工程力学2ppt课件

1、 2.4 平面任意力系的简化与平衡平面任意力系的简化与平衡 2.4.1 力的平移定理力的平移定理 2.4.2 平面任意力系的简化平面任意力系的简化 2.4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 2.4.4 刚体系统的平衡问题刚体系统的平衡问题 平面任意力系习题课平面任意力系习题课 2.4 平面任意力系的简化与平衡平面任意力系的简化与平衡平面任意力系平面任意力系(coplanar arbitrary force system) ：各力的作用：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面一般力

2、系一般力系.例力系向一点简化：把未知力系平面任意力系变成已知力系向一点简化：把未知力系平面任意力系变成已知 力系平面汇交力系和平面力偶系）力系平面汇交力系和平面力偶系）2.4.1 2.4.1 力的平移定理力的平移定理力的平移定理：可以把作用在刚体上点力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力的力 平行移到任一平行移到任一 点点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力的矩等于原来的力 对新作用点对新作用点B的矩。的矩。FF证证 力力 力系力系），力偶（力FFF FFF ,F(Theorem of translation of a force)力的平移

3、定理揭示了力与力偶的关系：力力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 力平移的条件是附加一个力偶力平移的条件是附加一个力偶m，且，且m与与d有关，有关，m=Fd 力的平移定理是力系简化的理论基础。力的平移定理是力系简化的理论基础。说明：说明：2.4.2 2.4.2 平面一般力系向一点简化平面一般力系向一点简化 汇交力系 力 ， R(主矢)力 偶 系 力偶 ，MO (主矩)一般力系任意力系）一般力系任意力系）（未知力系）汇交力系汇交力系+力偶系力偶系向一点简化向一点简化（已知力系）(作用在简化中心)(作用在该平面上)(Reduction of a coplanar force sys

4、tem to a given center) 大小： 主矢 方向： R iFFFFR321vector) principal(主主矢矢 )()()( moment) principal(21321iOOOOFmFmFmmmmM主主矩矩2222)()(YXRRRyx XYRRxy11tantan （移动效应）简化中心简化中心 (与简化中心位置无关与简化中心位置无关) 因主矢等于各力的矢量和因主矢等于各力的矢量和 大小： 主矩MO 方向： 方向规定 + 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）)(iOOFmM（转动效应）在工程中常见的雨 搭车 刀固定端插入端约束固定

5、端插入端约束（fixed support） 固定端插入端约束固定端插入端约束说明说明 认为认为Fi这群力在同一这群力在同一 平面内平面内; 将将Fi向向A点简化得一点简化得一 力和一力偶力和一力偶; RA方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力YA, XA表示表示; YA, XA, MA为固定端为固定端 约束反力约束反力; YA, XA限制物体平动限制物体平动, MA为限制转动。为限制转动。简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。 =0,MO0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。R

6、=0， MO =0，则力系平衡，则力系平衡,下节专门讨论。下节专门讨论。 RR 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力这个力系的合力）简化结果就是合力这个力系的合力）, 。（此时。（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）RRRR 0,MO 0, 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简为最一般的情况。此种情况还可以继续简 化为一个合力化为一个合力 。R合力合力 的大小等于原力系的主矢的大小等于原力系的主矢合力合力 的作用线位置的作用线位置RMdORR结论：结

7、论：)(1niiOOFmM)()(主矩OOMdRRm)()(1niiOOFmRM 平面任意力系的简化结果 ：合力偶MO ； 合力 合力矩定理：由于主矩 而合力对O点的矩 合力矩定理 由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。R例：如图所示结构，半径r=0.4m, P1=20kN, P2=6kN, P3=2kN, M=4kN.m, =30, 试将此力系向O点简化，求出主矢和主矩。kN20.252362030cos21PPFRxx1221630sin32PPFRyykN计算主矢R：解：建立参考坐标系如图(a)所示

8、。 03968.0tanxyRR612计算主矩MO： mkNrPrPrPMPMMiOO.8 . 04 . 024 . 064 . 0200 . 4321例：如图所示简支梁AB上作用有荷载P1 、P2 、P3，且P1=30kN，P2=15kN，P3=5kN，试求合力R及其合力作用点位置。解：选参考坐标系如图所示，则合力R为：5051530321PPPPRykN设合力R距A点为x，由合力矩定理： iAAPMRM得：mxx9.39561523050 = 0 为力平衡 MO = 0 为力偶也平衡2.4.3 2.4.3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程0)()(22YXR

9、0)(iOOFmMR R 所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即： R 由于0X0)(iAFm0)(iBFm二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不 AB 连线连线0)(iAFm0)(iBFm0)(iCFm三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。0X0Y0)(iOFm一矩式一矩式 例 知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？解：选AB梁研究 画受力图以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）0)(iAFm由32 , 032PNaNaPBB

10、0X0AX0Y3 , 0PYPNYABB解除约束设有F1, F2 Fn 各平行力系， 向O点简化得： 合力作用线的位置为： 平衡的充要条件为 主矢 =0 主矩MO =0 R FxFRMxiiORFRRO主矢iiiOOxFFmM)(主矩平面平行力系平面平行力系: :各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。所以 平面平行力系的平衡方程为：0)(iAFm0)(iBFm 二矩式二矩式条件：条件：AB连线不能平行连线不能平行 于力的作用线于力的作用线0Y0)(iOFm 一矩式一矩式实质上是各力在x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有两个独立方程，只能求

11、解两个独立的未知数。0X0, 0AXX由022; 0)(aPmaaqaRFmBA0Y0PqaRYBA)kN(122028 .01628 .02022PamqaRB)kN(24128 .02020BARqaPY例例 知：知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：求：A、B的支反力。的支反力。解：研究AB梁解得：例例 知：塔式起重机知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量最大起重量)，尺寸如，尺寸如图。求：图。求：保证满载和空载时不保证满载和空载时不致翻倒，平衡块致翻倒，平衡块Q=？ 当当Q=180kN时，求满载时轨道时，求满载时轨道A、B给

12、起重机轮子的反力？给起重机轮子的反力？0)(FmB0) 22() 212(2) 26(ANWPQ0ANkN 75Q限制条件：限制条件：解得解得解：解： 首先考虑满载时，起首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小重机不向右翻倒的最小Q为：为：空载时，空载时，W=0由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制条件为：限制条件为：0BN解得解得kN 350Q因此保证空、满载均不倒因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系：应满足如下关系：kN 350kN 75Q04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA, 0iF0BANNWPQkN 870,kN 210BANN求当求当Q=180kN，满载

13、，满载W=200kN时，时，NA ,NB为多少为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得：本节作业：2.4.4 2.4.4 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 物体系统的平物体系统的平衡衡当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题可求解） 独立方程数目未知数数目时，是静不定问题超静定问题）一、静定与静不定问题的概念一、静定与静不定问题的概念我们学过：我们学过：平面汇交力系平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。两个独立方程，只能求两个独立未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。 0X0Y0im0

14、X0Y0)(iOFm力偶系平面任意力系三个独立方程，只能求三个独立未知数。（Problems statically determinate and statically indeterminate） 例例 静不定问题在强度力学材力,结力,弹力中用位移谐调条件来求解。静定未知数三个） 静不定未知数四个）例 二、物体系统的平衡问题二、物体系统的平衡问题外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。物体系统物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统 。物系平衡的特点：物系平衡的特点：

15、物系静止物系静止 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 3个个 平衡方程，整个系统可列平衡方程，整个系统可列3n3n个方程设物系中个方程设物系中 有有n n个物体）个物体）解物系问题的一般方法：解物系问题的一般方法： 由整体由整体 部分常用），由局部部分常用），由局部 整体用较少）整体用较少）例例 知：知：OA=R, AB= l , 当当OA水平时，冲压力为水平时，冲压力为P时，时， 求：求：M=？O点的约束反力？点的约束反力？AB杆内力？杆内力？冲头给导轨的侧压力？冲头给导轨的侧压力？0X由0sin BSN0Y0cosBSP tan ,cosPNPS

16、B 解：研究解：研究B0)(FmO0cosMRSA0X0sin AOSX0Y0cosOAYSPRM PYO tan PXO 负号表示力的方向与图中所设方向相反再研究轮例例 图图 (a)所示三根长度均为所示三根长度均为2l的杆件位于同一铅直平面内，各的杆件位于同一铅直平面内，各杆的中点杆的中点B、C、D用铰链连接，用铰链连接，A为固定铰链支座，为固定铰链支座，E为活动为活动铰链支座，在铰链支座，在F点作用有铅直力点作用有铅直力P不计各杆自重，试求不计各杆自重，试求AC杆杆上上B点受到的约束反力点受到的约束反力 解 本题共有九个未知约束反力，三个构件均受平面任意力系作用，所能列写的平衡方程的最大数

17、目为九个，因此是一静定问题。 解法1(1) 取整体为研究对象，受力图如图 (b)所示，根据几何关系可求得 列写平衡方程，有 9 .101 .199 .40 PPNllPllNFmEEA866. 0coscos2sin2cos0)sin2cos()coscos2(0)( 解解得得(2) 取取BE杆为研究对象，受力图如图杆为研究对象，受力图如图 (c)所示，列写平衡方程，有所示，列写平衡方程，有PNRlRlNFmEBxBxED82. 0cos0cos20)( 解得解得 讨论： (1)从本例可以看到求解物体系统的平衡问题时，一般总是先选取整体为研究对象，当整体出现的未知量有三个时，可以全部求出(是否

18、需要全部求出，根据具体情况而定)。当未知量超过三个时，可以求解出其中的部分未知量。 (2)对于一个结构，往往不需求出整个系统所有的约束反力，而是只需求解部分约束反力，这是求解物体系平衡问题时经常遇到的，在选择研究对象及列写平衡方程时，应考虑到尽量避开不需要求解的未知量，而用最少数目的平衡方程求得所求的未知量，以使求解过程简单。 例 图(a)所示结构由三个构件AB、BD及DE构成，A端为固定端约束，B及D处用光滑圆柱铰链连接、BD杆的中间支承C及E端均为可动铰链支座，已知集中载荷P10kN，均布载荷的集度q5kN/m，力偶矩大小M30kNm，梁的尺寸如图所示，单位为m，各构件自重不计。试求A、C及E处的约束反力。解解 本题的特点是结构受到有各种不同类型的载荷，结构较复杂，本题的特点是结构受到有各种不同类型的载荷，结构较复杂，可以根据题目要求来灵活选取研究对象和列写平衡方程。可以根据题目要求来灵活选取研究对象和列写平衡方程。 讨论： (1) 本题要求解的约束反力共有五个，按上述求解方法只列写了五个平衡方程，因此这种解题方案是可取的。请读者考虑，是否还有其