第38讲推理与证明二ppt课件

1、1.了解直接证明的两种根本方法了解直接证明的两种根本方法分析法和综合法；了解分析法和综分析法和综合法；了解分析法和综合法的思索过程、特点合法的思索过程、特点.2.了解间接证明的一种根本方法了解间接证明的一种根本方法反证法，了解反证法的思索过程、反证法，了解反证法的思索过程、特点特点.1.分析法是从要证明的结论出发，逐渐分析法是从要证明的结论出发，逐渐寻觅使结论成立的寻觅使结论成立的( )AA.充分条件充分条件 B.必要条件必要条件C.充要条件充要条件 D.等价条件等价条件 分析法是执果索因，允许缘由能分析法是执果索因，允许缘由能推出结论即可，并不一定需求充要条推出结论即可，并不一定需求充要条件

2、，故必需为充分条件件，故必需为充分条件.2.假设假设a,bR,且且ab，有以下四个式子，有以下四个式子a2+ab2b2; a5+b5a3b2+a2b3;a2+b22(a-b-1); + 2.其中一定成立的有其中一定成立的有( )ababDA.4个个 B.3个个 C.2个个 D.1个个 由于由于a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20,所以所以a2+b22a-2b-2,一定成立，一定成立，均可找到反例均可找到反例.3.用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形的内角中至少有三角形的内角中至少有一个不大于一个不大于60时，假设正确的选项是时，假设正确的选项是( )BA.假设三内角都不

3、大于假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于假设三内角都大于60C.假设三内角至多有一个大于假设三内角至多有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于假设三内角至多有两个大于60“至少有一个不大于的否认为至少有一个不大于的否认为“都大于都大于.4.设设a= ,b= - ,c= - ,那么那么a,b,c的大小的大小 关系是关系是 .27362acb 由于由于b= - = ,c= - = ,所以所以bc，故，故acb.也可用分析法也可用分析法.7347362462222 3625.假设假设a +b a +b ，那么，那么a、b应应满足的条件是满足的条件是 .a0,b0,且且ababba 由知，由知

4、，a -a +b -b 0,那么那么a( - )+b( - )0,即即( - )(a-b)0,故故a0，b0，且，且ab.abbaabbaab1.综合法综合法普通的，利用知条件和某些数学定义、普通的，利用知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推实际证，最定理、公理等，经过一系列的推实际证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法法叫做综合法.用用P表示知条件、已有的定义、定理、表示知条件、已有的定义、定理、公理等，公理等，Q表示所要证明的结论，那么综合表示所要证明的结论，那么综合法可用框图表示为：法可用框图表示为：PQ1 Q1Q2 Q

5、2Q3 QnQ2.分析法分析法普通的，从要证明的结论出发，逐渐寻求普通的，从要证明的结论出发，逐渐寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归纳为断定一个明显成立的条件结论归纳为断定一个明显成立的条件(知条件、知条件、定理、定义、公理等定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分这种证明的方法叫做分析法析法.用用Q表示要证明的结论，那么分析法可用表示要证明的结论，那么分析法可用框图表示为：框图表示为：QP1 P1 P2P2 P3 得到一个明显成立的条件得到一个明显成立的条件3.反证法反证法(1)定义：普通的，假设原命题的结论定义：普通的，假设原命题的

6、结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此阐明假设错误，从而证明了原命题成因此阐明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法立，这样的证明方法叫做反证法.(2)用反证法导出的矛盾主要有：用反证法导出的矛盾主要有：与假设矛盾；与假设矛盾；与数学公理、定理、定义、公式或与数学公理、定理、定义、公式或与已被证明了的结论矛盾；与已被证明了的结论矛盾；与公认的简单现实矛盾与公认的简单现实矛盾.4.运用运用在处理问题时，经常把综合法和分析在处理问题时，经常把综合法和分析法结合起来运用：根据条件的构造特点法结合起来运用：根据条件的构造特点去转化结论，得

7、到中间结论去转化结论，得到中间结论Q；根据结；根据结论的特点去转化条件，得到中间结论论的特点去转化条件，得到中间结论P.假设由假设由P可以推出可以推出Q成立，就可以证明结成立，就可以证明结论成立论成立.在证明一个问题时，假设不容易在证明一个问题时，假设不容易从条件到结论证明时，可采取分析的方从条件到结论证明时，可采取分析的方法或者是间接证明的方法法或者是间接证明的方法反证法反证法.有有时证明一道题需多法并用时证明一道题需多法并用.例例1 知点知点P是直角三角形是直角三角形ABC所在平面外所在平面外的 一 点 ，的 一 点 ， O 是 斜 边是 斜 边 A B 的 中 点 ， 并 且的 中 点

8、， 并 且PA=PB=PC，求证：，求证：PO平面平面ABC. 要证明要证明PO平面平面ABC，也就是，也就是要证明要证明PO垂直于平面垂直于平面ABC内的两条内的两条相交直线相交直线. 衔接衔接OC,OP，如下图，如下图，由于由于AB是是RtABC的斜边，的斜边，O是是AB的中点，的中点，所以所以OA=OB=OC.又由于又由于PA=PB=PC，所以所以POA POB POC,所以所以POA=POB=POC.由于由于POA+POB=180,所以所以POA=POB=90,所以所以POC=90.即即POOA，POOC，所以，所以PO平面平面ABC. 综合法证明立体几何问题，以综合法证明立体几何问题

9、，以立体几何的公理、定理、定义为根底，立体几何的公理、定理、定义为根底，以递推的性质为根据进展推实际证，以递推的性质为根据进展推实际证，因此，关键是找到与要证结论相匹配因此，关键是找到与要证结论相匹配的公理、定理、断定定理及其性质的公理、定理、断定定理及其性质.同同时综合法必需保证前提是正确的，推时综合法必需保证前提是正确的，推理方式符合逻辑，才干保证结论成立理方式符合逻辑，才干保证结论成立. 知知a0,b0，且，且a+b=1，试用分析，试用分析法证明不等式法证明不等式(a+ )(b+ ) .例例21a1b254 标题条件要求运用分析法证标题条件要求运用分析法证明不等式，只需求留意分析法证明明

10、不等式，只需求留意分析法证明问题的步骤即可问题的步骤即可. 要证要证(a+ )(b+ ) ,只需证只需证ab+ ,只需证只需证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,只需证只需证4(ab)2-8ab-25ab+80,只需证只需证4(ab)2-33ab+80,即证即证ab8或或ab ,由由a+b=1,只需证只需证ab ,而由而由1=a+b2 ，所以，所以ab 显然成立，显然成立，所以原不等式所以原不等式(a+ )(b+ ) 成立成立.1a1b254254221abab14ab141a1b25414 分析法是从要证明的结论出发，分析法是从要证明的结论出发，逐渐寻求使它成立的充分条件逐渐寻求

11、使它成立的充分条件(不一不一定是充要定是充要)，直到最后，把要证明的，直到最后，把要证明的结论归结到断定一个明显成立的条结论归结到断定一个明显成立的条件为止，这种证法也是直接证法中件为止，这种证法也是直接证法中一种常用的方法，特别是当从知条一种常用的方法，特别是当从知条件推证要证的结论有困难时，往往件推证要证的结论有困难时，往往采用分析法采用分析法.例例3 知知a,b,cR,a+b+c0,ab+bc+ac0, abc0.利用反证法证明：利用反证法证明： .a0,b0,c0 假设假设a,b,c不同时为正数，无妨先思索不同时为正数，无妨先思索a不是正数，从而有不是正数，从而有a=0和和a0矛盾，矛

12、盾，故故a=0不能够不能够;假设假设a0,所以所以bc0,所以所以b+c-a0,所以所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc0矛盾矛盾,所以所以a0成立成立.同理可知同理可知b0,c0成立成立.所以原命题得证所以原命题得证. 反证法证明问题的普通步骤是：反证法证明问题的普通步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，反设：假设所要证明的结论不成立，也就是假设在知条件下，存在与要证也就是假设在知条件下，存在与要证明的结论相反的情形；明的结论相反的情形；(2)归谬：由反归谬：由反设出发，结合知条件，经过正确的逻设出发，结合知条件，经过正确的逻辑推理，推得矛盾；辑推理，推得矛盾；(3)存真：由所得

13、存真：由所得的矛盾断言反设不真，从而一定原命的矛盾断言反设不真，从而一定原命题的正确性题的正确性. 在在ABC中，三个内角中，三个内角A、B、C的的对边分别为对边分别为a、b、c,假设假设 + = ,试问：试问：A，B，C能能否成等差数列，假设不成等差数列，请否成等差数列，假设不成等差数列，请阐明理由；假设成等差数列，请给出证阐明理由；假设成等差数列，请给出证明明.1ab1bc1abc A，B，C成等差数列，下面用综合法给出成等差数列，下面用综合法给出证明证明.由于由于 + = ,所所 + =3,所以所以 + =1，所以所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，所以所以b2=a2+

14、c2-ac.在在ABC中中,由余弦定理由余弦定理,得得cosB= = = .由于由于0B180，所以，所以B=60，所以所以A+C=2B=120,所以所以A、B、C成等差数列成等差数列.1ab1bc1abcabcababcac1ab1bc2222acbac2acac121.综合法的特点：从综合法的特点：从“知看知看“可知可知，逐渐推向，逐渐推向“未知，其逐渐推理，未知，其逐渐推理，实践上寻觅它的必要条件实践上寻觅它的必要条件.2.分析法的特点：从分析法的特点：从“未知看未知看“需需知，逐渐靠拢知，逐渐靠拢“知，其逐渐推理，知，其逐渐推理，实践上是寻觅它的充分条件实践上是寻觅它的充分条件.3.反

15、证法的步骤：反证法的步骤：分清命题的条件和结论；分清命题的条件和结论；作出命题结论不成立的假设；作出命题结论不成立的假设；由假设出发，运用正确的推理方法，由假设出发，运用正确的推理方法，推理出矛盾的结果；推理出矛盾的结果；否认假设，从而间接的证明结论否认假设，从而间接的证明结论.学例1 (2021四川卷四川卷)设数列设数列an的前的前n项和项和为为Sn，对恣意的正整数，对恣意的正整数n，都有，都有an=5Sn+1成立，记成立，记bn= (nN*). (1)求数列求数列an与数列与数列bn的通项公式；的通项公式；41nnaa(2)设数列设数列bn的前的前n项和为项和为Rn.能否存能否存在正整数在

16、正整数k，使得，使得Rk4k成立？假设存在，成立？假设存在，找出一个正整数找出一个正整数k;假设不存在假设不存在;请阐明理请阐明理由由;(3)记记cn=b2n-b2n-1(nN*)，设数列，设数列cn的前的前n项和为项和为Tn，求证：对恣意正整，求证：对恣意正整数数n，都有，都有Tn . 23 (1)当当n=1时，时，a1=5a1+1,所以所以a1=- .又由于又由于an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1， 所以所以an+1-an=5an+1，即，即an+1=- an.所以所以数列数列an是等比数列，其首项是等比数列，其首项a1=- ,公比公比q=- .所以所以an=(- )n(nN*).

17、 所以所以bn= (nN*).141414141414()411 ()4nn (2)不存在正整数不存在正整数k，使得，使得Rk4k成立成立.下证：对下证：对恣意的正整数恣意的正整数n，都有，都有Rn4n成立成立.由由(1)知知bn=4+ .由于由于b2k-1+b2k=8+ + =8+ - =8- 8，所以，当所以，当n为偶数时，设为偶数时，设n=2m(mN*)，那么，那么Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-1+b2m)8m=4n;当当n为奇数时，设为奇数时，设n=2m-1(mN*),那那么么Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1 8(m-1)+4=8m-4=4n.所以对一切的正整数所以对一切的正整数n，都有都有Rn4n.所以不存在正整数所以不存在正整数k，使得，使得Rk4k成立成立.5( 4)1n215( 4)1k25( 4)1k5161k20164k15 1640(161)(164