函数恒成立能成立问题及课后练习(含答案)

1、如文档对你有用，请下载支持!恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：af(x)恒成立=a、f(x*ax;a<f(x)恒成立.a«f(x%in2、能成立问题的转化：af(x)能成立二af(xKn；aEf(x陛成立=2£“*濡3、恰成立问题的转化：a>fX在M上恰成立之a>f)x的解集为fa>f(x在M上恒成立M：二一a<f(x卢CRM上恒成立另一转化方法：若xwD,f(x)2A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)=A,若x=D,f(x)<B在D上恰成立，则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)=B

2、.4、设函数f(x卜g(x),对任意的xiwa,b】，存在x2wb,d，使得f(ximgN),则fminx-gminx5、设函数f(x)、g(x),对任意的毛乞,，存在x2wb,d，使得f(x1g(x2),则fmaxx-gmaxx6、设函数f(x卜g(x),存在XiWa,b1存在x2WC,d，使得f仅1)之g(x2),则fmx(x户gm,(x)7、设函数f(x)、g(x),存在Xiwa,b】，存在X2wC,d，使彳#f(XiAg“2),则(x)gma<(x)8、若不等式f(x)>g(x)在区间D上包成立，等价于在区间D上函数y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象上方；9、若不等式

3、f(x)<g(x)在区间D上包成立，等价于在区间D上函数y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象下方;二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数f(x)=x22ax+1,g(x)=a,其中a>0,x=0.x1)对任意xw1,2,都有f(x)>g(x)包成立，求实数a的取值范围；(构造新函数)2)对任意x1可1,2«2可2,4,都有f(x1)>g(x2)恒成立，求实数a的取值范围；(转化)3 3简解：(1)由x2-2ax+1-a>0=aM成立，只需满足穴x)=上广的最小值大于a即x2x212x214 2.32xx1可.对文x)=2求导，b(x)=2x2x

4、21>0,故中(x)在xw1,2是增函数，2x21(2x21)22 2中mi(nx)=9(1)=,所以a的取值范围是0<a<2.3 3a.一、1.1例2、设函数h(x)=+x+b,对任意a,2,都有h(x)410在xw,1恒成立，求实数b的x24范围.分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.方法1:化归最值，h(x)E10Uhmax(x)<10；方法2:变量分离，bM10_(a+x)或aMx2+(10b)x；x11万法3:变更王兀(新函数),5(a)=a+x+b10E0,a-,2x2简解：方法1：对a求导

5、，h(x)=1-4=(x-"a)2x"a),(单调函数)h(x)二一xbxxx,1.1.由此可知，h(x)在-,1上的最大值为h(一)与h(1)中的较大者.441139h(-)<104ab<：10b4a17二个/-10=4b-10=f-44a，对于任意a*,2,得b的取值范围是b".h(1)二101abM10bM9-a24例3、已知两函数f(x)=x2,g(x)=j-m,对任意xj0,2，存在*2乏1,2，使得2f(x1)Ng%),则实数m的取值范围为答-1案：m-4题型二、更换主元和换元法例1、已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R

6、上的奇函数，函数g(x尸?j(x)+sinx是区问口,1上的减函数，(I)求a的值；(H)若g(x)Mt2+1在xW-1,1上包成立，求t的取值范围；(R)分析：在不等式中出现了两个字母：九及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将久视作自变量，则上述问题即可转化为在(q，-1内关于九的一次函数大于等于0包成立的问题。(H)略解：由(I)知：f(x)=x,.g(x)=zx+sinx,g(x)在口1,1上单调递减，.g(x)厘+cox<0九M_cosx在，1上恒成立，:.九w1b(x)max=g(-1壮右一si,n.只需4Tin1t2+Jt+1,(t+1)九五2+s

7、in1+10(其中九£_1)恒成立，由上述结论：可令心尸"次正.心一则力一二十鸳不:黑a，而J+sin色0a成立，J.t三10例2、已知二次函数f(x)=ax2+x+1对xwb,2何有f(x)0,求a的取值范围。解：又tx三0,2恒有f(x)a0即ax2十x+1a0变形为ax2>-(x+1)当x=0时对任意的a者B满足f(x)>0只须考虑x#0的情况a>(x2+1)即a>-1-4要满足题意只要保证a比右边的最大值大就行。xxx现求1在xW(0,2】上的最大值。令t=1-tA1g(t)=-t2-t=-(t+-)2+-(t>-)xxx2242133

8、g(t)max=g(二)=-所以a-2443又f(x)=ax2+x+1是二次函数，a#0所以aa-3且a#04例3、对于?f足0EaE4的所有实数a求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范围答案：x<-1或x>3题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于x取值范围内的任一个数都有f(x)*g(a)包成立，则g(a)«f(x)min；若对于X取值范围内的任一个数都有f(x)«g(a)恒成立,则g(a)>f(

9、x)max.例1、当xW(1,2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围是L解析：当x(1,2)时，由x2+mx+4<0得m<.二m<-5.x例2、已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)=ilx-cosx在区间白胃上是减函数.(I)求a的值与人的范围；(H)若对(I)中的任意实数人都有g(x)1在.匚，至上包成立，求实数t的取值范围.一33(田)若m>0,试讨论关于x的方程nx=x22ex+m的根的个数.f(x)解：(I)、(田)略(H)由题意知，函数g(x)=M-cosx在区间J,"上是减函数.,3

10、3g(x)max=g(R3P2,g(x)"I在匕(>恒成立£"一汗一1题型四、数形结合(包成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)例1、若对任意xwR,不等式|xRax包成立，则实数a的取值范围是解析:对VxwR,不等式|x|之ax恒成立、则由一次函数性质及图像知-IWaWl,即-iWaMl。例2、不等式axE%；x(4-x)在xw0,3内恒成立,求实数a的取值范围。解：画出两个曲数y=ax和y=Sx(4x)在xW0,3上的图象如图知当x=3时y="3,当春3x0,3时总有ax < <x(4-x)所以a < 3，若不等式f (x

11、) 22x-m恒成立，则实数m的取值范3x6,x-2例4、已知函数y=f(x)=W6-3x,x-2围是.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数；/y=2x-m®y=f(x)的图象，由于不等式f(x)22x-m恒成立，所以函数y=2x-m的图象应总在函数y=f(x)的图象下方，因此，当x=-2时，y=Y-mW0,所以m之T,故m的取值范围是-4,+=°).题型五、其它(最值)处理方法若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在区间D上f(x)maxA；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上的f(xin<B.利用不等

12、式性质1、存在实数x,使得不等式|x+3+|x-1Ma23a有解，则实数a的取值范围为。解：设f(x)=x+3|寸x，由f卜Ha2一3a有解，=a=afxn,又x叫+x-1>|(x3HxTb=4,a2-3a之4,解得a之4或aW102、若关于x的不等式x-2+x+3之a恒成立，试求a的范围解：由题意知只须a比x-2+|x+3的最小值相同或比其最小值小即可，得aw(x-2+x+3)min由x2+x+33x2(x+3)=5所以a45利用分类讨论1、已知函数f(x)=x2-2ax+4在区间-1,2上都不小于2,求a的值。解：由函数f(x)=x22ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a与-1,2

13、的大小，显然要进行三种分类讨论1) .当a之2时f(x)在-1,2上是减函数此时f(x)min=f(2)=4-4a+4<2即a之3结合a2,所以a之22) .当aT时f(x)在-1,2上是增函数，止匕时f(-1)=1+2a+4«23f(x)min=f(-1)=1+2a+4w2结合aw一1IPa<-3) .当-1<a<2时f(x)min=f(a)=x2-2a2+4<2即a272或aW-72所以22<a<2综上1,2,3满足条件的a的范围为：aw3或a2/22利用导数迂回处理1 .1、已知f(x)=lg(x+1)g(x)=lg(2x+t)右当XW

14、0,1时f(x)«g(x)在0,1恒成立,求头数2t的取值范围解：f(x)Eg(x)在0,1上恒成立，即J。？-2x-tM0在0,1上恒成立即a/x干-2x-1E0在0,1上的最大值小于或等于0令F(x)=v7+1-2x-t所以F'(x)=2=上学三口，又xW0,1所以F'(x)<0即F(x)在0,1上单调递减2、x12.x1所以F(x)max=F(0),即F(x)MF(0)=1tM0得t之12、已知函数f(x)=lnx-；ax2-2x(a*0)存在单调递减区间，求a的取值范围.2解：因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f'(x=1-ax-2=-&qu

15、ot;ax2x-1:0xx-12八，、12(0,+°°)有解.即a(x=(0,+o0)能成立,设u(x)=7-.x2xx2x由u(x)=4-2=Q-1I-1得，umin(x)=一1.于是，a>-1,x2xx由题设a#0,所以a的取值范围是(-1,0P(0,)3、已知函数f(x)=x(lnx+m),g(x)=ax3+x.3(I)当m=2时，求f(x)的单调区间；3.(H)6m=-时，不等式g(x)Af(x)包成立求头数a的取值沱围.2解：(I)略3ao3(H)当m=一时，不等式g(x)>f(x)即一x+x之x(lnx+-)恒成立.由于x>0,23211a 2

16、3-x +1 之In x + , 32a13(lx)3(lnx)亦即一x2之Inx+一，所以a之2-2-.令h(x)=2-2-,则32x2x2hx)=63rx,由h<x)=0得x=1.且当0cx<1时，h'(x)a0;当x>1时，h'(x)<0,即h(x)在x3(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，所以h(x)在x=1处取得极大值h(1)=-,也就是函数213(lnx)3h(x)在定义域上的最大值.因此要使a2包成立，需要a>-,所以a的取值范围为x22注：包成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的

17、单调性、极值、最值等有关。小结：包成立与有解的区别:不等式f(x)<M对xWl时恒成立ufmax(x)<M?,xWl。即f(x)的上界小于或等于M;不等式f(x)<M对xwi时有解=fmin(x)<M?,xWl。或f(x)的下界小于或等于M;不等式f(x)>M对xWl时恒成立。fmin(x)AM?,xWl。即f(x)的下界大于或等于M;不等式)加对*"时有解。fmax(x)M,xl.0或f(x)的上界大于或等于M;三、包成立、能成立问题专题练习23,21、已知两函数f(x)=7x_28x_c,g(x)=2x+4x-40x0(1)对任意xWH3,都有f(x

18、Ag(x成立，求实数c的取值范围；(2)存在xwk,3,使f(x)Eg(x)成立，求实数c的取值范围；(3)对任意入出三口,3,都有f(x1)0),求实数c的取值范围；(4)存在XW3,都有f恪卢g02),求实数c的取值范围；2、设a>1,若对于任意的xqa,2a,者B有ywa,a2满足方程logax十logay=3,这时a的取值集合为()(A)a|1<a<2(B)a|a之2(C)a|2<a<3(D)2,3x-y_03、若任意满足<x+y-5"的实数x,y,不等式a(x2+y2)E(x+y)2恒成立，则实数a的最大值y-3<0是.4、不等式s

19、in2x_4sinx+1a父0有解，贝a的取值范围是5、不等式axW业(4-x)在xw10,3】内恒成立,求实数a的取值范围。13226、设函数f(x)=-x+2ax-3ax+b(0<a<1,bWR).3(I)求函数f(x)的单调区间和极值；(II)若对任意的xa+1,a+2,不等式f'(x)Ea成立，求a的取值范围。7、已知A、B、C是直线上的三点，向量OA,OB,OC满足：OA-1+2f'(NOB+ln(x+1>oC=0.(1)求函数y=f(x)的表达式；2x(2)若x>0,证明：f(x)>x+2；(3)若不等式lx2fx2)+m2-2bm-3

20、时，xwL1,1及bw匚1,1】都何成立求实数m的取值2范围8、设f(x)=pxq_2lnx,且f(e)=qe_E_2(e为自然对数的底数)xe(I)求p与q的关系；。I)若f(x而其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(III)设g(xb竺，若在1,e上至少存在一点xo,使得f(x°)>g(x0)成立，求实数p的取值范围.x如文档对你有用，请下载支持!课后作业答案：1、解析：(1)设h(X)=g(xLf(x)=2x3_3x2_12x4c，问题转化为XW_3,3时，h(x/0恒成立,故in仆户00令hx)=6x25a -1 y33、答案：解析：由不等式a(x2+y2)E(x +

21、 y)2可得/十工，由线性规划可得11"。-6x_12=6(x+1Jx_2尸0,得x=1或2。由导数知识，可知h(x)在W单调递增,在口,2单调递减，在12,3单调递增，且h(4)=c_45,h(x异值=h(-1/+7,h(x卜值=h(2)=c20,h(3)=c9,hmin(x尸h(口产U5,由c口5之0,得c>45。(2)据题意：存在xW口3,使f(xAg(x)成立，即为：h(x户g(x)_f(x0在xWY13x 2有解，故hmax09,由(1)知Max0尸c十7至0,于是得c>-70(3)它与(1)问虽然都是不等式包成立问题，但却有很大的区别，对任意式.亡匕3,都有f

22、(x1Hg作)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x、x2的取值在匕,3上具有任意性，要使不等式包成立的充要条件是：fmax(x)_gmi(x?x.£3,3=fx：l7x-22-c-28,x.I-3,3.-.f(x)ax=f(7)=147Y,g,(x产x248xK0=2(3x+10x2),.g”产0在区间4,3上只有一个解x=20g(xjin=g(2尸Y8,147cT8,即c心95.(4)存在治2乞3,3,都有f(x1)Wg(x2),等价于3(乂后g(maX,由(3)得fmin仅1)=f(2)=-c-28,gmaxd)=g(-3)=102,y-28M102nc"130点

23、评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。3232、Bo解析：由方程1。92*+1。92丫=3可得丫=邑，对于任意的xa,2a,可得里=2力2,x2x2aIa<：依题意彳322=a之2。a2-a2如文档对你有用，请下载支持!+ °0)(4 分)(7分)4、解：原不等式有解=a>sin2x_4sinx+1曾sinx_句_3(_1WsinxW1有解，而x2j31in=-2,5、解：画出两个曲数y=ax和y=Jx(4-x)在xw0,3上的图象如图知当*=3时丫=，3，a=3当aw手，xw10,3时总有ax

24、wjx(4-x)所以aw*6、解：(I)fx)=-x2+4ax-3a2(1分)令令x)>0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)令f'(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(一8，a)和(3a,当x=a时，f(x)极小值=3a3+b;4当x=3a时，f(x)极小值=b.(6分)(H)由|f'(x)|<a,得一awx2+4ax3a2wa.0<a<1,a+1>2a.f(x)=x2+4ax3a2在a+1,a+2上是减函数.(9分)f(x)max=f(a1)=2a-1.f(x)min=f(a2)=4a-4.于是，对任意xWa+1,a+2,不等式包成

25、立，等价于4又0<a<1,.一<a<1.57、解：(1)OAy+2f/(1)ObT+ln(x+1)OC=0,.oA=y+2f/(1)OBTln(x+1)OC由于A、B、C三点共线即y+2f/(1)+ln(x+1)=12分.y=f(x)=ln(x+1)+12f/(1)11f/(x)=xn，得f/(1)=2,故f(x)=ln(x+1)4分2x12(x+2)2xx2(2)g(x)=f(x)x+2，由g/(x)=x+1(x+2)2=(x+1)(x+2)2.x>0,.g/(x)>0,，g(x)在(0,+8)上是增函数6分故g(x)>g(0)=02x即f(x)>xT28分1(3)原不等式等价于2x2f(x2)&m22bm3112xx3-x令h(x)=2x2f(x2)=2x2ln(1+x2),由h/(x)=x1x2=110分当xC1,1时，h(x)max=0,m22bm3>0:Q(1)=m2-2m-3>0令Q(b)=m22bm3,则Q(1)=