第五章数值积分ppt课件

1、第八章第八章 数值积分数值积分 近似计算近似计算 badxxfI)(思思路路利用插值多项式利用插值多项式 则积分易算。则积分易算。)()(xfxPn 问题的提出：问题的提出：( ); ( )f xf x的原函数不存在或不适宜计算只有的离散数据点 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做做 f 的的 n 次插值多项次插值多项式式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjkj)()(由由 决定，决定，与与 无关。无关。节点节点 f (x)插值型积分公式插值型积分公式 bankkxnbanba

2、nbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()( 误差误差例：对于例：对于a, b上上1次插值，有次插值，有)()()(1bfafxLabaxbabx )()()(2221bfafdxxfAAabbaab 考察其代数精度。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式解：逐次检查公式是否精确成立解：逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0 = 1： baabdx111 2 ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abbadxx 2baab 3233abbadxx 222baab 代数精度代数

3、精度 = 1抛物型求积公式：二次插值求积公式：2b , , b, 2b()(b)2( )( )b()(b)2b()()()()b2 ()( )bbb2()(b)()()2222bb ()() ( )2()() ()22 ()aa ba.axxP xf aaaaaxaxxaxbaff baaaaba baaxxb f axaxb fb a区间二等分：作抛物线b ()() ( )2axaxf b y=P2() y=f() a a+b/2 b SimpsonSimpson公式公式2( )( )( )4( ) 62babaabI fx dxf aff bP定定 义义若某个求积公式所对应的误差若某个求积

4、公式所对应的误差R f 满足：满足：R Pk =0 对对任意任意 k n 阶的多项式成立，且阶的多项式成立，且 R Pn+1 0 对某个对某个 n+1 阶阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为多项式成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。代数精度：代数精度：怎样验证代数精度：怎样验证代数精度：b0a2m2211 ( )() ( ) 1,x,x ,.,x 1()2.1()1nkkkkkkmmmkkf x dxA ff xAbaA xbaA xbamx一般地，若要使求积公式：具有m次代数精确度,只要对能精确成立。即注：形如注：形如 的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度 该该

5、公式为插值型即：公式为插值型即： ） nkkkxfA0)( bakkdxxlA)( 考虑：考虑： 代数精度是否是越高代数精度是否是越高越好？越好？梯形公式的误差梯形公式的误差2 , 3 ( ), -( )( )-( ( )( )2 - ( ) ( , ):12( - )a bbaf x b aR ff x dxf af bfa bCb a则：定若理定理证明133 ( ) 2 a, b (): ( )()( ) ()( )6 ( )12()()babaff(x)(x)(xa)(xb) (a,b) fxa (xb)dxfxa (xb)dx f R(f)fPabba 证 明 ：由 插 值 公 式 余

6、 项 ：使积 分 中 值 定 理辛普森辛普森(Simpson)(Simpson)求积公式的误差：求积公式的误差：454 , : 462( ) 288 0a,bba()f(x)baabR(f)f(x)dxf(a)f()f(b) (a,b)C(b a)f 若理则定考虑：考虑： 结论是什么？结论是什么？ 怎么办？怎么办？复合求积：复合求积：高次插值有高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 复合求积公式。复合求积公式。 复合梯形公式：复合梯形公式：),., 0(,nkhkaxnabhk 在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx

7、 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk /*中值定理中值定理*/nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 怎么办？怎么办？)()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：为方便编程，可采用另一记法：令注：为方便编程，可采用另一记法

8、：令 n = 2n 为偶数，为偶数， 这时这时 ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS 复合复合Simpson公式：公式：复化求积例：复化求积例：10n n? n?SxnIdxeT计算积分保留五位有效数字。试用计算， 用计算242n11( , ) ( ) 1212210baR fh fehT(4)(4). ( )( )( ) (0 1)( )( ) xf xfxxx, :fxxefef解14logelog61 log1.82807 682h h则复化求积例：复化求积例：1114loglog14401 log 0.318983 3

9、4ehh4-4n111( , ) 2880210R feSh两种方法谁好？两种方法谁好？给定精度给定精度 ，如何取，如何取 n ?通常采取将区间不断对分的方法，即取通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 68 k = 7注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时412)()(12122fRhafbffRnn 412 nnTITI)(3122nnnTTTI 可用来判断迭可用来判断迭代是否停止。代是否停止。5.2 5.2 高斯型积分高斯型积分0( )()nbkkakf x dxA f x构造具有构造具有2n+1次代数精度的求积公式次代数精度的求积公式将节点将节点 x0 xn

10、 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。都作为待定系数。令令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公代入可求解，得到的公式具有式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，点，公式称为公式称为Gauss 型求积公式。型求积公式。例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量,可以列出4个方程：（在-1,1为例）1010,xxaa032021111133113001122112001111001110dxxxaxadxxxaxaxdxxaxadxaa可解出：可解出：31,31, 1, 11010 x

11、xaa数值积分公式数值积分公式)31()31(11fffdx具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高推广：推广：n加权加权GaussGauss积分公式积分公式0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x权函数权函数例：求例：求 的的 2 点点 Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：设解：设 ，应有，应有 3 次代数精度。次代数精度。 101100)()()(xfAxfAdxxfx代入代入 f (x) = 1, x, x2, x3 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 02899. 08212. 010

12、10 AAxx不是线性方程组，不是线性方程组，不易求解。不易求解。 x0 xn 为为 Gauss 点点 与任意次数与任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 P(x) （带权正交。（带权正交。 nkkxxxw0)()(定理定理求求 Gauss 点点 求求w(x)证明：证明： “” x0 xn 为为 Gauss 点点, 则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。 bankkkxfAdxxfx0)()()( 对任意次数不大于对任意次数不大于n 的多项式的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次的次数不大于数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：，则代入公式应精确成立： n

13、kkkmkbamxwxPAdxxwxPx0)()()()()( 0= 0 “” 要证明要证明 x0 xn 为为 Gauss 点，即要证公式对任意点，即要证公式对任意次数不大于次数不大于2n+1 的多项式的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：精确成立，即证明： nkkmkbamxPAdxxPx0)()()( 设设)()()()(xrxqxwxPm bababamdxxrxdxxqxwxdxxPx)()()()()()()( 0 nkkkxrA0)( nkkmkxPA0)( 正交多项式族正交多项式族 0, 1, , n, 有性质：任有性质：任意次数不大于意次数不大于n 的多项式的多项式 P(x)

14、 必与必与n+1 正交。正交。若取若取 w(x) 为其中的为其中的n+1，那么，那么n+1的的根就是根就是 Gauss 点。点。再解上例：再解上例： 101100)()()(xfAxfAdxxfxStep 1：构造正交多项式：构造正交多项式2设设cbxxxaxxx 2210)(,)(, 1)(j jj jj j53 a0)(10 dxaxx0),(10 j jj j 1021102100)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxj jj jj jj j215910 cb即：即：215910)(22 xxxj jStep 2：求：求2 = 0 的的 2 个根，即为个根，即为

15、Gauss 点点 x0 ，x1221/20)9/10(9/1021;0 xStep 3：代入：代入 f (x) = 1, x 以求解以求解 A0 ，A1解线性方程组，解线性方程组，简单。简单。结果与前一方法相同：结果与前一方法相同：2776. 0,3891. 0,2899. 0,8212. 01010 AAxx 利用此公式计算利用此公式计算 的值的值 10dxexx2555. 1 10dxexx2899. 08212. 0102776. 03891. 010eeeAeAxx Matlab Matlab 积分函数积分函数函数名函数名功能功能quadquad采用采用SimpsonSimpson计算

16、积分。精度高，较常用计算积分。精度高，较常用quad8quad8采用采用8 8样条样条Newton-CotesNewton-Cotes公式计算积分。精度公式计算积分。精度高，最常用高，最常用trapztrapz采用梯形法计算积分。精度差，速度快采用梯形法计算积分。精度差，速度快cumtrapzcumtrapz 采用梯形法求一区间上的积分曲线。精度差，采用梯形法求一区间上的积分曲线。精度差，速度快速度快sumsum等宽矩形法求定积分。精度很差，速度快，一等宽矩形法求定积分。精度很差，速度快，一般不用般不用cumsumcumsum等宽矩形法求一区间上的积分曲线。精度很差，等宽矩形法求一区间上的积分

17、曲线。精度很差，速度快，一般不用速度快，一般不用q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)参数参数funfun是被积函数是被积函数, ,可以是表达式字符串、可以是表达式字符串、内联函数、内联函数、M M函数文件名，被积函数的自变量一函数文件名，被积函数的自变量一般采用字母般采用字母 x x；a a、b b分别是积分的上、下限，都分别是积分的上、下限，都为确定的值；为确定的值；to

18、l tol 是一二元向量，第一个元素控是一二元向量，第一个元素控制相对误差，第二个元素控制绝对误差；制相对误差，第二个元素控制绝对误差；tracetrace若取非零值，将以动态图形展现积分的整个过程，若取非零值，将以动态图形展现积分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值为若取零值，则不画图，其缺省值为0 0；p1p1、p2p2是是向被积函数传递的参数。向被积函数传递的参数。 在调用函数时，前三个参数是必须的，其余在调用函数时，前三个参数是必须的，其余参数可缺省。参数可缺省。Matlab Matlab 积分函数积分函数符号积分：符号积分：5.3 5.3 积分方程的数值求解积分方程的数值求解( )( , ) ( )( )baFredholmy tk t s y s dsf t积分方程：怎么求解？怎么求解？求