3.1-3.2向量概念和线性关系ppt课件

1、1二二. 向量间的线性关系向量间的线性关系三三. 向量组的秩向量组的秩一一. n维向量维向量四四. . 向量空间向量空间第第3 3章章 向量与向量空间向量与向量空间23.1 n维向量确定小鸟的飞行状态，需要确定小鸟的飞行状态，需要以下若干个参数：以下若干个参数：小鸟重心在空间的位置参数小鸟重心在空间的位置参数小鸟身体的水平转角小鸟身体的水平转角小鸟身体的仰角小鸟身体的仰角鸟翼的转角鸟翼的转角所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 mtx y z ( , , )P x y z小鸟身体的质量小鸟身体的质量m m鸟翼的振动频率鸟翼的振动频率t t

2、还有还有 31.n 维维向向量量的的概概念念12 , . nina aanianin维维向向量量个个有有次次序序的的数数所所组组成成的的数数组组称称为为，这这 个个数数称称为为该该向向量量的的 个个第第分分量量，第第 个个个个分分数数称称为为量量定定义义1 1分分量量全全为为实实数数的的向向量量称称为为实实向向量量，.分分量量全全为为复复数数的的向向称称为为复复向向量量量量例例如如：(1,2,3, ) nn维维实实向向量量(12 ,23 ,(1) )iinni 2第第 个个分分量量n维维复复向向量量1第第 个个分分量量n第第 个个分分量量4, , ,a bn 维维向向量量写写成成一一行行，称称

3、为为，也也就就是是列列向向列列矩矩阵阵，通通常常量量用用等等表表示示，如如：2.n 维维向向量量的的表表示示方方法法,TTTTabn 维维向向量量写写成成一一行行，称称为为，也也就就是是行行矩矩行行阵阵，通通常常用用向向量量等等表表示示，如如：12(,)Tnaa aa 12naaaa 0,0,0分分量量全全为为零零的的向向量量称称为为零零向向量量。行行向向量量和和列列向向量量总总被被看看作作是是两两个个不不同同注注意意：的的向向量量；行行向向量量和和列列向向量量都都按按照照矩矩阵阵的的运运算算法法则则进进行行运运算算；.当当没没有有明明确确说说明明是是行行向向量量还还是是列列向向量量时时，都都

4、当当作作列列向向量量5若若干干个个同同维维数数的的列列向向量量（或或同同维维数数的的行行向向量量）所所组组成成的的集集合合叫叫做做向向量量组组3. 向向量量、向向量量组组与与矩矩阵阵例例如如：()ijm nAanm 矩矩阵阵有有 个个维维列列向向量量12,na aaA矩矩阵阵 的的向向量量组组称称为为列列向向量量组组,()ijm nAamn 类类似似地地 矩矩阵阵又又有有个个 维维行行向向量量 aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1a2ajana1a2ajan6111212122212nnmmmnAaaaaaaaaa 12,TTTmaaaA矩矩阵阵 的的

5、向向量量组组称称为为行行向向量量组组 T1 T2 Tm.反反之之，由由有有限限个个向向量量所所组组成成的的向向量量组组可可以以构构成成一一个个矩矩阵阵12(,)mA 12,nnmmn 个个维维列列向向量量所所组组成成的的向向量量组组构构成成一一个个矩矩阵阵12TTTmB 12,TTTmmnmn 个个 维维行行向向量量所所组组成成的的向向量量组组构构成成一一个个矩矩阵阵71212(,)(,) (1,2, ) nniina aab bbabin 如如果果 维维向向量量与与的的对对应应分分量量都都相相等等，即即就就称称这这两两个个向向量量相相等等，记记向向为为量量相相等等：.n二二 维维向向量量的的

6、运运算算 11221212,nnnnab ababa aab bb 向向量量称称为为向向量量的的向向量量加加法法和和：，记记为为 12,naaa ：向向量量称称为为向向量量负负向向量量的的负负向向量量() ：向向量量减减法法：两两个个向向量量只只有有维维数数相相同同时时，才才能能进进行行加加法法和和减减注注意意法法运运算算！ 1212(,),Tnnkka kakaa aakk ：设设 是是一一个个数数，向向量量称称为为向向量量与与数数 的的数数量量乘乘乘乘向向积积。记记为为数数量量向向量量的的加加法法与与数数乘乘运运算算统统向向量量的的称称为为线线性性运运算算8满满足足运运算算律律： (1)(

7、2)()()(3)0(4)0 (5)1(6) ()()(7)(8)k lklklklkkk 1o ：（）对对任任意意的的向向量量 ，存存在在唯唯一一的的零零向向量量 ，使使得得注注意意40,00（ ）如如果果则则或或300; ( 1); 00. （ ） 2()o （ ）对对任任意意的的向向量量 ，存存在在唯唯一一的的负负向向量量- - ，使使得得9 向向量量之之间间除除了了运运算算关关系系还还存存在在着着各各种种关关系系，其其中中最最主主要要的的关关系系是是向向量量组组的的线线性性相相关关与与线线性性无无关关。111212212122, , ,.mmmmmmknkkkkkkkk 设设为为 维维

8、向向量量组组， ， ，是是一一组组实实数数，则则表表达达式式 称称为为 定定义义向向量量组组，的的一一个个，而而， ，称称为为这这个个线线性性组组1 1 合合合合 线线性性的的组组系系数数12121122,mmmmkkk 若若向向量量是是向向量量组组的的一一个个线线性性组组合合 即即 则则称称可可由由向向量量组组线线性性表表示示。一一、线线性性组组合合，线线性性表表示示3.2 向量间的线性关系10例例如如：12342100050100,3001000001 210005010025303001000001 有有1234=2530 即即12341234 , 所所以以，称称 是是的的一一个个线线性

9、性组组合合，或或 可可以以由由线线性性表表示示. .1112(1,0,1)(2,3,0) ,(1,2,0)TTT向向量量不不能能由由向向量量组组线线性性表表示示. .12122211221122,(,),(, ).mmmmmmmmABkkkkkk 1 11 1 若若以以向向量量为为列列的的矩矩阵阵经经初初等等变变换换 变变成成以以向向量量为为列列的的矩矩阵阵则则12,m 判判断断向向量量 可可否否由由向向量量组组线线性性表表示示的的定定理理。112210.kk 事事实实上上，若若假假设设，则则将将推推出出矛矛盾盾：,.?由由此此可可见见 有有的的向向量量可可由由某某一一向向量量组组线线性性表表

10、示示 而而有有的的则则不不行行那那么么如如何何判判断断一一个个向向量量能能否否由由某某一一个个向向量量组组线线 性性表表示示呢呢 12()()(,),()mAR AR BAa aaBA 向向量量 可可由由向向量量组组 线线性性表表示示 定定理理3 3. .其其2 2. .中中1 1 1212311123(1 21 3) ,(2,4, 2,6) ,(2, 1,1,3) ,(4,3,0,3) ,?TTTT 设设， ， ，试试问问能能否否由由线线性性表表出出 如如能能请请写写出出其其 例例1 1 表表达达式式。 解解： 因因为为2131412312311224122424130055(,)12100

11、03436330099rrrrrr 3242359512240055,00010000rrrr 1231123(,)3,(,)2,RR 1123, 不不能能否否由由线线性性表表出出。1312312311111220,21432301,. 设设证证明明向向量量 能能由由向向量量组组线线性性表表示示 并并求求 例例2 2出出表表示示式式 2131412211111111103212-1001210121214301210000230101210000rrrrrrrB 证证：12312()(),2.R AR B 因因此此，向向量量 能能由由向向量量组组，线线性性表表示示。且且表表达达式式为为 141

12、、线线性性相相关关性性的的概概念念12121122:,0mmmmkkAk kkAk 定定给给定定向向量量组组如如果果存存在在不不全全为为零零的的数数使使 则则线线性性相相关关称称向向量量组组 是是的的，否否则则称称它它义义2 2 线线性性无无关关1211122 , 1. ,0,0.nnnn 若若线线性性无无关关 则则只只有有当当时时 才才有有注注：成成立立意意二二、线线性性相相关关与与线线性性无无关关,. 2.对对于于任任一一向向量量组组 不不是是线线性性无无关关就就是是线线性性相相关关 ,0 .,0,.3 向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量时时 若若则则说说线线性性相相关关 若若则则说

13、说线线性性无无关关4. .包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量组组是是线线性性相相关关的的1212,.5. 两两个个向向量量线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是与与的的对对应应分分量量成成 比比例例，几几何何意意义义是是两两向向量量共共线线152、线线性性相相关关性性的的判判断断,:关关于于向向量量的的线线性性相相关关与与线线性性表表示示之之间间的的相相互互关关系系 有有下下面面的的定定理理 1212,2,1mmmm 向向量量组组()()线线性性相相关关中中至至少少有有一一个个向向量量可可由由其其定定理理余余个个向向量量3.2.33.2.3线线性性表表示示证证明明：充充分分性性1122

14、11mmm 不不妨妨设设 11221110.mmm 故故 121,( 1)0m 因因不不全全为为 ，12,m 故故线线性性相相关关. .120,mk kk 则则有有不不全全为为 的的数数使使12,m 因因为为线线性性相相关关，必必要要性性10,k 不不妨妨设设则则32123111.mmkkkkkk 1122 0mmkkk 1. 即即能能由由其其余余向向量量线线性性表表示示16,. 与与向向量量的的线线性性表表示示一一样样向向量量组组的的线线性性相相关关性性 也也可可用用矩矩阵阵的的秩秩来来判判别别1212,(,) ,().mmAmR Am 向向量量组组线线性性相相关关的的充充分分必必要要条条件

15、件是是 定定理理3 3. .矩矩阵阵的的秩秩2 2. .4 4小小于于即即（证证略略）1212,(,).1mmnRm 维维向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分必必要要条条件件是是 推推论论1212,2|,| 0.nnn 维维向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分必必要要条条件件是是 推推论论12,.3 ,mmnn 当当推推论论时时， 维维向向量量组组必必线线性性相相关关17.下下面面举举例例说说明明定定理理的的应应用用 121,0,0,0,1,0,0,0,1,.TTTnneeen 维维向向量量组组，称称为为 维维单单位位坐坐标标向向量量组组 讨讨论论其其线线性性 相相关关性性例例12 (

16、,).nnEe een 解解 维维单单位位坐坐标标向向量量组组构构成成的的矩矩阵阵是是 阶阶单单位位矩矩阵阵()2.R E即即等等于于向向量量组组中中向向量量个个数数，故故由由推推论论 知知此此向向量量组组是是线线 性性无无关关的的 1812312312102124157. 已已知知，试试讨讨论论向向量量 例例 组组，及及，的的线线性性相相关关性性123102(,)124157 解解 2131r rr r 1020220553251022022000rr ，1231231212(,)2,(,)2,.RR 可可见见，向向量量组组线线性性相相关关；向向量量组组线线性性无无关关19123112223

17、331123, , .bbbb b b 已已知知向向量量组组线线性性无无关关 试试证证线线 3 3 性性无无关关 例例1231 12233, 0 xxxx bx bx b 设设有有， 使使 证证 131122233 )()()0,xxxxxx 亦亦即即 （123 因因，线线性性无无关关，故故有有112223331 ()()0,xxx 即即（）131223 0, 0, 0.xxxxxx 1230 xxx 123 ,.b b b所所以以 向向量量组组线线性性无无关关20123,?111111( ,) ,(, ,) ,(, ) .222222TTTaaaa 例例4 4 问问 取取什什么么值值时时 下

18、下列列向向量量组组线线性性相相关关 解解 因因为为12312311|,| 0,2.aa 所所以以或或时时，行行列列式式，从从而而线线性性相相关关122113312111111112222221111 1002222111110022221(1)() ,2aaaccrraaaaccrraaaaaa21,. 线线性性相相关关性性是是向向量量组组的的一一个个重重要要性性质质 下下面面介介绍绍一一些些与与之之有有关关的的结结论论12121212121212,(1)(,)(,),.(2)(,)(,),.2mmmmmmmRRmRRm 设设有有向向量量 与与向向量量组组则则当当推推时时， 可可由由线线性性表

19、表示示且且表表达达式式唯唯一一当当时时， 可可由由线线性性表表示示但但表表达达式式不不唯唯一一论论12121286,3.2.,P,5mmm 如如果果向向量量组组线线性性无无关关 而而向向量量组组线线性性相相关关 则则 可可由由线线性性表表示示，且且表表示示式式是是唯唯一一的的定定理理证证明明见见. (). ()两两个个推推论论1212,1.mm 设设 可可由由表表示示 则则表表示示式式是是唯唯一一的的充充要要条条件件是是推推线线性性无无关关论论22123123123(1)03,(,)(,)3,;RR 且且时时可可由由线线性性表表示示 且且表表达达式式唯唯一一1232123123123(1,1,

20、1) ,(1,1,1) ,(1,1,1) ,(0, ,).,(1),?(2),3.2,?(3).4,.TTT 设设试试问问当当 取取何何值值时时可可由由线线性性表表示示 且且表表示示式式唯唯一一可可由由线线性性表表示示 且且表表示示式式不不唯唯一一不不由由例例能能线线性性表表示示13212321110111( , )1111111111110rr 解解 因因为为2221 110,0 0(3)(1 2)r 123123123(3)3,(,)3(,)2,.RR 当当时时不不能能由由线线性性表表示示123123123(2)0, (, )(,)13,;RR 时时可可由由线线性性表表示示 但但表表达达式

21、式不不唯唯一一2312,36,.2.m 若若向向量量组组线线性性相相关关 则则在在这这一一组组向向量量里里添添加加若若干干个个向向量量得得到到的的新新向向量量仍仍是是定定线线性性相相关关的的理理部部分分相相关关，整整体体必必相相关关12,.m 若若向向量量组组线线性性无无关关 则则从从中中取取出出的的任任意意非非空空部部分分组组都都线线推推性性无无关关论论整整体体无无关关，部部分分必必无无关关12,2 7,3. .mn 维维向向量量组组线线性性无无关关 向向量量的的维维数数增增加加后后, ,得得到到的的新新向向量量组组定定理理仍仍线线性性无无关关。无无关关组组添添加加分分量量仍仍无无关关12,

22、mn 维维向向量量组组线线性性相相关关 把把每每个个向向量量的的维维数数减减少少后后，得得到到的的新新向向量量组组推推论论仍仍线线性性相相关关。相相关关组组减减少少分分量量仍仍相相关关241. 线线性性相相关关与与线线性性无无关关的的概概念念；（重重点点）2. 线线性性相相关关与与线线性性无无关关的的判判定定方方法法： 定定义义，两两个个定定理理（难难点点）小小结结12122211221122,(,),(, ).mmmmmmmmABkkkkkk 1 11 1若若以以向向量量为为列列的的矩矩阵阵 经经初初等等变变换换 变变成成以以向向量量为为列列的的矩矩阵阵 则则1. 1. 12( )( )(,

23、),()mAR AR BAa aaBA 定定理理3 3. .2 2. .1 1 向向量量 可可由由向向量量组组 线线性性表表示示 2 2 其其中中. .1212,2,1mmmm 定定向向量量组组( () )线线性性相相关关 中中至至少少有有一一个个向向量量可可由由3 3理理3 3. .2 2. .3 3其其余余个个向向. . 量量线线性性表表示示25( )1.R Am 向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分必必要要条条件件是是推推论论1212,|,| 0.2nnn 维维向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分必必要要条条件件 是是推推论论12,3,.mmnn 推推当当时时， 维维向向量量组组

24、必必线线性性相相关关论论1212, (,) ,( ).mmAmR Am 向向量量组组线线性性相相关关的的充充分分必必要要条条件件是是它它所所构构成成4 4定定理理3 3. .2 2. .4 4 的的矩矩阵阵的的秩秩小小于于向向量量个个数数即即. . 2612121212121212,(1)(,)(,),.(2)(,)(,),.2mmmmmmmRRmRRm 设设有有向向量量 与与向向量量组组则则当当推推时时， 可可由由线线性性表表示示且且表表达达式式唯唯一一当当时时， 可可由由线线性性表表示示但但表表达达式式不不唯唯一一论论121212,3,.2.5mmm 如如果果向向量量组组线线5 5定定性性无无关关 而而向向量量组组线线性性相相关关 则则 可可由由线线性性表表示示，且且表表示示式式是是. . 理理唯唯一一的的. .两两个个推推论论1212,1.mm 设设 可可由由表表示示 则则表表示示式式是是唯唯一一的的充充要要条条件件是是推推线线性性无无关关论论2712,36,.2.m 若若向向量量组组线线性性相相关关 则则在在这这一一组组向向量量里里添添加加若若干干个个向向量量得得到到的的新新向向量量仍仍是是定定线线性性相相关关的的理理部部分分相相关关，整整体体必必相相关关12,.m 若若向向量量组组线线性性无无关关 则则从从中中取取出出的的任任意意非非空空部部