三角函数知识点总结题型总结课件

1、1.1 任意角的三角函数1.三角函数定义 在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点P (除了原点的坐标为(,x y ,它与原点的距离为(0r r =>,那么 (1比值yr叫做的正弦,记作sin ,即sin y r =;(2比值x r 叫做的余弦,记作cos ,即cos xr=;(3比值yx叫做的正切,记作tan ,即tan y x =;(4比值x y 叫做的余切,记作cot ,即cot xy =;(5比值r x 叫做的正割,记作sec ,即sec rx =;(6比值r y 叫做的余割,记作csc ,即csc ry=.2 3.三角函数的符号由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号

2、,我们可以得知:正弦值yr 对于第一、二象限为正(0,0y r >>,对于第三、四象限为负(0,0y r <> 余弦值xr 对于第一、四象限为正(0,0x r >>,对于第二、三象限为负(0,0x r <>正切值yx对于第一、三象限为正(,x y 同号,对于第二、四象限为负(,x y 异号.说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值。1.2三角函数公式诱导公式sin(-a = -sina cos(-a = cosasin(2-a = cosa cos(2-a = sinasin(2+a = cosa cos(2+a = -sinasin(-

3、a = sina cos(-a = -cosa sin(+a = -sina cos(+a = -cosa两角和公式sin(A+B = sinAcosB + cosAsinB sin(A-B = sinAcosB cosAsinB cos(A+B = cosAcosB sinAsinB cos(A-B = cosAcosB + sinAsinBtan(A+B =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B =tanAtanB1tanBtanA +-倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- sin2A=2s inAcosAcos2A = cos 2A-sin 2A=2cos

4、2A-1=1-2sin 2A 其它公式asina+bcosa=b (a 22+×sin(a+c 其中tanc=ab asin(a-bcos(a = b (a 22+×cos(a-c 其中tan(c=ba 1+sin(a =(sin2a +cos 2a 2 1-sin(a = (sin 2a -cos 2a21.3三角函数的图像与性质三角函数图像三要素:定义域、值域、周期一、周期:函数(tan 0,0y A x A =+的周期T =. 函数sin(y A x =+及函数cos(y A x =+,x R 的周期2|T =. 说明:求函数周期的一般方法是:先将函数转化为sin(y

5、 A x =+的形式,再利用公式2T =进行求解。二、值域例1:求函数sin y x x =-的值域。 解:1sin 2(sin 22y x x x x =-=- 2sin(3x =-1sin(1x -,22sin(24x -,所以,函数sin y x x =-的值域为2,2-. 【变题】若把本题再加上24,33x 的条件,则结果又如何?说明:sin cos y a x b x =+形式的函数求值域时,可考虑先将函数化为sin(y A x =+形式的函数来求解。例2:求函数234sin 4y x cos x =-的最大值和最小值,并写出函数取最值时对应的x 的值。解: 234sin 4y x

6、cos x =-24sin 4sin 1x x =-214(sin 22x =-,令sin t x =,则11t -,214(22y t =-(11t -,当12t =,即26x k =+或526x k =+(k Z 时,min 2y =-,当1t =-,即322x k =+(k Z 时,max 7y =.例3:求函数sin cos sin cos y x x x x =+的值域。解:令sin cos x x t +=,则21sin cos 2t x x -=,又sin cos 4t x x x =+=+, t 当1t =-时,min 1y =-, 当t =时,2max 111222y =+

7、所以,函数sin cos sin cos y x x x x =+的值域为1,2-. 小结:1.可化为sin(y A x =+型的函数值域; 2.可化为求二函数的函数的值域;3.含sin cos x x ±,sin cos x x 的函数的值域的求法。三、图像 四、图像变换1.sin y A x =型函数的图象例1 画出函数2sin y x =,x R ,1sin 2y x =,x R ,的简图。解:先画出它们在上的图象,再向左右扩展, 由图可知,对于同一个x ,2sin y x =,0,2x 的图象上的点的纵坐标等于sin y x =,0,2x 的图象上的点的纵坐标的2倍,因此,2

8、sin y x =,x R 的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变的情况下而得到的。1sin 2y x =,x R 的图象的情况也类似:纵坐标变为原来的12(横坐标不变情况下。一般地,函数sin y A x =,x R (0,1A A >的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(1A >时或缩短(1A <时到原来的A 倍(横坐标不变的情况下而得到,因此,sin y A x =,x R 的值域是,A A -,最大值为A ,最小值为A -. 2.sin y x =型函数的图象例2 画出函数sin 2y x =,x R ,1sin 2y x =,x R

9、 的函数简图。解:先画出它们在一个周期内的图象,再向左、右扩展,一般地,函数sin y x =,x R (0,1>的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1>时或伸长(01<<时到原来的1倍(纵坐标不变的情况下 xyO 32 2 22sin y x =sin y x =1sin 2y x =x yO 2 4 2 1 1- 而得到的。3.sin(y x =+型的函数图象 例3 画出函数sin(3y x =+,x R ,sin(4y x =-,x R 的简图。 解:由函数图象的平移知:sin(3y x =+,x R 的图象可看作sin y x =,x R 的图象向左平

10、移3个单位得到;sin(4y x =-,x R 的图象可看作sin y x =,x R 的图象向右平移4个单位得到。可得图象如下:一般地,函数sin(y x =+(0,x R 的图象,可看作把正弦曲线上所有点向左(0>时或向右(0<时平行移动|个单位而得到例 画出函数3sin(23y x =+的简图。解:函数的周期为22T =,先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图,再 x y O 2 94 5376 4 3- 54 xyO3-6-532sin(3y x =+sin(23y x =+sin y x = 3sin(23y x =+函数3sin(23y x =+的图象可看作由下面的

11、方法得到的:sin y x =图象上所有点向左平移3个单位,得到sin(3y x =+的图象上;再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12,得到sin(23y x =+的图象;再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍,得到3sin(23y x =+的图象。一般地,函数sin(y A x =+,x R 的图象(其中0A >,0>的图象,可看作由下面的方法得到:把正弦曲线上所有点向左(当0>时或向右(当0<时平行移动|个单位长度;再把所得各点横坐标缩短(当1>时或伸长(当01<<时到原来的1倍(纵坐标不变; 再把所得各点的纵坐标伸长(当1A >时或缩短(

12、当01A <<时到原来的A 倍(横坐标不变。 即先作相位变换,再作周期变换,再作振幅变换。 问题:以上步骤能否变换次序?3sin(23sin 2(36y x x =+=+,所以,函数3sin(23y x =+的图象还可看作由下面的方法得到的: sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的12,得到函数sin 2y x =的图象;再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6个单位,得到函数sin 2(6y x =+的图象;再把函数sin2(6y x =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍,得到3sin 2(6y x =+的图象。例3:已知函数sin(y A x B =+

13、(0A >,0>,|<的最大值为 最小值为,周期为23 ,且图象过点(0,求这个函数的解析式。 解:A B A B +=-+=A B =, 又223T =, 3=, sin(322y x =+, 又图象过点(0,4-, 422-=+, 1sin 2 =-, 又|<,6=-或56=-,所以,函数解析式为6y x =-+或5sin(3262y x =-+ . 三角函数题型分类总结一.求值1.(09北京文若4sin ,tan 05=->,则cos = . 2.是第三象限角,21sin(=-,则cos = 25cos(+=3.(08北京若角的终边经过点(12P -,则co

14、s = tan 2=4.二.最值1.(09福建函数(sin cos f x x x =最小值是 。2.(09江西若函数(1cos f x x x =,02x <,则(f x 的最大值为 3.(08海南函数(cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。4.(06年福建已知函数(2sin (0f x x =>在区间,34-上的最小值是2-,则的最小值等于5.(08辽宁设02x ,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 .6.将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位,所得图像关于y 轴对称,则n的最小正值是 A .67 B

15、.3 C .6 D .2 7.若动直线x a =与函数(sin f x x =和(cos g x x =的图像分别交于M N ,两点,则MN 的最大值为( A .1BCD .2 8.函数2(s i 3s i n c o s f x x x =在区间,42 上的最大值是 ( A.1B.12+ C.32 三.单调性 1.(04天津函数,0(26sin(2-=x x y 为增函数的区间是( .A. 3,0B. 127,12 C. 65,3 D. ,652.函数s i n y x =的一个单调增区间是( A .- 44, B .3 44, C .3 2,D .322,3.函数(s n 3c o s (

16、,0f x x x =-的单调递增区 间是 ( A .5,6-B .5,66-C .,03-D .,06- 4.(07天津卷 设函数(sin (3f x x x =+ R ,则(f x ( A .在区间2736,上是增函数B .在区间2-,上是减函数 C .在区间34,上是增函数D .在区间536,上是减函数5.函数22c o s y x =的一个单调增区间是( A .(,44-B .(0,2C .3(,44D .(,2四.周期性1.(07江苏卷下列函数中,周期为2的是 ( A .sin 2x y = B .sin 2y x = C .cos 4xy = D .cos 4y x =2.(08江

17、苏(cos 6f x x =-的最小正周期为5,其中0>,则=3.(04全国函数|2sin|xy =的最小正周期是( . 4.(1(04北京函数x x x f cos sin (=的最小正周期是 .(2(04江苏函数(1cos 22R x x y +=的最小正周期为( . 5.(1函数(sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是 (2(09江西文函数(1cos f x x x =的最小正周期为 (3. (08广东函数(sin cos sin f x x x x =-的最小正周期是 . (4(04年北京卷.理9函数x x x x f cos sin 322cos (-=的最小正周

18、期是 . 6.(09年广东文函数14(cos 22-=x y 是 ( A .最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为2的奇函数 D. 最小正周期为2的偶函数7.(浙江卷2函数2(sin cos 1y x x =+的最小正周期是 .8.函数21(cos (03f x x w w =->的周期与函数(tan 2xg x =的周期相等,则w 等于( (A 2 (B 1 (C 12 ( D 14五.对称性1.(08安徽函数sin(23y x =+图像的对称轴方程可能是( A .6x =-B .12x =-C .6x =D .12x =2.下列函数中,图象关于直线3=x

19、 对称的是 ( A 32sin(-=x y B 62sin(-=x y C 62sin(+=x y D 62sin(+=x y 3.(07福建函数s i n 23y x =+ 的图象( A.关于点03 ,对称B.关于直线4x =对称 C.关于点04 ,对称 D.关于直线3x =对称 4.(09全国如果函数3cos(2y x =+的图像关于点4(,03中心对称,那么的最小值为 （ (A ） p 6 ） (B p 4 (C p 3 (D p 2 5已知函数 y=2sinwx 的图象与直线 y+2=0 的相邻两个公共点之间的距离为 为（ A3 2p ，则 w 的值 3 3 2 六.图象平移与变换 B

20、 C 2 3 D 1 3 1.（08 福建）函数 y=cosx(xR的图象向左平移 g(x的解析式为 p 个单位后，得到函数 y=g(x的图象，则 2 p 个单位长度，再 3 2.（08 天津）把函数 y = sin x （ x Î R ）的图象上所有点向左平行移动 把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 是 3.(09 山东将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 函数解析式是 4. 1） 07 山东） （ （ 要得到函数 y = sin x 的图象， 只需将函数 y = cos ç x - 移 个单位 1 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数 2 p 个单位

21、, 再向上平移 1 个单位,所得图象的 4 æ è pö ÷ 的图象向 3ø 平 5.（2009 天津卷文）已知函数 f ( x = sin(wx + p 4 ( x Î R, w > 0 的最小正周期为 p ，将 y = f (x 的图像向左平移 | j | 个单位长度，所得图像关于 y 轴对称，则 j 的一个值是 （ ） A D p 8 p 2 B 3p 8 C p 4 6.将函数 y = 3 cos xsin x 的图象向左平移 m （m > 0） 个单位， 所得到的图象关于 y 轴 对称，则 m 的最小正值是 （

22、） 2p p p A. B. C. 6 3 3 5p D. 6 7.函数 f(x=cosx(x(x Î R的图象按向量(m,0 平移后，得到函数 y=-f(x的图象，则 m 的值可以为 ( A. p 2 B. p C. p D. p 2 8将函数 y=f（x）sinx 的图象向右平移 y=12sin x 的图象，则 f （ （ ） Acosx B2cosx 2 p 个单位，再作关于 x 轴的对称曲线，得到函数 4 x ） D2sinx 是 CSinx 9若函数 y = 2 sin(x + q ) 的图象按向量 ( 一个可能的值是 A 七图象 p 6 , 2 平移后，它的一条对称轴是

23、x = p 4 ，则 q 的 5p 12 B p 3 C p 6 D p 12 ö é ù ÷ 在 区 间 ê ， ú 的 简 图 是 3ø ë2 û y 1 p 6 n - 1 （ 07 宁 夏 、 海 南 卷 ） 函 数 y = s i ç x2 （ ） - p 3 æ è y 1 p 6 p - 2 O p x - p -p O 3 2 p x -1 -1 y y p p 3 1 - p O p - 6 2 - x - -1 p 2 p 6 1 p 3 O p x -1

24、 2（浙江卷 7）在同一平面直角坐标系中，函数 y = cos( + x 2 3p ( x Î 0， 的图象和直线 2p 2 y= 1 的交点个数是 2 （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 3.已知函数 y=2sin( x+ ( >0在区间0，2 的图像如下：那么 = A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 4 （ 2006 年 四 川 卷 ） 下 列 函 数 中 ， 图 象 的 一 部 分 如 右 图 所 示 的 是 （ ） pö æ ÷ 6ø è pö æ （C） y = cos ç

25、 4 x - ÷ 3ø è （A） y = sin ç x + （B） y = sin ç 2 x - æ è pö ÷ 6ø （D） y = cos ç 2 x - æ è pö ÷ 6ø 6(2010· 全国为了得到函数 ysin æ2x3ö 的图象，只需把函数 ysin æ2x6ö 的图象 è ø è ø ( B向右平移 个长度单位 C向左平

26、移 个长度单位 4 2 D向 A向左平移 个长度单位 4 右平移 个长度单位 2 7已知函数 ysinæx12öcosæx12ö，则下列判断正确的是 è ø è ø A此函数的最小正周期为 2，其图象的一个对称中心是æ12，0ö è ø B此函数的最小正周期为 ，其图象的一个对称中心是æ12，0ö è ø C此函数的最小正周期为 2，其图象的一个对称中心是æ6，0ö è ø D此函数的最小正周期为

27、 ，其图象的一个对称中心是æ6，0ö è ø 八.综合 1. （04 年天津）定义在 R 上的函数 f (x 既是偶函数又是周期函数，若 f (x 的最小正周期 是 p ，且当 x Î 0, 2 （ (04 年 ( p 2 时， f ( x = sin x ，则 f ( 东 函 数 f(x 5p 的值为 3 p p f（x） sin 2 x + ） sin 2 x - ） 是 = （ - （ 4 4 广 ） A周期为 p 的偶函数 C 周期为 2 p 的偶函数 B周期为 p 的奇函数 D.周期为 2 p 的奇函数 3 （ ( 09 四 川 ）

28、已 知 函 数 f ( x = sin(x - p 2 ( x Î R ， 下 面 结 论 错 误 的 是 A. 函数 f (x 的最小正周期为 2 p C.函数 f (x 的图象关于直线 x 0 对称 4(07 安徽卷 函数 f ( x = 3 sin(2 x - 图象 C 关于直线 x = B. 函数 f (x 在区间0， D. 函数 f (x 是奇函数 p 上是增函数 2 p 3 的图象为 C, 如下结论中正确的是 2p 11 p 对称; 图象 C 关于点 ( ,0 对称; 3 12 p 5p 函数 f ( x在区间(- , 内是增函数; 12 12 p 由 y = 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 5. （ 08 （ ） 广 东 卷 ） 已 知 函 数 f ( x = (1 + cos 2 xsin x, x Î R ， 则 f ( x 是 2 p