第九章第8讲二项分布及其应用

1、第 8 讲二项分布及其应用1条件概率条件概率的定义条件概率的性质设 A、 B 为两个事件， 且 P(A)0，称 P(B|A)P（AB）P（A）为在事件 A发生的条件下， 事件 B 发生的条件概率(1)0P(B|A)1(2)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A).2.事件的相互独立性(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立(2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B)如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与B，A与 B，A

2、与B也相互独立3独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的 n次试验称为 n 次独立重复试验在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是p， 此时称随机变量X服从二项分布，记作 XB(n，p)，并称 p 为成功概率计算公式用 Ai(i1，2，n)表示第 i 次试验结果，则P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(An)在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 k次的概率为 P(Xk)Cknpk(1p)nk(k0，1，2，n)做一做1若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)P(F)14，则 P(EF)的值等于_

3、答案：1162设随机变量 XB6，12 ，则 P(X3)等于_答案：5161辨明两个易误点(1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥(2)P(B|A)是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，而 P(A|B)是在 B 发生的条件下 A 发生的概率2理解事件中常见词语的含义：(1)A，B 中至少有一个发生的事件为 AB；(2)A，B 都发生的事件为 AB；(3)A，B 都不发生的事件为 AB；(4)A，B 恰有一个发生的事件为 ABAB；(5)A，B 至多一个发生的事件为 ABAB AB.做一做3已知 P

4、(B|A)12，P(AB)38，则 P(A)等于()A.316B.1316C.34D.14解析：选 C.由 P(AB)P(A)P(B|A)，可得 P(A)34.4投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A， “骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一个发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解析：选 C.依题意，得 P(A)12，P(B)16，且事件 A，B 相互独立，则事件 A，B 中至少有一个发生的概率为 1P(AB)1P(A)P( B)11256712，故选 C.考点一_条件概率_如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的

5、内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 P(B|A)_解析依题意得，P(A)2 22，P(AB)121112，则由条件概率的意义可知，P(B|A)P（AB）P（A）14.答案14规律方法条件概率的两种求解方法：(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)P（AB）P（A）求 P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A)n（AB）n（A）.1.在 10 个球中有

6、6 个红球和 4 个白球(除颜色外完全相同)，不放回地依次摸出 2 个球，在第一次摸到红球的条件下，求第二次也摸到红球的概率解：记 A 表示“第二次摸到红球”，B 表示“第一次摸到红球”，则 A|B 表示“第一次摸到红球，第二次又摸到红球”法一：直接利用 A|B 的含义求解由题意，事件 B 发生后，袋中还有 9 个球，其中 5 个红球，4 个白球，则 A 发生的概率为59，即 P(A|B)59.法二：用公式求解P(B)61035， 而 AB 表示两次都摸到红球， 则 P(AB)C26C21013， 所以 P(A|B)P（AB）P（B）133559.考点二_相互独立事件的概率_(2014高考陕西

7、卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；(2)若在这块地上连续 3 季种植此作物， 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率解(1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg” ，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” ，由题设知 P(A)0.5，P(B)0.4，利润产量市场价格成本X 所有可能的取值为5001

8、01 0004 000，50061 0002 000，300101 0002 000，30061 000800.P(X4 000)P( A)P(B)(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P( A)P(B)P(A)P( B)(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以 X 的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设 Ci表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i1，2，3)，由题意知 C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1，2，

9、3)，3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1C2C3)P(C1C2C3)30.820.20.384，所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.5120.3840.896.规律方法求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算2.(2015湖北武汉调研)某次飞镖比赛中，规定每人至多发射三镖在 M 处每射中一镖得 3 分，

10、在 N 处每射中一镖得 2 分，如果前两次得分之和超过 3 分即停止发射，否则发射第三镖某选手在 M 处的命中率 q10.25，在 N 处的命中率为 q2.该选手选择先在M 处发射一镖，以后都在 N 处发射，用 X 表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为X02345P0.03P1P2P3P4(1)求随机变量 X 的分布列；(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过 3 分的概率与选择都在 N 处发射飞镖得分超过 3 分的概率的大小解：(1)设该选手在 M 处射中为事件 A，在 N 处射中为事件 B，则事件 A，B 相互独立，且 P(A)0.25，P(A)0.75，P(B)q2，P( B

11、)1q2.根据分布列知：当 X0 时，P( ABB)P( A)P(B)P(B)0.75(1q2)20.03，所以 1q20.2，q20.8.当 X2 时，P1P( AB B ABB)P( A)P(B)P( B)P( A)P( B)P(B)0.75q2(1q2)20.24，当 X3 时，P2P(ABB)P(A)P( B)P(B)0.25(1q2)20.01，当 X4 时，P3P( ABB)P(A)P(B)P(B)0.75q220.48，当 X5 时，P4P(A BBAB)P(ABB)P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)0.25q2(1q2)0.25q20.24.所以随机变量 X 的

12、分布列为：X02345P0.030.240.010.480.24(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过 3 分的概率为 0.480.240.72.该选手选择都在 N 处发射飞镖得分超过 3 分的概率为P( BBBB BBBB)P( BBB)P(BBB)P(BB)2(1q2)q22q220.896.所以该选手选择都在 N 处发射飞镖得分超过 3 分的概率大考点三_独立重复试验与二项分布(高频考点)_独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容， 也是高考命题的热点， 多以解答题的形式呈现，试题难度较大，多为中高档题目高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度：(1)已知二项分布，求

13、二项分布列；(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下的概率(2014高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解(1)X 可能的取值为 10，20，100，200.根据题意，有P(X10)P(X

14、20)C23122112138，P(X100)C33123112018，P(X200)C03120112318.所以 X 的分布列为X1020100200P38381818(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1，2，3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)118311512511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.规律方法(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、 各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且

15、任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的各次试验中的事件是相互独立的每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数3.某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后第 2 位)：(1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率；(2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率；(3)5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率解：令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数，则 XB5，45 ，故其分布列为 P(Xk)Ck545k1455k(k0，1，2，3，4，5)(1)“5 次

16、预报中恰有2 次准确”的概率为P(X2)C25452145310162511250.05.(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率为 P(X2)1P(X0)P(X1)1C054501455C1545145410.000 320.006 40.99.(3)“5 次预报中恰有 2 次准确， 且其中第 3 次预报准确”的概率为 02.方法思想辨明事件的属性，正确求解概率的综合问题(2014高考山东卷)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分为两个不相交的区域 C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次

17、，落点在 C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分对落点在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C 上的概率为12，在 D 上的概率为13；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为15，在 D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望解(1)记 Ai为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i0，1，3)，则 P(A3)12，P(A1)13，P(A0)1121316.记 Bj为事件“小明对落点在

18、B 上的来球回球的得分为 j 分”(j0，1，3)，则 P(B3)15，P(B1)35，P(B0)1153515.记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)1215131516351615310，所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量可能的取值为 0，1，2，3，4，6，由事件的

19、独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)1615130，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)1315163516，P(2)P(A1B1)133515，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)12151615215，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)123513151130，P(6)P(A3B3)1215110.可得随机变量的分布列为：012346P13016152151130110所以数学期望 E()013011621532154113061109130.名师点评对于概率问题的综合题，首先要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概

20、型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次判断事件是 AB还是 AB 事件，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床生产的正品率是 0.9，乙机床生产的正品率是 0.95.(1)从甲机床生产的产品中任取 3 件，求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答)；(2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件，求其中至少有 1 件正品的概率(用数字作答)解：(1)任取甲机床生产的 3 件产品中恰有 2 件正品的概率为 pC

21、230.920.10.243.(2)法一：设“任取甲机床生产的 1 件产品是正品”为事件 A， “任取乙机床生产的 1 件产品是正品”为事件 B，则任取甲、乙两台机床生产的产品各 1 件，其中至少有 1 件正品的概率为：P(AB)P(A B)P(AB)0.90.950.90.050.10.950.995.法二：设“任取甲机床生产的 1 件产品是正品”为事件 A， “任取乙机床生产的 1 件产品是正品”为事件 B，运用对立事件的概率公式，可知所求的概率为：1P( AB)10.10.050.995.1(2015包头模拟)某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为45，那么播下 3 粒这样的种子恰有

22、 2 粒发芽的概率是()A.12125B.16125C.48125D.96125解析：选 C.用 X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布 XB3，45 ，P(X2)C2345215148125.2(2014高考课标全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8B0.75C0.6D0.45解析： 选 A.已知连续两天为优良的概率是 0.6， 那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得 P0.60.750.8

23、.3 (2015广州调研)设事件 A 在每次试验中发生的概率相同， 且在三次独立重复试验中，若事件 A 至少发生一次的概率为6364，则事件 A 恰好发生一次的概率为()A.14B.34C.964D.2764解析：选 C.假设事件 A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为 p，由题意得，事件 A 发生的次数 XB(3，p)，则有 1(1p)36364，得 p34，则事件 A 恰好发生一次的概率为 4从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)()A.18B

24、.14C.25D.12解析： 选 B.P(A)C23C22C2525， P(B)C22C25110， 又 AB， 则 P(AB)P(B)110， 所以 P(B|A)P（AB）P（A）P（B）P（A）14.5如果 XB15，14 ，则使 P(Xk)取最大值的 k 值为()A3B4C5D3 或 4解析：选 D.观察选项，采用特殊值法P(X3)C3151433412，P(X4)C4151443411，P(X5)C5151453410，经比较，P(X3)P(X4)P(X5)，故使 P(Xk)取最大值时 k3 或 4.6 事件 A， B， C 相互独立， 如果 P(AB)16， P(BC)18， P(A

25、BC)18， 则 P(B)_，P( AB)_解析：由P（A）P（B）16，P（B）P（C）18，P（A）P（B）P（C）18，得 P(A)13，P(B)12.P(AB)P(A)P(B)231213.答案：12137某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18，19，20 层停靠，若该电梯在底层有 5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为13，用表示 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数，则 P(4)_解析：考查一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，这是 5 次独立重复试验，故B5，13 ，即有 P(k)Ck513k235k，k0，1，2，3，4，5.故 P(4)C4513423

26、110243.答案：102438已知甲有 5 张红卡、2 张蓝卡和 3 张绿卡，乙有 4 张红卡、3 张蓝卡和 3 张绿卡他们分别从自己的 10 张卡片中任取一张进行打卡游戏比赛设事件 A1，A2，A3表示甲取出的一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡；事件 B 表示乙取出的一张卡是红卡，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)P(B)13；P(A1|B)23；事件 B 与事件 A1相互独立；A1，A2，A3是彼此相互独立的事件；A1，A2，A3是两两互斥的事件解析：因为 P(B)41025，所以错误；因为事件 B 与事件 A1相互独立，所以 P(A1|B)P(A1)51012，所以错误，正确；

27、A1，A2，A3是两两互斥的事件，所以错误，正确答案：9抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”(1)求 P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率解：(1)P(A)2613.两颗骰子的点数之和共有 36 个等可能的结果，点数之和大于 8 的结果共有 10 个P(B)1036518.当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个，故 P(AB)536.(2)由(1)知 P(B|A)P（AB）P（A）53613512.10

28、在一次数学考试中，第 21 题和第 22 题为选做题规定每位考生必须且只须在其中选做一题设 4 名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为，求的概率分布列解：(1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题”，事件 B 表示“乙选做第 21 题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB AB” ，且事件 A、B 相互独立故 P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B)1212(112)(112)12.(2)随机变量的可能取值为 0，1，2，3，4，且B(4，12)则 P(k)Ck4(12)k(112)4k

29、Ck4(12)4(k0，1，2，3，4)P(0)C04(12)4116，P(1)C14(12)414，P(2)C24(12)438，P(3)C34(12)414，P(4)C44(12)4116.故变量的分布列为：01234P1161438141161某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，活动规则如下：顾客消费额每满 100 元就可抽一次奖，例如：顾客消费额为 299 元可抽奖两次，所得奖金金额是两次抽奖获得的奖金金额的和顾客每一次抽奖，得 100 元奖金的概率为110，得 50 元奖金的概率为15，得 10元奖金的概率为710.(1)如果某位顾客恰好消费了 100 元，并按规则参与抽奖活动，求

30、该顾客得到的奖金金额不低于 20 元的概率；(2)假设某位顾客消费额为 230 元， 并按规则参与抽奖活动， 所获得的资金金额为 X(元)，求 X 的分布列解：设顾客抽奖一次，获得奖金为 100 元、50 元、10 元分别为事件 A、B、C，根据题意得 P(A)110，P(B)15，P(C)710.(1)如果某位顾客恰好消费了 100 元，根据规则，该顾客可抽一次奖，得到的奖金金额不低于 20 元为事件“AB”，根据题意得 P(AB)P(A)P(B)310，该顾客得到的奖金金额不低于 20 元的概率为310.(2)假设某位顾客消费额为 230 元，由题意，该顾客可抽奖两次，设所获得的奖金金额为 X(元)，则 X 的所有可能取值为：20，60，100，110，150，200.根据题意得：P(X20)P(C)P(C)49100；P(X60)2P(B)P(C)725；P(X100)P(B)P(B)125；P(X110)2P(A)P(C)750；P(X150)2P(A)P(B)125；P(X200)P(A)P(A)1100.故 X 的分布列为：X2060100110150200P4910072512575012511002.(2015四川成都模拟)某人向一目标射击 4 次，每次击中目标的概率