概率统计教学资料-第3章随机变量的数字特征2-4节ppt课件

1、2022-1-311 它反映随机变量取值的平均程度，是随机变量的一个重要它反映随机变量取值的平均程度，是随机变量的一个重要的数字特征的数字特征.复习复习: 数学期望数学期望1,kkkEXx pX离散型( ),x f x dxXEX连续型1(), ()( ) ( ),kkkg xpXEYE g Xg x f x dxX离散型连续型2022-1-312根本内容：根本内容： 一、方差的定义一、方差的定义 二、方差的性质二、方差的性质第二节第二节 方差方差2022-1-313一、方差一、方差 (Variance)1. 问题的导入问题的导入X 8 9 10P 0.1 0.8 0.1 Y 8 9 10 P

2、 0.4 0.2 0.4引例引例 比较甲乙两个射手的射击程度比较甲乙两个射手的射击程度分析分析31()8 0.19 0.810 0.1iiiE Xx p 31( )8 0.49 0.210 0.4iiiE Yx p 9.0乙9.0甲但是乙射手的动摇性较大, 不够稳定.2022-1-314为了数学上的方便，如何描画这种差别呢？如何描画这种差别呢？2()iiixE XpP(X=xi)=pi ( i=1,2, )其平均射击程度为E(X)， 那么他每次射击的动摇性为或 | xi - E(X) |以 xi-E(X) 2 替代 | xi-E(X) |那么该射手的平均射击动摇为2)(XEXExi - E(X

3、)设某射手击中的环数为随机变量X，其分布律为2022-1-315 称为 X 的均方差或规范差。2.方差方差 (Variance 或或 Dispersion).XEXEXD2)()()(XVar)(XD定义定义. 设X是一随机变量，那么称EX-E(X)2称为X的方差, 记作D(X)即方差的算术平方根.X)(有相同的量纲。与XD假设EXE(X)2存在，)Var(X或2022-1-316注注:(2) 方差D(X) 用来表达随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.(3) 假设D(X)值越大(小)， 表示X取值越分散(集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差好.0 ;(1)

4、由定义知，D(X)=EX-E(X)22()()D XE XE X方方差差2022-1-3173. 方差的计算方差的计算 kkkpXExXD2)()(, 2 , 1,)(kpxXPXkk的分布列为其中dxxfXExXD)()()(2(1)利用随机变量函数的数学期望公式离散随机变量的方差延续随机变量的方差).(的概率密度为其中xfX2022-1-318(2)利用方差公式利用方差公式.22)()()(XEXEXD)(XD)(2XEXE且且E(X2)也存在也存在, 那那么么由于由于)()(222XEXXEXE22)()()(2)(XEXEXEXE.)()(22XEXE定理：设随机变量定理：设随机变量X

5、的数学期望的数学期望E(X)存在，存在，2022-1-319),(X解解:,)(XE) 1( . .例例1. 假设假设)(2XE02!kkekk12!kkekk求求D(X).11)!1(kkkke01!) 1(mmkmmme!00mmmmmeemm)(XD22)()(XEXE2) 1(已求得已求得=E(X),其中其中X ( )2022-1-3110已求得,2)(baXE.322baba.12)(2ab例例2.假设假设XU (a, b), 求求D(X).)(2XEdxabxba12)(XD解:22)()(XEXE222)2(3bababa2022-1-3111),exp(X解解:,)(XE22.

6、2例例3. 假设假设)(2XEdxexx0/12dtettxt022/求D(X).已求得tdet022)2(0022dte tettt)(XD22)()(XEXE222=E(X),其中Xe( 1)2022-1-3112补充：01)(dxexx函数：函数有下列结论);() 1() 1 (; !1)(2)nn.)21(, 1)2() 1 () 3(),(eX例例)(2XEdtettxt022/求D(X).2222! 2)3(2022-1-3113数；为常CCD, 0)() 1 ().()(D),()(C)2(2XDCXXDCCXD则,是常数设二、方差的性质二、方差的性质(设以下随机变量的方差都存在

7、设以下随机变量的方差都存在)(CD)(2XECE2CCE证证:. 0证证:)(CXD)(2CXECXE)(2XCECXE)(22XEXCE)(22XEXEC).(2XDC)()()(2CXECXECXD)()(2XDXEXE2022-1-3114证证:)()()(2YXEYXEYXD)()(2YEYXEXE)()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE则与若是两个随机变量，YX)3()()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD)()(2)()(YEYXEXEYDXD2022-1-3115则相互独立与，特别地，若YX. )()()(YDXDYXD证证:)()(2)()()()(YEY

8、XEXEYDXDYDXD)()(2YEYXEXE. )()()(YDXDYXD故)()()()()()()(2YEXEXEYEYEXEXYE0)()()(2YEXEXYE1)(P)(E1X0)()4(XEXXXD，即取常数以概率的充要条件是2022-1-3116故故 DXi = EXi 2 -(EXi )2 EXi =1p + 0(1-p ) = p,且且 EXi2 = p,那么那么 是是n 次实验中次实验中A出现的次数，出现的次数， 1niiXX= p p 2 = p (1 -p) = p q， i=1, 2, n因因 X1, , Xn 相互独立，相互独立，1niiDXDX= np q. 显

9、然显然 P(Xi=1)= p, P(Xi=0)=1-p, = n p; 1niiEXEX求求E(X)、D(X).解解:例例4. 设设X服从二项分布服从二项分布B(n,p),), 2 , 1(., 0, 1niXi不不出出现现A A次次试试验验中中i i在在第第出出现现A A次次试试验验中中i i在在第第；设设Xi为第为第i次实验中事件次实验中事件A出现的次数，即出现的次数，即2022-1-3117U(a, b) exp(exp( ) ) 其其它它,0;,1)(bxaabxf( ) 2a b2()12b a!)(kekXPk B(n, p) (01) (01) p pq np npqkkqpkX

10、P1)(knknkqpCkXP )(1,10,1 , 0qppk1, 10, 1 , 0qppnk, 1 , 0,0k1,0;( )0,0.xexf xx 常用随机变量的期望与方差常用随机变量的期望与方差分布分布分布列或密度函数分布列或密度函数期望期望方差方差 22022-1-3118例例5.设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)=,方差方差令随机变量0)(2XDXX*试求)(),(*XDXE*解：解：. 1(规范化变量)(*XEXEXE)(XE)(*XDXD2XD)()(XDXD. 0一一 、协方差及其性质、协方差及其性质 协方差、相关系数协方差、相关系数二、相关系数及其性质二、相关系数

11、及其性质我们先看一个例子。我们先看一个例子。在研讨子女与父母的相象程度时，有一项为哪一在研讨子女与父母的相象程度时，有一项为哪一项关于项关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系父亲的身高和其成年儿子身高的关系. .搜集了搜集了10781078个父亲及其成年儿子身高的数据个父亲及其成年儿子身高的数据, , 画出了画出了这里有两个变量：这里有两个变量：一个是父亲的身高，一个是父亲的身高，一个是成一个是成年儿子身高年儿子身高. . 为了研讨二者关系为了研讨二者关系. .英国统计学家皮尔逊英国统计学家皮尔逊一张散点图一张散点图. .从图上看出从图上看出: :父亲及其父亲及其成年儿子身高有关系成年儿子身高有

12、关系, ,但没有明确的函数关系但没有明确的函数关系. .特征中，最重要的就是本讲要讨论的特征中，最重要的就是本讲要讨论的 协方差和相关系数协方差和相关系数前面我们引见了随机变量的数学期望和方差，前面我们引见了随机变量的数学期望和方差，数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值，数学期望反映了随机变量在概率意义下的平均值，方差那么反映了随机变量相对于其均值的离散程度，方差那么反映了随机变量相对于其均值的离散程度，这对我们了解随机变量有一定的协助，这对我们了解随机变量有一定的协助，YX,随机变量随机变量 ，但对于二维但对于二维YX,我们除了关怀我们除了关怀 的期望和方差外，的期望和方差外，还希望知

13、道他们的关系，还希望知道他们的关系， 在反映分量之间关系的数字在反映分量之间关系的数字2022-1-3123定义定义.随机变量随机变量X与与Y的函数的函数X-E(X)Y-E(Y)cov X,YEXE XYE Y()()( ).的数学期望存在，的数学期望存在， 那么称其为那么称其为X与与Y的协方的协方差差,cov (X, Y), 即即记作记作EXE XYE Y()( ) = 0假设两个随机变量假设两个随机变量X和和Y是相互独立的，那么是相互独立的，那么意味着当意味着当 时时, X和和Y不独立。不独立。EXE XYE Y()( )024 假设假设X取值比较大取值比较大(XE(X),Y也较大也较大(

14、YE(Y), 假设假设X取值比较小取值比较小(XE(X),Y也较小也较小(Y0;这时这时Cov(X,Y)0;那么那么Cov(X,Y)0. 协方差协方差cov(X, Y)=EX-E(X)(Y-E(Y)可了解两个变量之间变化的关系可了解两个变量之间变化的关系(变化趋变化趋势在平均意义上而言势在平均意义上而言): 正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或同时取较小值大值或同时取较小值,负的协方差反映两个随机变量负的协方差反映两个随机变量有相反方向变化的趋势有相反方向变化的趋势.2022-1-3125协方差的简便计算方法：协方差的简便计算方法：)()(YE

15、YXEXE.YEXEXYE)()()()(X,Ycov)()()()(YEXEXYEYXEXYE2022-1-3126协方差的性质1cov(X,Y)=cov(Y,X);2cov(X,c)=0; cov(X,X)=D(X);3cov(aX,bY)=abcov(X,Y) ，a，b为常数4cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);5()()( )2cov(, )D XYD XD YX Y但它还受但它还受X X 与与Y Y 本身度量单位的影响本身度量单位的影响. . Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y)为了抑制这一缺陷，将为了抑制这一

16、缺陷，将X X与与Y Y规范化规范化: :)()()()(),(YDXDYEYXEXEYXR即：即：协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X X 和和Y Y 相互相互间的关系，间的关系，例如：例如：*()( ) ()( )XE XYE YXYD XD Y与协方差协方差cov(X*,Y*)称为称为X与与Y的相关系数，记作的相关系数，记作R(X,Y)，)()(),(YDXDYXCov2022-1-3128相关系数相关系数 Correlation coefficientu定义定义 u)0)Y(0)()()(),(DXDYDXDYXCovXY，其中u不相关不相关 假假设假假设 X

17、Y=0，那么称，那么称X,Y不相关。不相关。u性质性质 设设XY是随机变量是随机变量X,Y的相关系数，那么有的相关系数，那么有 u1|10XY1)(1YX1|20bXaYPXY存在线性关系以概率与的充要条件是 即Cov(X,Y)=029 当且仅当当且仅当X与与Y之间有线性关系时之间有线性关系时,等号成立等号成立即即 |=1a,b,使使PY=aX+b=1阐明阐明: XY刻划刻划X,Y之间的线性相关程之间的线性相关程度度|XY|1,那么那么X,Y越接近线性关系越接近线性关系|XY|=1,那么那么X,Y存在线性关系存在线性关系 当当XY=0时时,称称X与与Y不相关不相关,那么那么X,Y没没有线性关系

18、有线性关系2022-1-3130假设假设X与与Y相互独立，那么相互独立，那么X与与Y一定不一定不相关相关;分析分析: 假设假设X与与Y相互独立相互独立)()()(),cov(YEXEXYEYX两个随机变量独立与不相关的关系两个随机变量独立与不相关的关系不一定成立不一定成立.X与与Y不相关不相关.反之反之,X与与Y不相关不相关 cov(X,Y)=0. 0)()()()(YEXEYEXE假设假设X与与Y不相关，不相关，那么那么0)()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(YEXEXYE例例将一枚硬币反复掷 n 次，以 分别表示XY与正面向上和反面向上的次数，求XY与的相关系数。解解:XY

19、nYnXXY与满足故(, )(,)Cov X YCov X nX(, )(,)()Cov X nCov X XD X (, )()1()()( )XYCov X YD XD XD XD Y 2022-1-3132假设假设 存在，称它为存在，称它为X的的k阶中心矩阶中心矩.第第4 4节节 随机变量的另几个数字特征随机变量的另几个数字特征定义定义. 设设X是随机变量，假设是随机变量，假设 存在，存在，称它为称它为X的的k阶原点矩阶原点矩.kE Xk =(),1, 2,1,2,kE XE Xk( ) ,k=2, EX-E(X)2为方差.特别地，k=1, EX-E(X) =0. .E XD XE X2

20、2()()()特别地，k=1,E(X)为数学期望.k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式分位数：设延续随机变量分位数：设延续随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x),概率密度为概率密度为f(x),对于恣意正数(0 1)，假设2022-1-3133()( )P XxF x( )xf t dt那么称那么称x为此分布的下为此分布的下分位数，记分位数，记为为_x假设()1( )P XxF x 那么称那么称x为此分布的上为此分布的上分位数，记分位数，记为为x( )xf t dt特别地，当=0.5时，_0.50.5()()0.5P XxP Xx0.5x则称为此分布的中位数。变异系数变异系数2022-

21、1-3134D(X)XX()D(X),=.()XXE XE X定义： 设 是随机变量，若存在，称它为 的变异系数，记为(CV) 即(CV)2022-1-31351. 了解方差的定义：.)()(2XEXEXD2. 熟习方差的性质:；为常量CCD, 0)() 1 (；为常量则存在,若CXDCCXDXD),()()()2(2则存在与且相互独立与若，)()()3(YDXDYX. )()()(YDXDYXD内容小结内容小结2022-1-3136则为常量,相互独立,若n2C,C,121,)3(CXXXn. )()(121niiiniiiXDCXCD(|- ( )|)PX E X(5) 假设E(X) 与 D

22、(X) 存在，对于恣意的正数2().D X，(4) 对于恣意实数CR，有E ( X-C )2D( X )当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2获得最小值D(X).有(|- ( )|)PX E X或2()1.D X 2022-1-31373.熟习一些常见分布的方差 假设XB(n, p), D(X) = npq;)(),(XDPX 假设 假设XU(a, b), ;12)()(2abXD;1)(),(2XDeX 假设2022-1-31384. 方差的计算方法;)()()(22XEXEXD.)()(2XEXEXD 利用方差的定义: 利用方差的简化公式： 利用方差的性质； 利用常见分布的方差

23、.连续型离散型,)()(),()()(22dxxfXExxpXExXDiii相关系数的意义相关系数的意义.,的的线线性性相相关关程程度度较较高高较较大大时时当当YXXY.,的的线线性性相相关关程程度度较较差差较较小小时时当当YXXY.,0不不相相关关YXXY和和时时当当 2022-1-3140习题三习题三( P96) : 16、18、191、22、23、25 作业作业2022-1-3141备用题备用题1. 判别正误：判别正误：(1) 任何随机变量X都能其计算期望和方差. ( )(2)期望反映的是随机变量取值的集中位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。( )(3) 随机变量X的方差越小，X取

24、值越集中，方差越大，X取值越分散。( )答案: (1) X; (2) ; (3) .2022-1-31422.选择题 (2)( ),(1)(2)1()XPE XX设，则且12(3),nXXX设随变独从，机量立，且服同一分布201,niiXXn数学为 ，为，令则期望方差(1)( ,),2.4,1.44,XB n pEXDXn p则为( ) A. 4, 0.6 ； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1 A. -1； B. 2； C. 1； D. 3(),()E XD X别为( )分2222.,;.,;.,;.,AB nCD nnn 2022-1-3143(4) 3 ,

25、2 , 1( , 1)(, 1)(,321iXDXEXXXii，相互独立设)有(则对于任意给定的，02311)| 1(|.iiXPA2311)|131(|.iiXPB2311)|3(|.iiXPC23131)|3(|.iiXPD2022-1-3144分析分析44. 1)(4 . 2)(npqXDnpXE222()() ().E XD XE X22(1)(2)32()3 ()2E XXE XXE XE X(1) 由 XB(n, p)得：解方程组得 n=6, p=0.4, 应选B.(2)( ),()().XPE XD X由2022-1-314522322212(1)0,即1.应选 C.2022-1-3146321122221111()()()11().nniiiinniiiD XDXDXnnD Xnnn_111111()()()11();nniiiinniiiE XEXEXnnE Xnn应选 C.2022-1-3147(4)由题3知：23111().333iiDX311()1;3iiEX321()33.iiDX31()33;iiEX且根据切比雪夫不等式，应选D2022-1-3148 3.假设有十只同种电器元件,其中只需两只废品,装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品,那么扔掉重新任取一只; 如依然是废品, 那么扔掉再取一只. 试求在取到正品之