2020高考理数(新课标版)总复习教学案第4章第1节平面向量的概念及线性运算

1、1第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算考纲传真i.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等 的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3. 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运 算的性质及其几何意义.1. 向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2) 零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的.(3) 单位向量：长度等于 1 个单位的向量.平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0 与任一向量平行.(5)相等向

2、量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.2. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1)交换律：a+ b= b+ a;(2)结合律：(a+ b) + c= a+ (b+ c)知识全通艾夯实基础扫除盲点课刖2平行四边形法则减法求 a 与 b 的相反向量一 b 的和的运算叫做 a 与 b的差z2r三角形法则ab=a+(b)数乘求实数入与向量a 的积的运算(1)*1=丨洞;(2) 当0 时，*的方向 与a 的方向相同；当*0 时，*的方向与 a 的方 向相反；当入=0 时，*=0*0)=*21；(2+ ；a= * + ;a；*a

3、+b)= *+2b3.共线向量定理向量 a(a 0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数入使得 b=总常用结论1. 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后 一个向量终点的向量，即 A1A2+ A2A3+ A3A4+- + An-lAn= AlAn,特别地，一个 封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.-1 -2. 若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则 OP = 2(A+ OB). 3.0A=xOB+ yOC(x, y 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 x+ y= 1. ABC 中，PA+ PB+ PC = 0?点 PABC 的重心.基础自测1.

4、(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()3(2) 若 a/ b，b/ c,贝Ua / c()4（3）a / b 是 a=?b（疋 R）的充要条件.（）- 1 ） ABC 中，D 是 BC 的中点，则 AD = 2（AC + AB）.（ ）答案X X X V2.（教材改编）如图，D , E, F 分别是 ABC 各边的中点，则下列结论错误的是（）A.EF = CDB.AB 与 DE 共线- 1 C.BD 与 CD 是相反向量D.AE = -AC|f1fD 选项 D 中，AE = 2AC，故 D 错误.3.

5、对于非零向量 a，b，“a+ b= 0”是“ a / b”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A 由 a+ b= 0 得 a= b,根据向量共线定理知 a / b,但 a /ba+ b= 0,故选 A.4.（教材改编）如图，？ABCD 的对角线交于 M，若 AB = a, AD 二 b,用 a, b表示 MD 为（）A.-a+ 2b5D 二=1AD AB 二 2(ba)C.-a -bD . -a+-b1 1=戸+ 2b 故选 D.65.（教材改编）化简: (1)_ (AB+ MB)+ B0+ OM =(2) NQ+ QP+ MN MP = (1

6、)AB (2)0 (1)原式=AB+ B0+ 0M + MB = AB. 原式=NP+ PN = 0.平面向量的有关概iHSlI念1.给出下列命题：1若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；2若 A，B，C, D 是不共线的四点，且 AB= DC,则 ABCD 为平行四边形；3a= b 的充要条件是|a|b|且 a / b；4已知入卩为实数，若 2a=小，则 a 与 b 共线.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3 D. 4A 是错误的，两个向量起点相同，终点相同，贝 U 两个向量相等； 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点. 2是正确的，因为 AB= DC,所以|AB 匸|

7、DC|且 AB / DC；又 A，B，C，D 是 不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形.3是错误的，当 a / b 且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到 a= b，所以 |a|=|b|且 a / b 不是 a= b 的充要条件，而是必要不充分条件.课堂题型全突破孝点全面74是错误的，当入=尸 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 尬=小，但 a 与8b 不一定共线.2设 ao为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a=|a|a）；若 a 与 ao平行，则 a= |a|ao;若 a 与 ao平行且|a|= 1,则 a = ao.上述命题中，假命题的 个数是（）A. 0

8、B. 1C. 2 D. 3D向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|ao的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 ao平行，则 a 与 ao的方向有两种情况：一是同向，二是 反向，反向时 a=- |a|ao，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是 3.规律方法辨析向量有关概念的五个关键点1 向量定义的关键是方向和长度.2 非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 .3 相等向量的关键是方向相同且长度相等.4 单位向量是长度都是一个单位长度的向量.5 零向量的关键是方向没有限制，长度是 0,规定零向量与任何向量共线.平面向量的线性运us型n算【例 1】（1）在四边形 ABCD

9、中，BC = AD，AC 与 BD 交于点 O, E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，则（）A.AF=3AC+2BDB.AF=3AC+知C.AF=4AC+2BDD.AF=3AC+1（2）设 D，E 分别是 ABC 的边 AB，BC 上的点，AD = AB，BE =|BC.若 DE9T TTBD AC 2TiTAC+3 = 3AC + 3BD，故选 B.T T T1T2T1T2T TDE=DB+BE=2AB+BC=2AB+(BA+AC)=12 切16， h =3,即卩h+规律方法向量的线性运算的求解方法(1) 进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一

10、顶点出发的基本向量或首尾相接的向量， 运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.(2) 除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利 用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化 为与已知向量有直接关系的向量来求解.T T跟踪塚习设D为厶 ABC 所在平面内一点，BC= 3CD，则()T1T4TT1T4TA.AD = 3AB + 3ACB.AD = 3AB3AC=入 AB+hAC(入、h为实数)，贝U A1+力的值为_(1)BT T(1)在四边形 ABCD 中，如图所示，因为 BC = AD，所以四边形ABCD 为平行四边形由已知得DE=1EB,由题意知

11、厶 DEFBEA,则 DFTAB,所以 CF=3CD2OD-OC-余BD ACBD T T T所以 AF= AC+ CF =10在厶 ABC 中，点 M,N 满足 AM = 2MC, BN= NC.若 MN = xAB+ yAC,贝 Ux=_ ； y=_所以 CD =|BC,111f4f所以 AD= AC+ CD = AC+ 3BC = AC + (AC AB) = -AB+3AC.故选 A.MN=MC+CN=3AC+2CB=玩+*ABAC)=2AB-g(2) 试确定实数 k,使 ka+ b 和 a+ kb 共线.fff解证明：TAB= a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a

12、b),f f f-BD=BC+CD=2a+8b+3(ab)f=2a+8b+3a3b=5(a+b)=5AB.f f AB, BD 共线，又它们有公共点 B, A, B, D 三点共线.(1)A (2)1(1)因为 BC = 3CD,由题中条件得,f f f1AC = xAB+ yAC,所以 x= 2,y=- g【例 2】 设两个非零向量 a 与 b 不共线，fff(1) 若 AB= a+ b, BC= 2a + 8b, CD = 3(a b),求证：A, B, D 三点共线;11(2)vka+ b 和 a+ kb 共线，存在实数入使 ka+ b=Xa+ kb),即 ka+ b=2a+ 入 b,

13、- - (k 2)a(入k1)b.a, b 是两个不共线的非零向量，2二 k入一入k1 0， k 1 0， k.规律方法共线向量定理的 3 个应用证明向量共线：对于向量 a，b,若存在实数 入使 ab(b0),则 a 与 b 共线. (2) 证明三点共线：若存在实数 人使 AB 2AC,贝UA, B, C 三点共线.(3) 求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.跟踪练习 已知向量 AB a+ 3b, BC 5a + 3b, CD 3a + 3b,则()A. A,B,C 三点共线B . A, B, D 三点共线C

14、. A,C,D 三点共线 D . B,C, D 三点共线(2)(2019 黄山模拟)已知向量 a, b 是两个不共线的向量，若向量 m4a + b与 n a 2b 共线，则实数入的值为()11A. 4B. C. D. 444 (1) B (2)B BD BC+ CD 2a + 6b 2(a+ 3b) 2AB,二 BD, AB共线， 又有公共点 B, A, B, D 三点共线.故选 B.(2) 由题意知 m kn,即 4a+ b k(a ?b).12k 4,k 4，j解得1k 1,.2 4,故选 B.131. (2018 全国卷I)在厶 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB=()3_1 一1 一3_A-AB; ACB-AB AC44443_1 一1 一3_C.&AB+ 4ACD.&AB+&AC-1 31A 由题可得 EB= EA+ AB= -(AB + AC) + AB = 4AB-4AC，故选 A.2. (2014 全国卷I)设 D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点,则 EB+ FC =() C 如图