微分中值定理及其应用

1、第六章 微分中值定理及其应用、填空题1 .右a 0,b0均为常数，贝U2Xamo- H XX2.若 lim1 acosx-bsin1，则 a =x.Qx23.曲线y = ex在x = 0点处的曲率半径 R =4设y二4；4 2，则曲线在拐点处的切线方程为 x5.lim(1 x)xex 2 x6设f(x) =x(x2 1)(x 4)，则f (x) = 0有个根，它们分别位于 区间；7.函数f(x) = xlnx在1,2】上满足拉格朗日定理条件的© =8函数f(x)=x3与g(x)=1+x2在区间0,2】上满足柯西定理条件的© =9函数y =sinx在0,2】上满足拉格朗日中值

2、定理条件的匕=；xe10函数f(x) 2的单调减区间是 ;x311.函数y =x -3x的极大值点是 ，极大值是 。12设f(x)二xex，则函数f(n)(x)在X二处取得极小值 。3213.已知f(x) =x ax bx，在x=1处取得极小值-2，则a =, b =。2 214曲线y=k(x -3)在拐点处的法线通过原点，则k=。15 设 f (x)二 n (1 - x)n(n =1,2) , M n 是 f (x)在0,1 上的最大值，贝ylim M n =。n:16. 设f (x)在X。可导，则f(X。)=0是f(x)在点X。处取得极值的 条件；217. 函数 f(x)二al nxbx

3、x 在 x=1 及 x = 2 取得极值，则 a =, b =；18.函数f(x)=x_|x3的极小值是19.20.函数f(x) = x 2cosx在0,3 上的最大值为，最小值为ln x函数f (x)的单调增区间为x21.22.曲线xy=e的下凹区间为，曲线的拐点为23.曲线y =3x2 -x3的上凹区间为24.曲线2y = ln(1 - x )的拐点为25.曲线y =ln x 在点处曲率半径最小。26.曲线y =xln(e)的渐近线为x设点(1,2)是曲线y = (x -a)3 b的拐点，则a二.选择填空51曲线y =(x-5)3 2的特点是A. 有极值点X = 5，但无拐点B. 有拐点(

4、5,2)，但无极值点c. x = 5是极值点，(5,2)是拐点D.既无极值点，又无拐点)。2奇函数f (x)在闭区间-1,1】上可导，且f'(x)兰M，则(A.f (x) _MB. f(x)|MC. f (x)| 兰 MD.f(x) : M2 23.已知方程x y y = 1( y 0)确定y为x的函数，贝U (a. y(x)有极小值，但无极大值b. y(x)有极大值，但无极小值C. y(x)即有极大值又有极小值D.无极值4若 f (x)在区间a,上二阶可导，且 f(x)=A 0, f'(a) ： 0, f(X)： 0 (x a), 则方程f (x) =0在a, ：内()A.没

5、有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根5已知f (x)在x = 0处某邻域内连续，lim f (x)= 2，则在x = 0处f (x)()。I°1 cosx6.设函数f (x)在区间1,= 内二阶可导，且满足条件f (1) = f (1) =0 , x f (x) ：0，则 g(x)二型在 1,：内()xA .必存在一点；，使f ( ；) =0B .必存在一点；，使f ( ；) =0C.单调减少 D.单调增加f w(x)7设f(x)有二阶连续导数，且(0)=0, lim =1，则()J°xA . f(0)是f (x)的极大值B. f (0)是f (x)的

6、极小值c.0, f (0)是曲线y = f (x)的拐点d. f (0)不是f (x)的极值，0, f(0)也不是曲线y= f (x)的拐点&若f (x)和g(x)在X =X0处都取得极小值，则函数F(x) = f (x) g(x)在 xx0处( )A .必取得极小值B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定x = 1是驻点，则(32239设 y 二 y(x)由方程 x-ax y by =0确定，且 y(1) =1,A. a 二b =3B.afb2 2D.a 二-2,b 二-32 210.曲线y=(x-1) (x-3)的拐点的个数为()A.0B.1C.2D.311. f

7、(x),g(x)是大于 0 的可导函数，且 f'(x)g(x f (x)g'(x)0，则当 a x有()A. f(x)g(b) f(b)g(x) B. f (x)g(a) f (a)g(x)C. f(x)g(x) f (b)g(b) D. f (x)g(x) f (a)g(a)1 22X 亠X亠112. 曲线y =ex arctan的渐近线有()(x-1(x+2)A . 1条 B.2条 C.3条 D.4条313. f (x) = x 2x q的O点的个数为()A. 1B.2C.3D.个数与q有关1X = - 14曲线 < 上 贝y曲线()1b =t +1A 只有垂直渐近线

8、B.只有水平渐近线C.无渐近线D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线sin x15.设 y = f(x)为 y ” y'-e =0 的解，且 f (x°) =0，则 f (x)有()A . x0的某个邻域内单调增加B . x0的某个邻域内单调减少C. x0处取得极小值D . x0处取得极大值16.罗尔定理中的三个条件；f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b)是f (x)在(a,b)内至少存在一点，使得f)=0成立的().(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要17. 下列函数在1,e上满足拉格朗日中值定理条件的是()., 1(

9、A) ln(ln x);(B) ln x ;(C);(D) In ?-x);ln x18. 若f (x)在开区间(a,b)内可导，且 %,X2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点使得下式成立().(A)f(X2)- f(X1)=(X1 - X2)f ()(a,b);(B)f(X1)- f(X2)=(X1 -X2)f ()为：x2(C)f(X1)- f(X2)=(X2 -X1)f ()X1<: x2(D)f(X2)- f (xj =(X2 -X1)f ()捲：x219.设y=f(x)是(a,b)内的可导函数，x,x 是(a,b)内的任意两点，则().(A) y = f (x) ：x(B)

10、 在x,x 収之间恰有一个，使得y - f ( ) x(C) 在x, x»=x之间至少存在一点',使得.y = f ( ) ：x(D) 对于x与x%之间的任一点,均有逍二f ( )：.x20. 若f (x)在开区间(a,b)内可导,且对(a, b)内任意两点Xi,X2恒有 f(X2) f (Xi) W(X2 Xi)2，则必有().(A) f(x)=0(B) f(x)=x(C) f(x) =x(D) f(x) =c (常数)21. 已知函数 f (x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),则方程 f(x)=0 有().(A)分别位于区间(1,2), (2,3), (3,

11、4)内的三个根；(B) 四个根，它们分别为Xi =1,X2 =2,X3 =3,X4 =4;(C) 四个根，分别位于(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);(D)分别位于区间(1,2),(1,3),(1,4)内的三个根；f ( )0,(x- )f (x) 一 0,则22.若f(x)为可导函数为开区间(a,b)内一定点，而且有在闭区间a,b上必总有().(A) f(x) <0(B)f(x)E0(C) f(x)_0(D) f (x) 0223.若a -3b : 0，则方程f (x)二 x3 ax2 bx c = 0 ().(A)无实根(B)有唯一实根(C)有三个实根(D)有重实根24.

12、若f (x)在区间a, ：上二次可微，且 f (a)二 A 0, f (a) < 0, f”(a)乞 0 (x a),则方程 f (x)二 0在a,：上().(A)没有实根(B)有重实根(C)有无穷多实根 (D)有且仅有一个实根存在是lim丄也 也存在的(xF g (x).25. 设lim丄为未定型,则lim丄凶 xf g(x)1冷 g (x)26. 指出曲线y2的渐近线().3x2(A) 没有水平渐近线，也没有斜渐近线；(B) x "3为垂直渐近线，无水平渐近线(C) 既有垂直渐近线，又有水平渐近线；(D)只有水平渐近线.27曲线y = ex2亠X亠1arctan的渐近线有(

13、).(x1)(x+2)(A)(B) 2条;(C)3 条；(D) 4 条;28.(A)29.1_二acosx cos2x在x取得极值，贝U a =(231(B) 2 ；F列曲线集邮水平渐近线，又有垂直渐近线的是(函数f (x)(C) 1 ；(D) 2。(A)f(x)严；x + x(B)f (x)(C)(D)f(x)=xe»。30.1典产=(A)(B) e；(C)(D):。二、计算题1试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点E 使得 f' (E )=0 :1 c,、xsin 一,0 <(1) f(x)=x0, x = 0;(2) f(x)=|x|,1< xw|.2. 求

14、下列不定式极根：ex -11- 2s inx limp7 cosx61n (1+x)-x匹右厂.tgx - xx.tgx - 6.11、气secx;回0(厂市);1 lim (tgx 严；(8) limi x12 (9) lim (1 x )x ；(10) lim sinxlnx；I址十1(11)limjAm；(12)h巴(皱)".XT xSin XT X3. 求下列不定式极限：.ln cos(x 1)(1)lim;X1.7：x1 -s in -2lim xx 0 -n 2arctgx)l nxsin xlim(tgx)tg2xx切ln(1 x)(1 x) x1凹(ctgx-；)；1

15、(1 x) -e limx 0 x(8)itlim ( -arctgx)1lnx4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式(1) f(x)=x +4x +5,在 x=1 处；1(2) f(x)=,在 x=0 处；1 +x(3) f(x)=cosx的马克林公式.5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：(1) f(x)=arctgx 到含 x5 的项；(2) f(x)=tgx 到含 x5 的项.6. 求下列极限：(1);(2)!坠伙一x2l n(1exsin x -x(1x)3x1 1(3)lim ( ctgx). X0 x x7估计下列近似公式的绝对误差2 x x r.1 x :

16、 1,当 x 0,1.2 88. 计算：(1)数e准确到10-9;-5(2) lg11 准确到 10 .1. 确定下列函数的单调区间：32(1) f(x)=3x-x ;(2) f(x)=2x -Inx; f(x)= . 2x - X2 ;(4) f(x)=x f(x)=2x1 x29. 求下列函数的极值34(1) f(x)=2x -x ; f(x)=arctgx- - ln(1+x2).210. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：(1) y=x5-5x4+5x3+1,-1,2;2兀(2) y=2tgx-tg x, 0,;2(3) y=、. x lnx, (0,+).11. 把长为1的线段

17、截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？12. 一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？13. 设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,an.问以怎样的数值x表达所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值:22x(x +1)23(1) f(x)=|x(x -1)|; f(x)=42; f(x)=(x-1) (x+1).X x +115. 设f(x)=alnx+bx 2+x在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值并问这时f在X1与x2是取得极大值还是极小值

18、？16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上 A城运往与运河相距为 BC=a千米的B城(见图7-1).轮船运费的单 价是a元/千米.火车运费的单价是 3元/千米(3 > a ),试求运河边上的一点 M,修建铁路 MB, 使总运费最省.1 y=x+ ;x18. 确定下列函数的凸性区间与拐点32(1) y=2x -3x -36x+25;2(4) y=l n(x +1);2 1(3) y=x +;x19. 问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx3的拐点?四、证明题1. 证明：(1) 方程x3 3x+c=0 (这里C为常数)在区间0，1内不可能有两个不同的

19、实根；(2) 方程xn+px+q=O(n为自然数，p, q为实数)当n为偶数时至多有两个实根；当 n 为奇数时至多有三个实根。2. 证明：(1)若函数 f 在a, b上可导，且 f (x) > m,则 f(b) >f(a)+m(b-a);(2) 若函数 f 在a,b上可导，且 |(x)| w M，则 |f(b)-f(a)| < M(b-a);(3) 对任意实数 X1,X2，都有|sinx1-sinx2|w区1沁|.3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：/八 b _a b b_a "亠(1) 1n，其中 0<a<b;b a ah(2) <arct

20、gh<h，其中 h>0.1 h24. 设函数f在a,b上可导。证明：存在 E ( a,b),使得2E f(b)-f(a)=(b -a)f (E ).5. 设函数在点a具有连续的二阶导数。证明：h2limf(a h) f(a"2f(a)f''(a).hQ6.什么?试讨论函数f(x)=x 2,g(x)=x 3在闭区间-1 , 1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为7.设 0< a < 3/ ，试证明存在0 (a,b)，使得2sin a _ sin :COTWctg 0.8. 设h>0，函数f在a-h,a+h上可导。证明：(1) 施叫 f(

21、a rh)-f'(a7h) , 0 ( 0, 1)；h(2) f(a h) -f(a) f(a -h)二fg 如 _f'(a 一如,0 ( 0, 1).h9. 以S(x)记由(a,f(a) ,(b,f(b),(x,f(x)三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。10. 若函数f, g和h在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明存在实数E (a,b),使得f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)f(3g'( Eh'(E=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。11. 设f为a,b上二阶可导函数，且f(a)=f(b

22、)=0,并存在一点c( a,b)使得f(c)>0.证明至少存在一点 E (a,b),使得 f ”( E )<0.12. 证明达布定理：若f在a,b上可导，且工f (b),k为介于(a)与(b)之间的任一实数，则至少存在一点E (a,b),使得( E )=k.13. 设函数f在(a,b)内可导，且f /单调。证明f/在(a,b)内连续。14. 证明：设f为n阶可导函数，若方程 f (x) =0有n+1个相异实根，则方程f(n)(x)=0至少 有一个实根。15. 设p(x)为多项式，a为p(x)=0的r重实根。证明：a必定是p/ (x)=0的r-1重实根。16. 证明：(1 )设 f

23、在(a,+g)上可导，若 lim f(x)和 lim f(x)都存在，则 lim f(x)=o；xt址x_-bc设f在(a,+g)上n阶可导.若lim f(x)和lim f k(x)都存在，则x_ytclim fk (x) =0,(k=1,2,，n)。x17. 设函数f在点a的某个邻域内具有连续的二阶导数，试应用罗比塔法则证明f(a h) f(a - h) - 2f(a)h20,x上应用拉格朗日中值定理有 / ( 0 x)x, 0 (0,1).1lim ;x 02 f(x)=e x.収2f '(a)18. 对函数f在区间试证对下列函数都有f(x)-f(0)=f(1) f(x)=l n(

24、1+x);19.20.设f(0)=0,f /在原点的某邻域内连续，且f / (0)=0.证明: lim xf(x) =1.x 0 证明定理6.5中二f(x) = O，xlim._g(x) = 0情形时的罗比塔法则:若(i)xmfx=0,峻x)=o(ii)存在Mo>O,使得f与g在(M0,+ g)内可导，且g/ (x)丰0;f (x)lim "X)= lim f (x) = A (A为实数，也可为±g或g ),则 x；©(x) ：g'(x)lim f(x = limAx ：g(x) ：g'(x)21.证明：f(x) =x3e"为有界函

25、数.22. 应用函数的单调性证明下列不等式3x " n tgx>x- ,x (0,)；3 3sinx : x,xn(o,n；27t2,x - 0x2(1 x)23. 设x4sin2!, x 式0, f(x) =x'0,x =0(1) 证明:x=0是函数f的极小值点；(2) 说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件24. 证明：设 f(x)在(a,b)内可导,f(x)在 x=b 连续，则当 f (x) > 0(a<x<b)时，对一切 x (a,b)有 f(x) < f(b),当 f (x) < 0(a<x<

26、;b)时对一切 x (a,b)有 f(x) > f(b).25. 证明:若函数f在点X0处有f +(x°)<0(>0),f "_(X0)>0(<0),则X0为f的极大(小)值点26. 证明：若函数f,g在区间a,b上可导且f (x)> g (x), f(a)=g(a),则在a,b】内有f(x)>g(x).27.证明:皱丄x si nx28. 证明：(1) 若f为凸函数，入为非负实数，则入f为凸函数；(2) 若f、g均为凸函数，贝U f+g为凸函数；若f为区间I上凸函数,g为J二f(I)上凸的递增函数，则gof为I上凸函数.29. 设

27、f为区间I上严格凸函数 证明若X° I为f的极小值点，同 X。为f在I上唯一的极小值 占八、-30. 应用凸函数概念证明如下不等式：a b丄1(1)对任意实数 a,b,有e2" (eaeb);2(2)对任何非负实数a,b,有2arctg> arctga+arctgb.31. 证明若 f.g均为区间I上凸函数，则F(x)=maxf(x),g(x)也是I上凸函数.32. 证明:(1)f为区间I上凸函数的充要条件是对I上任意三点X1<X2<X3,恒有1X!f(xj =1X2f(x2)> 0.1X3f(X3)(2)f为严格凸函数的充要条件是对任意X1<

28、X2<X3,A >0.33. 应用詹禁不等式证明(1)设 a>0(i=1,2,n)，有亍轧an' a2鸟-1 fra aa设 a,bi>0(l=1,2,n),有nn1m1二.ab _ (二 3卩)(二 bi ) i 4i 4 p i 48其中1 1P>0,q>0,=1.p q五、考研复习题二lim f(x)，则至少存在一点 xb -1. 证明:若f(x)在有限开区间(a,b)内可导,且 lim f(x)xt +a,b)，使 f (E )=0.2. 证明若x>0,则12" r(x)，其中1 1廿込；1(2)lim(x)s,!imj(x)

29、3. 设函数f在a,b上连续，在(a,b)内可导，且ab>0证明存在E (a,b),使得a - b f(a)bf(b)=f( ) - f ().4. 设f在a,b上三阶可导，证明存在E (a,b),使得f(b)二 f(a) (b -a)f (a) f (b)丄(b - a)3f ().2 125. 对f(x)=ln(1+x)应用拉格朗日中值定理，证明対x>0有1In (1 x)6. 证明若函数f在区间a,b上恒有f (x)>0,则对(a,b)内任意两点X1,X2,都有f(xj g) _f xX22 一 I 2 丿其中等号仅在X1=X2时才成立.7. 证明：第6题中对(a,b)内任意n个点xi,X2,Xn也成立f(xQ_fn k jkJ,ZXk其中等号也仅在 Xi=X2=Xn时才成立。8.应用第7题的结果证明：对任意 n个正数X1,X2,Xn恒成立x1 x2 - xn nX1X2 Xn ,n即算术平均值不小于几何平均值。9.设ai,a2,an为n个正实数，且