大一高数课件

1、大一高数第六节第六节 隐函数的导数隐函数的导数 由参数方由参数方程所确定的函数的导数程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 一、隐函数的导数一、隐函数的导数 二、对数求导法二、对数求导法 三、三、由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 四、相关变化率四、相关变化率 五、小结五、小结大一高数一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导

2、? ?隐函数求导法则隐函数求导法则: : 用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导. .大一高数例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 大一高数例例2 2.,)23,23(,333在在该该点点的的法法线线通通过过原原点点并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程上上点点求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC

3、 解解,求求导导方方程程两两边边对对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为, xy 即即显然通过原点显然通过原点. .大一高数例例3 3.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对 x)1(04433 yyyxyx得得代代入入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16

4、110 yxy大一高数二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu大一高数例例4 4解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求求导导得得上上式式两两边边对对x142)1(3111 xxxyy.,)4(

5、1)1(23yexxxyx 求求设设大一高数例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 大一高数一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 大一高数三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的

6、函数的导数.,)()(参参数数方方程程所所确确定定的的函函数数称称此此为为由由间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?t大一高数),()(1xttx 具具有有单单调调连连续续的的反反函函数数设设函函数数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxd

7、tdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx 大一高数,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx dtdxdtyddxdydxddxyd )(22,)()(三阶可导三阶可导若函数若函数 tytx 同理同理dtdxdtyddxdydxddxyd )(233大一高数例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .2)cos1()sin(处处的的切切线线方方程程在在求求摆摆线线 ttayttax大一高数.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即

8、大一高数例例7 7.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv 大一高数解解xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt ,21sin,cos200gttvy

9、tvx 大一高数轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 大一高数例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan dtdxdtyddxyd 22)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tat

10、sin3sec4 大一高数四、相关变化率四、相关变化率.,)()(化化率率称称为为相相关关变变化化率率这这样样两两个个相相互互依依赖赖的的变变之之间间也也存存在在一一定定关关系系与与从从而而它它们们的的变变化化率率某某种种关关系系之之间间存存在在与与而而变变量量都都是是可可导导函函数数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? ?大一高数例例9 9解解?,500./140,500少少视视线线的的仰仰角角增增加加率率是是多多观观察察员员米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速

11、速率率为为米米处处离离地地面面铅铅直直上上升升一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的的仰仰角角为为观观察察员员视视线线其其高高度度为为秒秒后后设设气气球球上上升升, ht500tanh 求求导导得得上上式式两两边边对对 tdtdhdtd 5001sec2 米米500h米米500大一高数,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米米时时当当h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率大一高数例例1010解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小时时上上升升几几米米米米时时问问水水深深的的水水槽槽顶顶角角为为米米形形状状是是长长为为水水库库秒秒的的体体流流量

12、量流流入入水水库库中中米米河河水水以以则则水水库库内内水水量量为为水水深深为为设设时时刻刻),(),(tVtht234000)(htV 0604000m大一高数求求导导得得上上式式两两边边对对 tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米 dtdV小小时时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率,20米时米时当当 h大一高数五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导; ;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数, ,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导; ;参数方程求导参数方程求导: :

13、实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则; ;相关变化率相关变化率: : 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链式求导法求解用链式求导法求解. .大一高数思考题思考题设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？大一高数思考题解答思考题解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 大一高数练练 习习 题题大一高数 ttyttxsincos3、曲线曲线 在在 处的法线方程处的法线方程_.

14、2 t4、已知已知 ,则则 =_； =_. teytexttsincosdxdy3 tdxdy5、设设 ,则则 =_.yxexy dxdy大一高数大一高数大一高数五、求由参数方程五、求由参数方程 所确定的函数的三阶导数所确定的函数的三阶导数 .六、设六、设 满足满足 ，求，求 . ttytxarctan)1ln(233dxyd)(xfxxfxf3)1(2)( )(xf 大一高数七七 、 在在 中中 午午 十十 二二 点点 正正 甲甲 船船 的的6 6 公公 里里/ /小小 时时 的的 速速 率率 向向东东 行行 驶驶 ，乙乙 船船 在在甲甲 船船 之之 北北 1 16 6 公公里里 ，以以 8

15、 8 公公里里/ /小小时时 的的 速速 率率向向 南南 行行驶驶 ，问问 下下午午 一一 点点正正 两两 船船相相距距 的的 速速率率 为为 多多 少少 ？ 八八 、 水水 注注 入入 深深 8 8 米米 ， 上上 顶顶 直直径径 8 8 米米的的 正正 圆圆锥锥 形形 容容器器 中中 ，其其 速速 率率 为为每每 分分 钟钟 4 4 立立 方方 米米，当当 水水深深 为为 5 5 米米时时 ，其其表表 面面 上上 升升 的的 速速 率率 为为 多多 少少 ？ 大一高数一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yxcyx ； 3 3、32