2020年新高考数学二轮复习练习：回顾5立体几何

1、3,回顾 5 立体几何必记知识1 .空间几何体的表面积和体积几何体侧面积表面积体积圆柱S侧=2nlS表=2n(r+1)V=S底h= nh圆锥S侧=nlS表=n(r+1)112V=-S底h=3nh圆台S侧=n (+r 1)S表=n( +r2+rl+rl)1V=-(S上+S下+JStS下)h=-3n( +r23+rrh)直棱柱S侧=Ch（C 为底面周长）S表=S侧+ S上+ S下（棱 锥的 S上=0）V=S底h正棱锥1S侧=jChzC 为底面周长，h 为斜高）1V=3S底h正棱台1S侧=2（C+ C h） c, C分别为上、下底面周长，h 为斜高）1V=(S上+S下+7 孚S )h球2S=4nR4

2、3V=32.空间线面位置关系的证明方法a/aa?3? a/b,aCl戸 ba/ 3 aCY= a ?3C尸 ba/ball3b?ai*?a/ a,!?a/ a,a?3a?aa?a,b?aaCb=O ?a/ 3,a/ 3,b/ 3（1）线线平行：a/b?c/ b. a /ca丄3a 丄3? a /a（2）线面平行：（3）面面平行:a丄ab丄aa / b,提醒要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件.如由a丄B, aA B=l, m l,易误得出 ml B的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中 m?a的限制条件3. 用空间向量证明平行垂直设直线 I 的方向向量为a a=(ai,

3、bi,Ci)，平面a、B的法向量分别为尸(a2,b2,c2),u=(a3, b3, C3).则有：(1) 线面平行I / a a a丄p?a a = 0? aia2+ bib2+ CiC2= 0.(2) 线面垂直I 丄o?a a/p? a a=kp? ai=ka?,bi=kb?,5=kc?.(3) 面面平行allB?p/u?p=入 u? a2=入3,b2=入勺，C2=入乞(4) 面面垂直a丄B? 丄 u?p=uO? 8283+ b?b3+ C2C3= 0.4.用向量求空间角(1) 直线 li, I2的夹角B有 Cos = |COS l li, 1 12 1(其中 1 11, I I2分别是直线

4、 li, l2的方向向量).(2) 直线 I 与平面a的夹角B有 sinB=|cos 1 1, n n |(其中 I I 是直线 I 的方向向量，n n 是平面a的法向量).(3) 平面a, B的夹角B有 cosB=|cosn ni, n n2 |,贝V a-l-B二面角的平面角为B或n B其中 n n1, n n2分别是平面a, B的法向量).a /B丫/B? all(4)线线垂直:b?(5)线面垂直:a?a,b?aa丄B、a / Ba / baAb=O? I 丄a,aA B=1？ a 丄B咛 a 丄B,a 丄aa 丄I丄a, 1丄b-a?a, a 丄 Ij(6)面面垂直:? a提醒在处理实

5、际问题时，要注意异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角必会结论1 平行、垂直关系的转化示意图面面平行的判症线线平行T：线面半行的判定一平行面面半行的刿定一! 面血 平行线面平行的性质“面廝平行的性质面面平行的性贞 面面垂血的判定线线T蜒面垂立的畀定面面垂冇的判定I I面垂线面垂山的性质面面垂左的性质面面垂也的性质2 .球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直 径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线

6、长.-: 6-J 6（3）球与正四面体的组合体：棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 12a（正四面体高的 4），外接球的半径为-46a（正四面体高 fa 的3）.必练习题1.设 m, n 是两条不同的直线，a, B是两个不同的平面，有下列四个命题：1若 m?B, a丄贝Um a;2若all Bm?a,贝Um/ B3若 n 丄a,n 丄Bm a,贝Um B4若 m /a, m /B,贝U all B其中正确命题的序号是（）A .B .C.D .解析：选 D.对于，注意到直线 m 可能与平面a, B的交线平行，此时结论不成立，因此不正确；对于 ，直线 m 与平面B必没有公共点，因此 m/B正确

7、；对于 ，由 m 丄a,n 丄a,得m/n,又 n 丄B因此 mB正确；对于 ，平面a, B可能是相交平面，因此不正确.综上所述,其中正确命题的序号是，选 D.2 .已知一个圆锥底面半径为1,母线长为 3,则该圆锥内切球的表面积为（）若球 0 的表面积为 4n,则 SA=()C.2解析：选 B.根据已知把 S-ABC 补成如图所示的长方体.因为球 0 的表面积为 4n,所以球0 的半径 R= 1 , 2R= SA2+ 1 + 2 = 2,解得 SA= 1,故选 B.4 .棱长都为 2 的直平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中，/ BAD = 60,则对角线 A*C 与侧面DCC1D1所成角

8、的正弦值为()C.解析：选 C.过点 厲作直线 A1M 丄 D1C1,交 C1D1的延长线于点 M ,连接 CM ,可得 A1M丄平面 DD1C1C,则/A1CM 就是直线 A1C 与平面 DD1C1C 所成的角.由所有棱长均为2 及/ A1D1C1= 120,得 A1M = A1D1Sin 60 =3,又 A1C/AI+CC2= / (3)2+2= 4, 所以 sinZA1CM=啓=尹 故选 C.A1C 45 .已知矩形 ABCD , AB = 1 , BC= 2，将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻 折，在C. 2n3n2解析：选 C.依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示,

9、设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB 上的高为 2 2，因此2 2 r= *解得二屮，所以圆锥内切球的表面积为4nX -2 =2n故选 C.3.已知 S, A, B、C 是球 0 表面上的不同点,SA 丄平面 ABC, AB 丄 BC, AB= 1 , BC= .2,翻折过程中，()A .存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B 存在某个位置，使得直线AB 与直线 CD 垂直者矛盾故 A 错误.若存在某个位置使得 AD 丄 BC,又因为 AD 丄 AB,贝 U AD 丄平面 ABC,所以 AD 丄 AC,ddd ddQ到平面 FAB 的距离为h,因为 VP-ABC=VC-PAB

10、，即X&ABCFD = 3SZPABh，所以 3XiXa= X4X( ,2a)2xh,解得 hufa,所以点 C 到平面 FAB 的距离为 fa.答案：于 a7正方体 ABCD-AiBiCiDi的棱长为 1,若动点 F 在线段 BDi上运动，则 DC AP 的取值范围是C.存在某个位置，使得直线AD 与直线 BC 垂直D .对任意位置，三对直线“AC 与 BD ”“ AB 与 CD ”“ AD 与 BC”均不垂直解析：选 B.若存在某个位置,使得 AC 丄 BD ,作 AE 丄 BD 于 E,贝 U BD 丄平面 AEC,所以2BD 丄 EC,在ABD 中，AB = BE BD, BE =i2

11、2一,而在 BCD 中，BC2= BE BD, BE = 一 ,两若存在某个位置，使得 AB 丄 CD ,又因为 AB 丄 AD,贝 U AB 丄平面 ACD ,所以 AB 丄 AC,故 AC = 1,故 B 正确,D 错误.而斜边 CD 小于直角边AD ,矛盾，故 C 错误.6.如图，在四棱锥P-ACBD 中，底面 ACBD 为正方形，PD 丄平面ACBD, BC=AC= a,距离为_ .FA = PB = 2a, PC= .3a，则点 C 到平面 PAB 的解析:根据条件可以将四棱锥置于一个正方体中进行研究,如图所示,易知 AB = 2a,设点 CD解析：以 DA 所在的直线为 x 轴，D

12、C 所在的直线为 y 轴，DDi所在的直线为 z 轴，建立 空间直角坐标系 D-xyz.则 D(0, 0, 0), C(0, 1 , 0), A(1 , 0, 0), B(1 , 1, 0), Di(0, 0, 1). 所以 DC = (0, 1, 0), BD1= ( 1, 1 , 1).因为点 P 在线段 BD1上运动，所以设 BP = ?BD1=(人Z,?),且 0W疋 1.所以 AP = AB + BP = DC + BP=(入 1 人Z,所以 DC AP = 1入 0 , 1.答案：0 , 18.如图，在正三角形 ABC 中，D , E , F 分别为各边的中点， G , H 分别为 DE, AF 的中点，将厶 ABC 沿 DE , EF , DF 折成四面