初中数学50道经典难题

1、初中数学50道经典几何难题合集第一题:已知：A/18C外接于。0,447=60。，AE上BC,CF±AB9AE、CT相交于点，点。为弧/*、的中点，连接H。、4）。求证：为等腰三角形的证：易证/8HC=120。，ZBOC=120°,/.H、0、C四点共圆。DB=DO=DC,D=DO=O4乂/0D,AIIDO是菱形；4H=HD,力打。为等腰三角形。第二题:如图，厂为正方形力以？)边CQ上一点，连接力C、延长力"交40的平行线/)于点“，连接且AOAE。求证：CE=Cb简证：作点E关于NQ对称点G,则D£_LDGCQGZ力DE,ZX/CG是等边三角形。NGH

2、C=60°,ADAF=5°,ZCE?-30°,ZDEF=30°,ZCFE=30°,.CE尸是等腰三角形。CE=CFo第三题:已知：MBC中,AB=AC,Z7MC=2O°求证：AD=BC简证：以力Q为边作正三角形组犯（如图）易知力8c丝（7力E：.AD=AE=BC.,ZBJJC=30°oAEDB第四题:已知：。以7中，。为ZC边的中点，4二简证：过D作交4C于E由已知得力£=EC,/E/D=NC又/力=SNC,:"BAE=/BEABA=BE,由NM)4=45°得NEIM=45°，/、D、

3、E、四点共圆，Z.ABE=ZADE=90°即AB1BC.=3ZC,4。/=45。求证：ABLBC第五题:如图，四边形/发7）的两条对角线/（'、BD交于点E,NB/iC=50。,44以）=60ZCBD=20°,ZCAD=3009408=40。求4CD。解：设AlBC交于点F.过D作DG/交所于点G,月G交BD于乩贝IJ/是等腰三角形，46、G、D四点共HoNIMG=/DBG=20°,.Z/WG=60°ZBDG=Z7?z/G=6O°,N»GI)=乙1RD=60°是等边三角形。月8H是等边三角形3U=/1B=BC,：.Z

4、JillC=80°,：.ZC1/G=40°:NHGC=M)°,:.HC=GC,GCDAZ/；£)C=30°,/CD=80°o第六题：已知，Z4C=30°,ZA1JC=60°,AD:简证：以为边向外作正三角形力班则BCLBE,BE2+BC2=C£2易证Qz/Bg/SC,"，BD=CE于是AB2+BC2=BDKI)=Z>Co求证：AB2+BC2=BD10第七题:如图，PC切。于C,47为圆的直径，/力”为。的割线，疝"与宜线，。相交于，、D.求证：四边形A3CQ为平行四边形证明:过C

5、作CG_LPO于G,则由/1EC=ZPGC=90°得«E>B、G、C四点共圆/同理八D、G、C四点共圆/PC是。切线，PC2=PEPF/L在rtzpco中，PC7=PGPC)、£Vi7-X/.PEPF=PGPC),1/：.E.G、。、尸四点共圆。./OGF一/=N0EF,/BGE=/0EF,AZC0GF=ZBGE又C'GJ_。得NEGC'=NFGC,ZEGF=ZE0I=2ZE.1E,，N£GC=N“GC=/£/"'乂N£GC=N£3CNFGC=NFD3：.NEB(=/FDC=/EHF：

6、.AF/BC.AE/CD9J四边形NBCD是平行四边形。第八题:已知：在中，AB=AC,44=80。，/（用=10°,Z.OCA=20°o求证：AB=OB简证:延长CO交力（于D,以OC为边作正三角形OCE（如图）易知/C=DC,AD=OD,OC=JD月CE90.），AMOs丛AEO,ZCA（）=-ZC4E=?AZBA（）=70°,N/60=40°：.ZBOA=70°,AAB=OB.第九题:已知：正方形力力CL中，NO仞=/。"=15。，求证：为正三角形°简证：以上为边作正三角形3c0,(如图)，0ljAB=OfB,ZABO

7、1=30°,ZBAO'=75°,ND月。=15°同理/ZD。'=15°于是ZDO'/月DO()与O'重合03C是正三角形。第十题:已知：正方形43CD中，E、F为AD接尸C。求证：PC=RC简证：易知产BEA.AF,("、P四点共网NRPC=NRFCZPBC=ZBEA而N2E/=NFC：.ZBPC=ZPBC：.PC=B(c、DC的中点，连接跖、AF,相交于点P,连第十一题:如图，A4cB马ZU/)”都是等腰II角三角形，/AD*=4CB=90°,N(7，,=45。交BE千F.求证：ZCTO=90

8、6;讣明：只要证明尸是等腰直角三角形时,£、AB共线即可。设(=0,B=1,A=itD=xe)，则Tfi=D-A=x+O，AE=42AI)-e4=42x+(y-1)/(l-/)=x+y-1+(v-x-1)/:E=A+AE=i+x+j-1+(y-x-iy=x-l+(y-x)/,:E+B=x+y+(y-x)i=2/?，“是上中点，工('/)”是等腰门用三角形，Z(FD=<x)°o第十二题:已知:A4"中,ZfHA=2ZCAH,已的角平分线以)与4ZA的角平分线4相交丁点/),14.BC=ADo求证：力二60。简证:作N/B/的平分线BE交/CFE,易得四

9、边形AHDE是等腰梯形4D=BE,BC=BENC=NCE8="jBBNCBE=3N/1BE，(、£；为等边三角形N/(3=60°o第十三题:已知：在ACU，AC=BC,ZC=100°,力。平分求证：AD+CD=AB筒证：作BE使得N4BIC=80'、交自线”于E,41）延长线与BE交于点F则RC是/1RE的平分线，NC/7A=iO°Zz/EB=60°ZCDF=120°,（D、F、£四点共圆ZDFC=ZDEC=ZDEF=ADCFCD=Q凡月/）+CI）=AF=AB.第十四题:已知:MBC中,AB=BC,D是A

10、C的中点，过/）作DELBC于E,连接AE9取DE中点尸，连接求证：AE1RF简证：RtRtDCE,BDDCDECEBD、DCDFDE_2CE'/DRF=/C/1E,：/、A(,，BDFsA/KECED,G,B四点共圆。G4=/Dz/=9O°,AELBF.。为力。上一点，AB=CD,连接8/）。第十五题:己知：中，4=24。，ZC=30°,求证：ABBC=BDAC简证：以/石为边作正三角形(如图)由NC=3O°OC=OBZB()C=2ZBAC=S°N/OC=108°,NOCD=36°O=OD,ZCO/)=72°AZB

11、OD=°/月31)=30°/BDs/CBABBC=BDAC.第十六题:已知：4S7）与441口均为正方形，4、色、C的中点。求证：/为go?为正方形简证:只要证明也人的是等腰直角二角形即可。设=0,C=i,A=hX尸b,（；=。（ce）,则a=8+C_8”=6+(cTNA2 =B2 =c =A +41 _ / + (c -b)i +b22B+B. b L =一22C+C, c + 1c；.7=(c2-/y2y=lzB 4 =J2 /人=i + (c -b)i +b b c-b+凡II=2、4分别为四、叫、CCDD、/)14%“2B第十七题:如图，在zMBC三边上，向外做三角

12、形加、BCP、C4。，使/。波=/（10=45。,43cp=AC。=30。,/ABR=/B4R=T5。求证：火0与火F垂直H.相等。简证：以仆仆为边作正三角形（如图）则是等腰直角三角形，QIBsPCB,OBPsA.ibCO心注“世IIQ=IIP,«2±IU第十八题:如图，已知4）是。的直径,/）是/*'中点，AB、力（交。卜点七、”,EM、FM是。的切线，EM、1相交于点M,连接。M。求证：DM工BC简证X如图,过O作G/LLD"OGEs），。人）.OG=OE=OF=OH,Ba7-ea7"fa7"Ba7OGOilNGD是平行四边形，D是

13、LC中点:G、分别是/6、4C的中点第十九题:如图，三角形/无：内接于。0,两条高4。BD=3,(7)=1,求三角形47面积0解：设)=入厂是坎中点，()b-dill24CDsmABHD得解得1=13x40=3,由03=0月得加+/="(34)2+产得d=i工0HDF为正方形,0/7=1三角形no“而枳为x2xl=lo2、位;交于点，连接40、()Hq若AJ1=2,第二十题:如图，ADAC=2x,/ACB=4x,zLABC-解：延长风,至E,使CE=8D,则AD=DE,设/乏=3贝UN£NC=4i/,由AD=UE得（5x1=t,t=:AB=AE,ZX/IBD/X/IEC：.

14、AD=AC,/DC=4.t,/.2+4x+4j:=180°,x=18c即NA/Q=18°o3x,AD=BC,求N84。4xli第二十一题:已知：在RA4BC中,乙4*=90。，/）为,40上一点，片是/"）的中点，Zl=Z2o求证：乙包>有=24位）府证：过工作6D平行线，交（无于八交CH于G,则F>1=FG=FI3,易得/D£g尸B£N*DE=N*bENCBE=4BGF=/GBFAFBA-AABD：.ZADB=ZABD.第二十二题:凶已知正方形是(力上的一点，以49为直径的圆0O交？4、PB于E、卜，射线。£、(下交十点

15、M0求证：点”在。Oho证明：设DE与圆。交于N,dedm=da2=dc2：41)NCs4dce/Q(%=/QN1H、aP、E四点共圆,，ZDCE=ZPBE=ZFNE：.ZDNC=ZFNE:N、尸、C三点共线，即DE、CE的交点为N,河与、重合。故点M在。O上。已知，点。是&4/TC内一定点，且有N/MC=NDCW=N"M=30。求证：A48C是正三角形。证明：显然当/"中1）/1=DR=DC时，/"C是正三角形。当力（'中1）41）B、DC有两个相等时,易证是正三角形。卜面证明/从'中DA.DB>DC互不相等是不可能的。DA.DB、

16、DC互不相等，不妨设IX最小，Q8最大。以/）为圆心，QC为半径作圆，则4在圆/）内部，在圆/）外部。圆D上取点E,使得NCQE=120°,BC与圆I）交于点尸。则CEF是正三角形。N/）/（'=/用c=30°,有I）、d、H、C四点共圆。Nz/ED=N4CDVso。，有点在FED内部。设”与EF交于点G,由NGE）=/GED=S0°知D、G、B、E四点共圆。:NFGD=NFBDVNCFD=S。，而/WG/）>N尸£/）=30°这是矛盾的。故48。是正三角形。第二十四题:如图,过正方形的顶点/的白线交H'、于/W、N .

17、DM与AN交于点/, 交f点儿求证：(1) (IIMNIG 4MON = WM证明：(1)设 C=0, D= 1, B=b /=-1+/； M=ai. N=b (u, />e J ) A. AL N共线,有上丝七口，N-MHn i ai ., aWU 得”h-aiI -a而= 1+5, /V= -/,求得1 -aL=/-o + l a1 -a：.Cl. 1 MN,、Trry.a.11.Rya1I.11+1(2)BN/=1+/10=一一+-/,ON=+/=-/1-。22-2225。)112 I 2)0M=a/+-/22Un i on1+a-2a:+(i/-1)/2(一)2：针；-/1(1V

18、11+4-2f7'+(3t7-1)/DM*0M=(I4-677)+1171/=BNiON1BN-i1OMI一=r9二二r-9且r>ODMOM(l-t/)2DM(j)2ON(1-a)2由RL.WN 得 NJ/ON; argZBP.W argZAfOA-ZB/o第二十五题:己角I：在止方形月（。中边长为1,“是（！）上点，AE殳BD于点G 交” （,的延长线广点F，连接交 8 于点交,连接6 °求证：（1）CF-CH当H.仅当/:'为C'。中点时，（）G+GH="h3，zkf=一了士K（1）£为口）中点OOE/BC.1D=Fi：H_OE_

19、1CHFC2DH2ADDGch=1=Tb=bg<=>DHDGCHGOGH/OC（。足5D中点）OGH=GD=0G+G=(2)取坎,中点K则由RtAFCHsrNKOCHCFCHCF屁"俎CF-CH高了=斤，即丁=f展开得“<77=->-KOKF1(7?+-222所以s“C=CH=(F-CH第二十六题:已知：.4BCQ与AEAG均为正方形,连接CF求证:AW片为等腰直角三角形讦明:设Q、a分别是正方形从BCD、z/EFG的中心，则6MAF,a2M/AC01M=A02=02E.OoNI=A0=0D,NDO1M=90°-Zz/01Af=90°一N/

20、aw=/MOH:丛D0M”4M0+E,MDEM又OpWXOoE,()2M1.0,D,Ml)LEM故为等腰三角形。第二十七题:,取（户的中点连接DW、ME.四边形4伙中，对角线水、用）交于点。，ti.AB=Al）,47=01°请你猜想AB+BO与AC+OI）的数量关系，并证明你的结论o解：过/作AELBD于E,过C作CFLBD于F,由40=0（、得AF.CF是平行四边形又AB=AD得E是BD中点设3七=处HE=d,0E=tAB=4?+$,BC=Ja+Zy-2B()=.r+h ()D=.r-l (.r>/)当BO>OD时，/>o,/IB+BO>BC+(Jx2 +/

21、 +2/OQO&+d2+X+/>"(X+2/p+/+XT(而+2/了+?)=4/&+/>"r。*>O当BO=ODBtt=o./1H+B()=BC+()D由对称性，当B()<OD时dR+BO<BC+OD综上,当/“)>0/)时，当BO=OD时，/1B+BO=BC+Ol)；当BO<OD时，/IB+BOVBC+OD.第二十八题:己知：四边形,4/?。中，乙4BC=4C8=58。的度数。解：作石CD的外心O,则由/3（工>=30。得川）0是等边三角形，N.4BC=/ACR,CR=OC:ACO,AO平分N/MC,，ZB/

22、1O=-N7L7C=32°2而NR/D=64°48°=16°4D平分Nb/O,乂BD=BOnBDTzMOI）（否则/卸）O>60°）,ZB/）z/=30°o,NC/)=48。，4C/)=30。，求Z/MI)第二十九题:E在&40中，。是彳的中点，/D4c=2/D（X,ZDCH=30°,求N的度数。解：作CD的垂直平分线交"于E作6CD的外心。，则ZDEA=2ZDCE=ZDAE，：.AD=DE,又D是/B中点：.BE±/1E,乂NQC，=3O°川）。是等边三角形，于是1）0=小）N3

23、Q4=90",:A、3、0、七四点共圆若0与E重合（如上图）,则乙100=105。；若O与E不重合（如卜图），则四边形DOCE是菱形，：.DO/AC,且ND0J=30°NQ"E=60。，是等边三角形E是中点，,JBC是等边三角形工Zz/BC=60°故所求/«=105。或60。o第三十题:在四边形力BC7)中，AD=CD,AC解：取4C中点八则由/)=CD得DFLAC,又得jk卜下RtA/lBEEDE,，-=BEDEAEFEAE-FE_AF瓦一正BE+DE一防5AZAEB=60°,ZBEC=120°。=BD,ABLAC,求NB

24、EC的度数。第三H一题:在R/A4BC中,ZACB=90。,/CAB=60。,CD1AB,M、N为直线上的两点、，RNMC4=/NCB=8。,求的度数。第三十二题:如图，/!/*中，于O,E为BD上点，RN/皿)=38°.ZCW=68°,4(Z'=14。，求的度数CDCDBDQaEDtan22°=,tan8°=：tanZEAI)=tan80tan520tan22°=tan24°已知BD是CABD边AC上高./ABDNBg)/CBDNGB:/BCEuld'/DCEuB。,求/CAE证明设/DAEx,BEABsln(52&

25、lt;x)BC«ln14°因为DgADsInx-aDC.In8用到,可知ln68、ln8”M(62。”)In(gy-x)lnWsln38°slnx-sln68°sln8°=3n38、lnx，ln14.进而slnZd'IWSh”)s4sln520«ln38°«lnxsln140»sin280slnx.Tfttanx«sln24°sln52°一,“。七口242所以NDAEf24。Bln24ecos52o*sln28f第三十三题:CO为。的直彳dA、3为半WH二两点，DE为

26、过点D的切线.，48交DE干E,连接OE,交（力丁M,交人于N。求证：ON=OM证明设o=o,/)=】，('=-1,.4=eia.=e"（a/e口）,E=i+M,由“、R、E共线得R-Acos/7+7sin/7-cos«-7sin«-，卬;_E-41+ai-cosa-isina解得。=sinasin/?sin(a/?)cosa-cos/72aPcot+cot22令A/=4£,AXyEAZ,111A.CM共线'二,即M(cosa+1+/sinft4+1+曲j.sina1a(l+cosa)-sina4co产2cot+cot22apcotcot

27、22cot+cot同JTd=,故M+N=O.II=INI9npON=QMuPacot-cot第三十四题:如图，四边形/AC。中，BC=CD,/BC4=2T。，Z(Al)=39°,N(7)4=78。，求NB4。的度数。解：作/")的外心0,则由坎'=('D知4cHg4(1)0,易知NH'D=84°得N(1必=48°,N坎'0=42°,X13114=30°ZBCH=60°,6。彳是等边三角形，N4CO=NBCONBC/=&1。,4('平分N/丸"XAH=A()二力区Cg/

28、klOC(否则NH4O>60°),/.ZBD.4=3O°o第三十五题:ABAC如图，四边形力3。中，AD=CD,NCBQ的度数。解：作1)的外心O,由N"DJ=30。得N80D=60。，4BOD是等边三角形，Z0B/=10°,又NA/C=io°:()B/13乂HD=D(D0=D6知是等腰梯形，/BC/1=/O4C=20°,ZCBD=160°60°=100°=10°,ABD=50°,ZACD=20°,求第三十六题：如图，BD=CE,G、H为BC、DE中点,4B=/求证：A

29、F/GH证明：将平移至丁是MN中点，、Q、/?>S分别是CD、BE,EM、DN中点，则四边形ARMF、4CNF、AGTF.8CN.M都是平行四边形。易得AFMDgLFNE,AID=NEPH2-CE,PGBD二HQ乙L又BD=CE得四边形PIIQG是菱形，PQ-LGII同理SB±TILPS二1CN二LbMR,：.PQSR,2o4，T在G上，又GT/AF：.Ab7fGHo= NDFe ,H，FD=FE第三十七题：如图，在正方形力"CQ中，有任意四点石、F、EG"的面积为5,求止方形的面积。解：如图,作6ME一交AD于NLAN/GH交CD于N,则RM=EF.AN=

30、GH易知四边形EGNH的面积等于四边形AMNB的面积设4V=a,DN=b,正方形边长为z,则,11xb(xci)x(x-b)=5、&二+/=442+加=34444解得/=一°即正方形ABCD的面枳是一。55G、H,且以'=4、GH=3,四边形第三十八题:解：N/=30°。ZB=609,ZC=90°显然符合已知条件。Il2BC=/<则C'点在B为圆心，为半径的圆上2/C=90°有C在以AB为直径的圆（）h取圆石上异于C的点，若点在圆0内部（如点D）,则ND>90°,乙4BD<60°,2ND>

31、;SNWD不合题意;若点在圆。外部（如点"）,则/£V90°,/”：>60：2/EV3乙如不合题意。故只有/*=30°o第三十九题:在0中，Z/nc=4（）°,。是边上一点,解：如图，做平行四边形z/EED,NEQC=NC=46°,ZBDC=46°+21°=67°DE=/B=DC,：.Zl）CE=6rBECD是等腰梯形ZBCD=ZEDC=46°即/C=46°oDC=AB,/DAB=21。，求D且满足N£Q=2N"Q第四十题:在中，AB=AC,。为8。边上一点，

32、E为由）上一点,=ZB/Co求证：3D=2CD。证明：在跳;上作8尸=/£,过尸作FG/D与NN£D的平分线交于点C交B1）于IL由N8EQ=N7WC,得N/1RE=NC/1E,XAR=ACHRWCAE,：.ZAFE=ZCED,/BED=2/CED,；/F£=/K4E,/1E=FE故F是石£中点oEG平分ABED.ZGED=NFAE：.EG/AF,四边形AFGE是平行四边形。£G=”=CE,:.AC/1E0AGHEq：,/7D平分GC,又FG/AD.D是HC中点。又尸是巫中点，得”是8D中点。故，D=9DC。第四十一题:己知，是正方形和正方形力

33、7T"：I二的点k、C的连线，点是的中点,连接/火、求证：EH=DH且*H1DH.同二I六题第四十二题:已知：NC4D=14B=IOQ,N（印）=40。，ZJ）HA=20°-求证：ZC7）/?=70°,?jill：作点/关:克线小）对称点0则/）gZOQ,乙m=150°”5）是等边三角形，/（加/）=%'Z7）OB=10°,ZOBC=4Oa一火）=2（/以0为圆心Q4为半径的阿O与直线/C交于点C,由NC）=1O°,WZD0Cf=i（）°，ZBOC9=10°/.DO/AC，OB./OAC'=/OBD

34、=20°=/orc所以c与C'里合。BC=BD,ZCD/=70°。第四十三题:（易证）sinZ/X/y sinZJCV:sinZJ679-sinZ/?(f£如图，£、1分别是圆内接四边形“步（,的对角线相、CD的中点，若NDEB=ZCEB。求证：NAFD=NB1D证明：延长（Z；交圆。于G点，由已知得OEA.AH,NDEBXCEB<=>ZDEO=ZGEO。/X,治(4)£<=>NED()=NEG()=ZE()=D、"、0、C四点共圆<=>ZLXB=1ZD()B=；(ZBOE-ZDOE)=1(

35、ZAOE-ZDOE)=1(ZJOD-2ZDOE)=；(2Zz/CD-2ZDO/<)=ZJCD-ZDCE=Z.1CE/)/?('<=>=»BDAC=ADBCADAC同理8。力=力。伙oZ/7)=ZB/-7K第四十四题:己知：AB=AC.4/)8=60。,NBCE=证明：作点片关于月。对称点F,则EC"是等边三角形，又NdD=60°.£、1).(四点共圆，NECD=/EF1),ZFD«=6()°ZBz7C=180°2/ICR=180°-2(ZE(D+30°)=180°-(ZZvFD+ZKCD+600)=1800-ZEFD-ZDCF=180°-zEFD-ZBEF=180°-NBFDB H、D.1四点共圆， NM3=Nz/D3=60°,Z/=ZFDB=60° &