数理方程与特殊函数20ppt课件

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n : yc517922126 数理方程与特殊函数任课教师：杨春任课教师：杨春数学科学学院数学科学学院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 本次课主要内容本次课主要内容(一一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性、狄氏问题与牛曼问题解的适定性狄氏问题格林函数狄氏问题格林函数 (二二)、三维空间中狄氏问题格林函数、三维空间中狄氏问题格林函数(三三)、平面中的三个格林公式、平面中的三个格林公式 0.8 1 0.6 0.4 0.2

2、 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 定理定理1 (独一性定理独一性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是独一的。拉氏方程的狄氏问题的解是独一的。 120()0SSvvuu (一一)、狄氏问题与牛曼问题解的适定性、狄氏问题与牛曼问题解的适定性证明：设证明：设u1与与u2是定解问题是定解问题 0,( , , )( , , )SSux y zVux y z 的两个解。令的两个解。令v=u1-u2,那么：那么：由调和函数性质知：在由调和函数性质知：在VS上：上：1212()0SSVVvuuuu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2

3、1 0.5 0 0.5 1 n 1110,( , , )SSux y zVuf定理定理2 (稳定性定理稳定性定理) 拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。拉氏方程的狄氏问题的解是稳定的。 证明：设在边境证明：设在边境S上给出两个函数上给出两个函数f1与与f2,且：且： 12ff拉氏方程的狄氏问题对应于拉氏方程的狄氏问题对应于f1与与f2的解设为的解设为u1与与u2，即：，即： 2220,( , , )SSux y zVuf令：令： 那么：那么：12vuu120,( , , )SSvx y zVvff 由调和函数极值原理，由调和函数极值原理，v在在VS上的极值只能在上的极值只能在S上获得，所以上获得，

4、所以 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21uu即证明了稳定性。即证明了稳定性。 定理定理3 拉氏方程的牛曼问题的解，假设不论恣意常数的差拉氏方程的牛曼问题的解，假设不论恣意常数的差别，是独一的。别，是独一的。 证明：设证明：设u1与与u2是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：是同一拉氏方程牛曼问题的两个解，即有：Snuu110Snuu220令：令：12vuu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 那么：那么：00Svvn由第一格林公式：由第一格林公式

5、：SVVu v dSuvdVu vdV 取取 21uuvu222121212()()()()()()uuuuuuuvxyz 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 由条件：由条件：0SSvu v dSudSn 0Svn0)()()(221221221dVzuuyuuxuuV所以：所以： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 121212()()()0uuuuuuxyz12vuuc于是得到：于是得到：定理定理4 拉氏方程的牛曼问题的解，对边境条件不稳定。拉氏方

6、程的牛曼问题的解，对边境条件不稳定。证明：设证明：设f1与与f2是拉氏方程对应的两个不同的边境条件，是拉氏方程对应的两个不同的边境条件，又设又设u1与与u2是对应于两个边境条件的解。由定理是对应于两个边境条件的解。由定理3，两个，两个解相差一个常数，因此，无论边境条件相差如何小，解相差一个常数，因此，无论边境条件相差如何小， 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 解的相差能够不会恣意小，即解不稳定。解的相差能够不会恣意小，即解不稳定。 (二二)、三维空间中狄氏问题格林函数、三维空间中狄氏问题格林函数 1、狄氏问题格林函数的引

7、出、狄氏问题格林函数的引出泊松方程狄氏问题为：泊松方程狄氏问题为：( , , ),( , , )( , , ),(xxyyzzSSuuuuf x y zx y zVux y z 连续）(1)、解的积分表达式、解的积分表达式设设u(x,y,z)为定解问题的解，令为定解问题的解，令v(x,y,z)为为VS上调和函数。上调和函数。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 由第二格林公式：由第二格林公式：由定解问题得：由定解问题得：由第三格林公式，如下定解问题由第三格林公式，如下定解问题SVuvvudSv uu v dVnn Vv u

8、dV( , , )*SVuvvudSvf x y z dVnn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 的解为：的解为：(),(),()SSSuf MMVuuMv Mn011111()44SVu MvdSf dVrn rr 结合结合*可得如下等式：可得如下等式：011111()44SVSVu MvdSfdVrn rruvvudSvfdVnn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1114414SVuvvuvudSrnrnnvfdVr 1114414SVuuv

9、vuudSrnnnrnvfdVr 114414SVuvuvdSrnnrvfdVr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 000(,)(,)(,)*SVG M MuG M MudSG M MfdVnn其中：其中：001(,)( , , )4MMG M Mv x y zr容易验证：容易验证：00(,)()G M MM M假设令假设令G(M,M0)满足：满足： 那么可得泊松方那么可得泊松方程狄氏解定理程狄氏解定理0(,)0SG M M 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.

10、5 1 n 定理：泊松方程狄氏解为：定理：泊松方程狄氏解为：其中其中G(M,M0)满足：满足：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG M M 推论：拉氏方程狄氏解为：推论：拉氏方程狄氏解为：000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn00(,)()SG M Mu MdSn定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式。定理给出了泊松方程狄氏解的积分表达式。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 定义：假设定义：假设G(M,M0)满足：满足：0000(,)(),(,)0SSG M MMMM MVG

11、M M 那么称那么称G(M,M0)为定义在为定义在VS上的三维狄氏格林函数。上的三维狄氏格林函数。(1)、方程、方程G(M,M0 )= -(M-M0)的解物理意义是：空间的解物理意义是：空间M0点处有一电量为点处有一电量为(真空中的介电常数的正点电荷，真空中的介电常数的正点电荷，在在M处产生的电势，其大小为处产生的电势，其大小为G(M,M0)=1/4r；(2)、狄氏格林函数的定义与性质、狄氏格林函数的定义与性质 狄氏格林函数的物理意义狄氏格林函数的物理意义rMM0 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n (2)、狄氏格林函数定

12、解问题的解的物理意义为：接地导电、狄氏格林函数定解问题的解的物理意义为：接地导电壳内壳内M0处有正点电荷处有正点电荷，该电荷与它在边境面上产生的感，该电荷与它在边境面上产生的感应电荷在壳内应电荷在壳内M处产生的电势叠加为定解问题的解，其大处产生的电势叠加为定解问题的解，其大小为小为G(M,M0)= 1/4r +v (x, y, z)。 根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义，要求出格根据狄氏格林函数定解问题的解的物理意义，要求出格林函数，只需求求出感应电荷产生的电势林函数，只需求求出感应电荷产生的电势v (x ,y , z)即可！即可！rMM0 下次课里我们将根据其物理意义，采用物理方法下次课

13、里我们将根据其物理意义，采用物理方法-电电像法来求格林函数。像法来求格林函数。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 性质性质1：狄氏格林函数在除去：狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏点外处处满足拉氏方程。当方程。当MM0时，时，G(M,M0)趋于无穷大，其阶数和趋于无穷大，其阶数和1/rMM0一样。一样。狄氏格林函数的性质狄氏格林函数的性质性质性质2：在边境上格林函数恒等于零。：在边境上格林函数恒等于零。性质性质3：在区域：在区域V内，有：内，有：0010(,)4MMG M Mr 0.8 1 0.6 0.4 0.2

14、 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 证明：由格林函数定义：证明：由格林函数定义：其中：其中：001(,)()4MMG M Mv Mr0()0,14SSv MM MVvr 由于在边境由于在边境S上有：上有：v0，所以，由极值原理，在整个，所以，由极值原理，在整个VS上上v0。所以：。所以：00011(,)()44MMMMG M Mv Mrr 下面证明：下面证明：0(,)0G M M 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 一方面：以一方面：以M0为心在为心在V中作球中作球V,球面设为球面设为

15、S0(,)0()14SSSSSG M MMVVGGv那么：那么：M0MSVxyz00lim(,)SSG M M 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 由极值原理：由极值原理：0(,)0G M M 另一方面，容易知道：对恣意的另一方面，容易知道：对恣意的0, 在在VS-V中的点中的点M，函数函数G(M,M0)不能为零。不能为零。 所以，我们有：所以，我们有：0(,)0G M M 至此，证明了：至此，证明了：0010(,)4MMG M Mr 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5

16、0 0.5 1 n 性质性质4 Green函数具有对称性函数具有对称性(物理上称为互易性物理上称为互易性 )，即，即 );();(1221MMGMMG证明：证明： (课后自学课后自学) 如下图，以如下图，以M1,M2为球心，为球心，为半径为半径作作 球球K1 与与K2，其边境分别记为，其边境分别记为S1,S2。S1S2M1M2S令：令：U=G(M,M1) ,V= G(M,M2) ,在在VS-K1-K2上利用格林上利用格林第二公式得：第二公式得：12SSSVVUUVdSU VV U dVnn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1

17、n 留意到，在留意到，在 VS-K1-K2上上,U与与V是调和函数，且在是调和函数，且在S上有上有U|S=V|S=0，于是有：，于是有：(1) 对于：对于：120*SSVUUVdSnn1SVUUVdSnn11SSVUUdSVdSnn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 而：1121(,)(,)SSVG M MUdSG M MdSnn1121(,)()4MMSG M Mv MdSrn111221(,)(,)()4MMSSG M MG M MdSv MdSrnn所以：所以：10lim0SVUdSn 0.8 1 0.6 0.4

18、0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 而对于所以：所以：1SUVdSn112(,)(,)SG M MG M MdSn1121(,)()4MMSG M Mv MdSnr111221(,)(,)()4MMSSG M MdSG M Mv M dSnrn1120lim(,)SUVdSG M Mn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 所以：所以： 1120lim(,)SVUUVdSG M Mnn (2) 对于对于2SVUUVdSnn22SSVUUdSVdSnn 0.8 1 0.6 0.4 0

19、.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 而：所以：所以：20lim0SUVdSn2210lim(,)SVUUVdSG MMnn由由*得：得：1221(,)(,)0G MMG MM即得：即得：);();(1221MMGMMG 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 等式等式);();(1221MMGMMG的物理意义是：把电量为的物理意义是：把电量为的点电荷放在的点电荷放在M1处在处在M2处产生的电势应等于把它放在处产生的电势应等于把它放在M2处时，在处时，在M1处产处产生的电势。生的电势。(

20、三三)、平面中的三个格林公式、平面中的三个格林公式首先证明一个定理：首先证明一个定理：设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，且围成，且f( x, y)在在D上有上有二阶延续偏导数，二阶延续偏导数，n为曲线的外法线方向，那么：为曲线的外法线方向，那么：2222DLfffdxdydsxyn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 证明：证明：留意到：留意到：sincosdxdsdyds xLnyD所以：所以：LLfffdsdxdynyx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2

21、 1 0.5 0 0.5 1 n 由平面曲线格林公式：由平面曲线格林公式：(1) 第一格林公式第一格林公式设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，且围成，且u(x,y),v(x,y)在在D上有二阶延续偏导数，上有二阶延续偏导数，n为曲线的外法线方向，那么：为曲线的外法线方向，那么：DLvuvuv d xd yud sn2222DLfffd x d yd sxynLLvvvudsudxudynyx证明：证明： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n LLvvvudsudxudynyx所以由平面曲线格林公式：所以

22、由平面曲线格林公式：Duvuv dxdy(2) 第二格林公式第二格林公式证明：由第一格林公式：证明：由第一格林公式：LDvuuvdSuvv u dxdynn 在第一格林公式条件下：在第一格林公式条件下： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 证明：由第一格林公式：证明：由第一格林公式：(1)DLvuvuv d xd yud sn(2 )DLuuvvu d xd yvd sn由由(1)-(2)得：得：(3) 第三格林公式第三格林公式 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成，且围成，且u(x,y)在在D上上有二

23、阶延续偏导数，有二阶延续偏导数，n为曲线的外法线方向，令：为曲线的外法线方向，令：LDvuuvdSuvv u dxdynn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 011(,)ln2M Mvxyr0001111()lnln2211ln2M MM MLDuu MudSrnnrudr那么：那么：证明：由于证明：由于v(x,y)在在D内只需独一奇点内只需独一奇点M0,所以，以所以，以M0为心，为心，为半径作圆为半径作圆K,其边境为其边境为L 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 由第二格林公式：由第二格林公式：M0LLxyoLLDKvuuvdSuvv u dnn 留意到，在留意到，在D-K内，有内，有v= 0,于是得：于是得： 0.8 1 0.6 0.4 0.