()()(6)(2)(3)(2)()()()()(2111ttttettetttttettttetttt)()()()(162003210132103424412113121122111tttteetteetttt由此解出待定系数j(t)。http:/ . 015 . 05 . 025 . 1001)()()()()()(http:/ ()1(,0972.02325.002325.05032.001998.08319.01)1 (ttxx即tttteeteett2221

7、05 . 05 . 0)(,5 . 025 . 1)(, 1)(ttttttttttttttttnkkkAteeeeeeeeeeeeAeeAeeIAtet222222222102220205 . 05 . 05 . 025 . 11)5 . 05 . 0()5 . 025 . 1 (1)()(7603201003201000102AA，http:/ = Ax。,11)0( 时时x22( );ttetex,12)0( 时时x。 tteetx2)(自治系统自治系统求求,( ) tA( ) (0),) ttttx= ( x(A(1)(2)(1)(2)2212222222( )( )( )(0)(0)

8、122( )11121222( )1111222 ttttttttttttttttttttteeteeeeeeteeeeeeeeeeexxxx22tte出发点出发点谁来求系统矩阵谁来求系统矩阵A?写成矩阵方程写成矩阵方程代入数值代入数值http:/ xaxxx它的解是它的解是0( )exp()x txat思索非齐次微分方程思索非齐次微分方程0( ),(0) x taxbuxx()0e()e(e)ee(0)e( ) atatatattata txaxbudxbudtxxbud从从 0 到到 t 积分积分()0( )e(0)e( )tata tx txbud移项，乘积分因子移项，乘积分因子写成微分

9、方式写成微分方式Rhttp:/ )e(0)e( )tata tx txbud零输入呼应零输入呼应 & 零形状呼应零形状呼应非齐次微分方程非齐次微分方程0( ),(0) x taxbuxx1()0( )(0)( )( )(0)( )( )( )( )(0)(0)e( ) attata tsX sxaX sbU sxbU sX ssaU sx te xbLsaxebud零输入呼应零输入呼应其解为其解为零形状呼应零形状呼应自在呼应自在呼应强迫呼应强迫呼应Review)()()()(02121tdftfLsFsF拉普拉斯卷积定理http:/ )exp()ttxA x自治系统自治系统0(0)ux

10、Axbxx思索思索这是非齐次形状方程这是非齐次形状方程ttAAttAAtAtAtdbueetdbuetedttbueted0)(0)()0()()()0()()()(xxxxxxxxxxbxxAeeAeedtdueAeAtAtAtAtAtAhttp:/ )(0)( )( )( )()(0)()( )( )(0)()( )(0)( ) ttttsssU ssssU steLsU seeudAAAXxAXbXIAxIAbxxIAbxb()0( )(0)( )tttteeudAAxxb零输入呼应零输入呼应零形状呼应零形状呼应自在呼应自在呼应强迫呼应强迫呼应0(0)uxAhttp:/ xx( ) tx

11、1(0)21 x200000ttttteteeeeA知知初始形状初始形状形状矩阵是形状矩阵是Jordan矩阵矩阵11010tttteteeeJJhttp:/ )112Tttttteeex()0( )(0)( )tttteeudAAxxb2201(0)00200122 ttttttttteteeeeeteee Ax()0002022( )()0000100411422 ttttttttteudeu tdeeedeeeteedeee AAbb相加即得相加即得http:/ )( )( )231ttt xxu【分析】：零形状，单位阶跃。关键是求矩阵指数【分析】：零形状，单位阶跃。关键是求矩阵指数求如下

12、系统的零形状单位阶跃呼应求如下系统的零形状单位阶跃呼应()0( )(0)( )tttteeudAAxxb1、用拉氏变换求矩阵指数、用拉氏变换求矩阵指数2、套用形状方程求解的公式、套用形状方程求解的公式http:/ )( )( )231ttt xxu系统形状方程系统形状方程不要忘记验算不要忘记验算http:/ )( )( )231ttt xxu系统形状方程系统形状方程矩阵指数矩阵指数ttttttttttttttttttAttAAteeeeeeeedeedeeBdedBueet220)(2)(0)(2)(0)(2)(0)(2)(0)(0)(5 .05 .05 .0)2()()()0()(http:

13、/ 3 2/s 1- 电动伺服阀电动伺服阀放大器放大器油缸油缸位 移 传 感位 移 传 感器器11612 ssU(s)Y(s)【分析】要做两件事：【分析】要做两件事：1、求系统的、求系统的SS表达式；表达式；2、用形状空间法求单位阶跃呼应。务虚现的、用形状空间法求单位阶跃呼应。务虚现的时候，要给求呼应带来方便。时候，要给求呼应带来方便。http:/ ,1 1 10033T Abc6(1)(2)(3)363123ssssss26OLTF(611)s ss32( )6( )6116Y sU ssss 3 2/s 1- 电动伺服阀电动伺服阀放大器放大器油缸油缸位 移 传 感位 移 传 感器器11612 ssU(s)Y(s)系统的形状空间表达式为系统的形状空间表达式为0,(0) TuyxAxbxxc x其中其中实现并不独一，但对实现并不独一，但对角型求呼应最方便。角型求呼应最方便。http:/ )0000tttetee0( )( ) (0)()( )ttttudxxb deeetttt 3630000000)(3)(2)( ttttttte