极限、连续与间断(优.选)

1、第一章极限、连续与间断本章主要知识点求极限的几类主要题型及方法 连续性分析间断判别与分类连续函数的介值定理及应用、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。P x(1)题型 I lim -XPn方法：上下同除以54例 1.1 lim Xxx2X的最咼次幂1解：原式lim -XX丄3X丄X14X例 1.2 lim -3xX22x 33x4 12 23x 1 2x 32解：原式 limXlimXX例 1.3. lim 3X 1X3x 1解：原式=limx=3例 1.4. lim (、一 4x2 x 12x)x解：原式=li

2、mxX 1.4x2 x 1 2x=limx14例 1.5 .limx4x 3x 2x4x 3x 2x解：原式=limx(A1(1)x原式=例 1.6 .limco=x 1 x 1解：原式=1/2例 1.7. xm13x2xx sin x2x 1解：原式=Pn a 0Pn(a)0, Pm (a) 0Pn (a)Pm (a)0(2)题型 II lim Pmx a Pn(x)Pm (a) Pn(a)，J上下分解因式(或洛比达)limx 1x2 2x 3解：原式=lim 心 1)= limx (u 1)(u 1) (x 1)(x 3) x 1例 1.9. lim -x 1 Vx 1解：令u31如，原式

3、=Hm1 U2(u 1)(u u 1)例 1.10.2ax lim 石 x 1 x22x b3x 2解：a+2+b=0.原式=limax2 2x (a 2)(x 1)( x 2)(x 1)( ax a 2)(x 1)(x 2)2a 22a=2,b=-4答案错误(3)题型IIIlim f (x)g(x)0x a若 lim f (x)0 , g(x)有界x a例 1.11.limx2arccot(sin( x1)解：因为arccot(sin( x21)有界所以原式=0。2 2 例 1.12. limln(1tan x)cos ()x 0x2 2解：因为 ln(1 tanx) 0 ( x 0 ),

4、cos2()有界,x所以原式=0.例 1.13 .lim 亠sin2006(si n(2006x)解因为 limxx xlimx0, sin 2006(sin(2006 x)有界;所以原式=0。(4)题型 IV lim(1u 01uu)识别此类题型尤为重要,主要特征为lim(1 u)vlim(11uv1 u)u未定式.步骤如下:lim uve例 1.14. limxx 2)3x 21)(x解：原式=limx(1(3x 2)limx3x 1 T7(3x 2)33lim=ex3(3 x 2)x 1 例 1.15. limxx2 5x(_2x1)2x2x 3)解：原式=limx1 -3x2xx2 2

5、x3x 23x 2F(2x1)2x 3lim(x=e3x 2)(2x 1)x2 2x 3例 1-16. |xmo(11x2sin x)解：原式=limx 01(1 x2sin x)x2sinxx2 sin(x)1x1(5)题型V等价无穷小替换替换公式：(x 0)sin x x tan x x彳 1 21 cosx x2arcsinx xarctanx xx1 x 1 - xnln(1 x) x ex 1 x 替换原则：乘除可换，加减忌换。例 1.17 .xim0sin xx3错解:x x3x=0例 1.18.xim0ln(1 2x)si n(5x)x2eT 1解：原式2x 5x2 =-20x例

6、 1.19.xim0解：原式例 1.20 .31 2x21arcta nx2=!i叫1 23(2x)2x解：令x 8 u，则x 8(题目可能有误 分子部分的9可能应替换为 19)u原式=16 2u 43 27 u 311u 14 _82721 1u=lim - 2 8=u 0 3 1 u3.27答案错误例 1.21 .limx 0tan x sin xtan3 xxlimx 0tan x(1 cosx) 解：原式=lim厂x 0x312例 1.22. lim (cosx)ln(1 2x)x 0解：原式=x叫（1cosx1cosx 1(cosx 1)_ln(1 2x2)1例 1.23.limxa

7、rcsinx1x2arcta n2x3x2xx(3x2-)lim厂x (2x 1)(1 x2)解：原式=lim -x 2x 13x2-32例 1.2-.tanxsi nx.e elimx 0 cos(x) sin(. 1 x31)解：原式=0。sin x tanx sin x_e (e _1)_cos(x) sin(. 1 x31)=0。tan x sin x e1x3tanx sinx（6）题型VI 洛必达法则（见导数相关内容）（7）题型VII变上限积分有关积分（见积分相关内容）、极限应用一连续性分析定义：lim f (x)f (X0)x X)变形:f(X。0) f(Xo 0)f (Xo),

8、其中 f (Xo0）分别表示左、右极限。例 1.25 . f(X)解：lim f (x)x 0sin x,xtan(sin 2x)a,x 0sin x1 0 tan(sin 2x)0，若f (x)在x1-f(0) a ，故20处连续，求a。1 a2解：f(00)2 . 1 ax sin - xln(1 2x)sin 2xf(0 0)f(x)a lim x2x 0sin1limx 0 sin2xlimx)4 ce由 f(00)f(0 0)f(0)得：1ce 42 1 ln(1 2x)门ax sin, x 0x sin 2x例 1.26. f x b,x 0，若 f (x)在 x 0处连续，求 a

9、,b,c2/1 X；cc( )x,x 0故b 1,ce4, a为任意实数问f (x)在x 0是否连续?例 1.27 f(x)g(X)Si nx,x 0，其中 g(x)为有界函数,0, x 01解：因为 lim f (x) lim g()sin x 0 f (0)x 0x 0所以，f(x)在x 0处连续。解：f(1X 11X0)lim f(x)lim -x 1 0X 1limX 1X1X 1X1f(10)linp0f (x)limlimx 1 0x 1 0X 1X 1X1,sin x 1亠 一八亠,亠例1.28 f (x)在x 1可能连续吗?x 1不论f (1)取何值，f (x)均不能连续。1，

10、1、极限应用一间断识别及分类识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2 .分类方法：(a)f (x°0)f(x°0) , x0为可去间断;(b)f (X°0)f (X°0) , X。为第一类间断,或称跳跃型间断;(c)f(X00)、f (X00)至少有一个不存在,X°为第二类间断;特别地，若左右极限中至少有一为x(x )tanx，则为第二类无穷间断。例 1.29 f (x)解：间断点为对于xlim f (x)0，所以X k2i为可去间断。对于x，当k0，即x0, lim江x 0ta n x0可去间断;对于x k，当k 1，即

11、xx(x)当 k 0,1,limX ktan xsin x11例 1.30 . f (x)ex 1x解：间断点x1 , 0x(x ),lim,x可去间断;x 0 tan xx k为第n类无穷间断。f(10) sin (1)limex1 ex 1 01f(1 0) sin(1) limex 1 0f(x)在x 1为n类无穷间断。lim f (x) e 1 , x=0 为可去间例 1.31 . f(x) 2 xln(1 x)(x 3)(x 1)(x 2)解：定义域为 x 1。间断点为x 1,x2。因为阿心)，!im2f(x)所以 1, 2均为f(x)的n类无穷间断。2 _x 丄例 1.32. f

12、(x)一e2 x解：定义域为2x2，间断点为x 2,2对于x 2 , lim f (x), x 2为第n类无穷间断；x 2 0 v 7丄对于 x 2, lim f(x) - lim 、2 xe2 x , x 2为第n类间断。x 2 02 x 2 0例 1.33 . f (x)x 1 sin x 11e注：对x2,2仅考虑了其一个单侧极限。,x 0,x 0,x 0.解：间断点是：x k,kZ ,x2 , x=0是可能间断点。对于x=0, f(0+0)= e12 ,f(0-0)=,x=0为第n类间断；对于x k , k Z ,limf(x)x k,为第n类间断；对于x=2,f(2-0)=0,f(2

13、+0)=，为第n类间断。注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理：f(x)在闭区间a,b内连续，且f(a) f(b) 0，则f(x)在a,b至少有一零点，即存在 c (a,b)，使得f(c) 0。 应用此定理需要注意以下几点：(0)f (x)如何定义。(1) a,b区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。(2) 验证f (x)在闭区间 a,b上的连续性，(3) 验证f (x)在两端的符号。(4) 此定理不能确定 f (x)是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证f(x)在a,b内的单调性(参见导数应用部分)例1.34 证明：xex 2在0,1内有一实根证：构造

14、 f (x) xex 2, x 0,1易知 f(x)在 0,1 上连续，且 f(0)2 , f (1) e 20，故 f(0) f(1)0,由连续函数介值定理知， f(x) 0在0,1有实根，即命题得证。例1.35 .证明x4 3x2 x 2至少有一正根证明：令 f(x) x4 3x2 x 2 , xf (x)在0,2内连续，且f (0)由闭区间连续函数介值定理得，0,22, f(2)4 , f(0)f (2)0f (x)在0,2至少有一根，即命题得证。五、数列极限定理：对充分大的 n成立，anbnCn ,如果lim annlim cn A,n那么limbn例 1.36.Iim(1n21解：因

15、为limlim所以，原式单元练习题1x a x1. lim ()x x a2.如果f(X)3.5.6.=1/2。2n22_1 n2-)nlimlimcos3x (xf(x) 11(x4.(x3 x1)(x 4)(x 2)12 nn21，n(n2 n)1)n(n 1)22(n1)0，在x 0处连续，则00)与mxn等价无穷小,0)与mxn是等价无穷小,的间断点为2 .x ax b22，则 ax2 3x 2在下列极限中，正确的是(1A. lim xsin 0xx亠.ln(1 2x) C. limx 1 x 101limx 1xm12x xx2 3x 22x xx2 3x 28若 lim | f(x

16、)| |A|那么()x aA lim f (x) Ax aB. lim f(x) Ax aC lim . | f(x)|. |A|x a ''9.在下列极限中，不正确的是(D.以上都不正确A. lim x xin 2x100lim1C. lim x1 xx 1si n2x 2D. lim -x 0 tan3x 310 .计算下列极限(1)limx4x2 2x 1 2x(2)limx2003x2004 x2cos 2004x 100!(3)limx2x2x x2x2x 1(4)2x211 cosx(5) 011x23x 2ln2 1 2x(6) limx 0 tan xsin 2

17、x2x2(7)limx 23 4x2sin x(8)limxxsi n(x 1) (9) limx 2x2(10)In 1 x2 2x4 limx 0(11)(12)xm02 sin xln 2 xln 22? x13 1 2x211啊23x题目错误 分子根号外部分应为 -号而不是+号11 分析函数12 .分析f Xlimnx的间断点，并指明其类型。sin x1 2n的间断点，并指明其类型。1 x2n13 .分析f Xtan x的间断点，并指明其类型。x 1 x 3 x14 .分析函数fsin x 1的间断点，并指明其类型。415 .证明方程x3x1至少有一正根，有一负根。16 .证明：方程I

18、n3至少有一正根。17. lim(1. n_1"n218. lim(n22n32n)历年真考题1、(2001 ) 1、下列极限正确的是( C )1 1 -A. lim(1 -)x e B. lim(1-)x ex 0 xx xC.lim xs in xxD.lim xs in x 0 x2、(2001 )求函数 f(x)(x 1)sinx的间断点，并指出其类型。1)3、(2002)下列极限中,正确的是(8、A. lim(1 tanx)cotxx 0B.C. lim(1 cosx)secx(2003)在下列极限中，正确的是sin2xA. limx x-lix2 4C. limx 2 x

19、 2D.lim(1nA )1xsi n1x1nf e(2003)(2003)(2003)B. limxlimQ(1已知证明:(2004)A.高阶无穷小C.低阶无穷小x2)1f(x)xxe(2004 )设 f(X)10、( 2004)求函数1cosx0时,sin (xxx11)，求其间断点并判断类型。2在(0,1)内有且仅有一个实根。2x sin x是关于x的 (B)B.同阶但不是等价无穷小D.等价无穷小x，则 lim f(x)xf (x)11、( 2005) x=0 是函数A.可去间断点C.第二类间断点x的间断点并判断类型。sin x1曲f (x) xsin 的()xB.跳跃间断点D.连续点本

20、章测试题ry g4x x231lg(2x 3)的定义域是。f(x),4 x2 ,|x|2的定义域是,f()sin x,2 x321.2.3.4.5.6.7.&9.1011sin x limsi nx,lim,x 0 xx 2xsin x lim,lim xsin xxx 0x1lim xsin oxxf(x)x、x2 2x1的连续区间是:3间断点是1 lim(- x 1 x 122 x1)若 f (x a) x(x a)，则 f (x)()A. x(xa)B. x(x a)C. (xa)(xa) D . (x a)2设 f(x)ln x ,g(x) x 2，则fg(x)的定义域是(A.

21、 (-2,+)B . -2, + C.(-,2) D.(-,2)设 f(x)xx 1，则当x 0且x1时f1f(x)( )x 1A.BXC .1 xD .xxx 1当x 0时与3x2 x4为同阶无穷小量是()A. xB2.xC3.xD .4 x当x 1时，下列变量中不是无穷小量的是()A. x21B. x(x 2)1C. 3x22x1 D . 4x 2x1.设 lim(1n2 kn 一) n3e ,则 k ()A. 3/2B.3/2 C . -3/2D.-2/312 .函数y f (x)在x a点处连续是A.充要条件B .充分条件Cf (x)在 x.必要条件Da点有极限的(.无关条件13 .函

22、数f (x)厂x1,x21,2,314 .当0时,15 . limn3、n3nA. 3x 3 的间断点是3x 2:BJ1.2xx 3.无间断点x的等价无穷小量是(.2x29_481n8 1),16 .函数 f(x)ln(x0,1,x1)1,x2,的连续区间是(A . 1,B .1,C .1,217.分析yx 3的间断点并分类。(x4)(x 1)x2118.lim(ax b) 0 ,求 a, b。xx 119.limxG, (xp)(x q)x)2,20.D .1,22,21.22.04_2x_1_3x 22lim也x 0 tan2x23.2x)x24.设 f (x)a x xsin3x2,x0

23、，求a使0f (x)在x 0处连续。25.设 f(x)3xa,1,0 x 1，若f(x)在()内连续，求a,b的值。26.求下列函数的间断点并判别类型。(1) f(x)(2) f (x)2x 112x 1lim -2n(3)x(2x )2cosx 'x 0x1sin 2 x2 1,x 02n x27. 设f (x)在a,b上连续且f (a) f()。28. 设f (x)在0,1上连续,且0a , f (b) b。试证：在a,b内至少存在一个f(x) 1。证明：在0,1上至少存在一个f()。29.证明 x5 3x 20在(1,2)内至少有一个实根。30.设 f (x)在上连续，且 f f

24、(x) x，证明：存在一个 使得f()本章练习解答2a1c9c1、e4, aln 4 ln 2 ;2、a 0 ；3、m, n 2224、6、101m -,2a 4,1;43;5、(1)解:原式=limx4x2 2x 1. 4x22x 1(2)解:原式=0(3)解:原式=limx(4)解:原式= limx 0(5)解:原式01(6)解:原式limx(7)解:(8)原式(9 )令原式原式4x22xx2 xx1,28、x22x22x21cosx22x0 x 2x2，得x2u 4V4ux,sinsin，得x12uu，得sin u lim u 0 u(10)原式u24x 2x lim 2 x 0 x2l

25、n(1 x)(11)原式x叫产二limxX2limx2x 1.4x2 2x 12x20!x22limx 1 x 131sinlimu 0limx 0 3xln 22x2x2=e011:u1-u2Zu6ln 21u21u222X1 一 33In2XmoH X2X213 n叫IK(12)解：原式13、解：f x的定义域x 2，间断点为x 0,1,k,k27 L °lim f xx 0.42 xxlimx 0 x 1 x 3x 3lim f xx 1f 1 01 , f 1 01x 0为可去间断；当k0，即x 0时，lim f (x) lim1， x 0为可去间断;x 0x 0 x当k0，

26、lim f xx k，x k为II类无穷间断1x 10x 112、解：11x1，间断点为 1,10x 11x 1f101， f 101，x1，I类跳跃间断；11、解：间断点为 x k , k Z 。x 1 , I类跳跃间断。limf x，x k为II类无穷间断。x k2214、解：x1为间断点。sin x 1sin x 1 f1 0 lim1，f 1 0lim1，x 1 01 xx 1 0 x 1x1为1类跳跃间断。x 1为II类无穷间断;4215、证明：构造 f (x) x 3x x 1,对于 x 0,2， f(x)在0,2上连续，且 f (0)1,f(2)16122110，据连续函数介质定

27、理知,在(0,2)方程至少有一正根;同理，对于x 2,0,f ( 2)16 12 2 150, f (0)10,故在(2,0)方程 至少有一负根，命题得证。416、证明：构造 f(x) xln(x 1) 3,x 0.e1，4f (x)在0,e1连续，且 f (0)3，f (e4 1) (e4 1)ln(e4) 3 4(e4 1) 3 0，据闭区间连续介值定理得知,在(0, e4 -1)内f (x)至少有一正根，即命题得证。17、1 .18、1/3。1.3,222,32.2,3 , 42/423. 1, 0 , 0 , 14.1,33,x 315.26、B 7、A 8、C9、B10、D 11、C

28、12、B13、A14、16、D17.定义域x 3,间断点为x 1且为第一类无穷断点。18.lim x2 1 (ab)(x1) (a lim1)x2(a b)x 1 b 0测试答案x1,b1。Ax 1xx 1则 a 1,a b 0 ,即 a15、A19 .原式=limx(p q)x pq.(x P)(x q)3 lim2 u32 3_8u x 820 .原式lim 1 2 3 (U 8)u 021.原式=limx 4limx2、x 242,233x lim x 0 2x23.lim (1x 024.limx 025.11)ex x 1ex x 12 ex x 1lim ex 0 x2 ex 1 lim ex 0x2a,limx (sin 3xi0 x得,0 a, f 0 a, f 01, f 12, f 1由连续性可知f 00 f 01 a