§2对坐标的曲线积分ppt课件

1、实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功oxyABL1M2M1 iMiM1 nMix iy 第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分),(iiF 设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xoy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B, 求移求移动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.),(, ),(),(yxQyxPyxFcosABFW 常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功ABF ABF1kMkMABxy1) “分割”.2) “近似”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段iiMM1 ),(iiyx 近似代替, ),(ii 则有

2、iiiiiiyQxP ),(),( 所做的功为,iW F 沿iiMM1 iiiiiMMFW1),( ),(kkF niiWW1那么用有向线段 iiMM1 iiMM1 上任取一点在kykx3) “求和”4) “取极限” niW1 iiiiiiyQxP ),(),( niW10lim iiiiiiy)Q(x)P,( 1kMkMABxyL),(iiF iy ix (其中 为 n 个小弧段的 最大长度),0.),(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时最最大大值值如如果果当当各各小小弧弧段段长长度度的的任任意意取取定定的的点点上上为为点点设设个个

3、有有向向小小弧弧段段分分成成把把上上的的点点用用上上有有界界在在函函数数线线弧弧的的一一条条有有向向光光滑滑曲曲到到点点面面内内从从点点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作线积分）线积分）或称第二类曲或称第二类曲的曲线积分的曲线积分上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),

4、(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L.,),(),(第第二二类类曲曲线线积积分分存存在在上上连连续续时时在在光光滑滑曲曲线线弧弧当当LyxQyxP 空间有向曲线弧空间有向曲线弧. RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP .),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 4.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(. LdrF.,jdyidxdrjQiPF 其其中中假设假设 为空间曲线弧为空间曲线弧 , 记记),(, ),(,

5、 ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF zzyxRyzyxQxzyxPrFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxr 类似地类似地, .,)2(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分分成成如如果果把把则则有有向向曲曲线线弧弧方方向向相相反反的的是是与与是是有有向向曲曲线线弧弧设设,)3(LLL LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.。是是函函数数积积分分的的线线性性组组合合函函数数的的线线性性组组合合的的积积分分)1(定理定理,),(),(, 0)(

6、)(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存存在在则则曲曲线线积积分分且且一一阶阶连连续续导导数数为为端端点点的的闭闭区区间间上上具具有有及及在在以以运运动动到到终终点点沿沿的的起起点点从从点点时时变变到到单单调调地地由由当当参参数数的的参参数数方方程程为为续续上上有有定定义义且且连连在在有有向向曲曲线线弧弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),( 且且一代、二换、三定限一代、二换、三定限代代将积分曲线将积分曲线L 的参数方程代入被积函数的参数方程代入被积函数d

7、ttydydttxdx)(,)( 下限下限起点参数值起点参数值上限上限终点参数值终点参数值对坐标的曲线积分的计算步骤对坐标的曲线积分的计算步骤特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )

8、(, )(),(tttPxy 2)1, 1( A)1 , 1(B, Lxydx到到B(1, 1)的一段曲线弧的一段曲线弧. 例例1: 计算计算 其中其中L为抛物线为抛物线 y2=x上从上从A(1, 1) OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 ABLxydxxydx 1122)(dyyyy 1142dyy.54 .xy 解解: (1) 化为对化为对x的定积分的定积分, (2) 化为对化为对y的定积分的定积分, x=y2, y从从-1到到1. 例例2: 计算计算 ,2 Ldxy其中其中L为为: (1) 半径为半径为a, 圆心在原圆心在原 点点,

9、按逆时针方向绕行的上半圆周按逆时针方向绕行的上半圆周; (2) 从从A(a, 0)沿沿x轴轴到点到点B (a, 0)的直线段的直线段.解解: (1) ,sincos: ayaxL)0 ,(aA)0 ,( aB 0222)sin(sindaadxyL.343a 参数参数从从0变到变到 , 023)(cos)cos1(da(2) 因曲线因曲线L的方程为的方程为 y=0 , x从从a 移动到移动到a. 那么那么 002 aaLdxdxy 问题问题: 被积函数相同被积函数相同, 起点和终点也相同起点和终点也相同, 但路径但路径不同不同, 积分结果不同积分结果不同. (1) 抛物线抛物线 y=x2上从上

10、从O(0, 0)到到B(1, 1)的一段弧的一段弧; (2) 抛物线抛物线 x=y2上从上从O(0, 0)到到B(1, 1)的一段弧的一段弧;例例3: 计算计算 ,22 Ldyxxydx其中其中L为为: (3) 有向折线有向折线OAB, 点点O, A, B三点三点依次为依次为(0, 0), (1, 0), (1, 1). Ldyxxydx22解解: (1) 化为对化为对x的积分的积分: 2xy L: y=x2, x从从0变到变到1, 所以所以 )0, 1(A)1, 1(B 1022)22(dxxxxx14103 dxx(2) 化为对化为对y的积分的积分: )0 , 1(A)1 , 1(B Ld

11、yxxydx22L: x=y2, y从从0变到变到1, 所以所以 1042)22(dyyyyy15104 dxy) 0 , 1 (A)1 ,1(B 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 102)102(2dyydyxxydxAB 问题问题: 同样有被积函数相同同样有被积函数相同, 起点和终点也相同起点和终点也相同,但路径不同而积分结果相同但路径不同而积分结果相同. 1 在在OA上上, y=0, x从从0变到变到1, 在在AB上上, x=1, y从从0变到变到1, . 122 Ldyxxydx所以所以 (3) 将积分曲线将积分曲线L分为两段分为两段: ABOAdyxxydxdyx

12、xydx2222 Ldyxxydx22四、两类曲线积分的联系四、两类曲线积分的联系 设平面上光滑的有向曲线设平面上光滑的有向曲线L: x=(t), y=(t). 设曲线设曲线L的起点为的起点为A, 终点为终点为B, 对应参数分别为对应参数分别为a, b. 不妨设不妨设 ab, 可令如下讨论的可令如下讨论的s = t , A, B 对对应的值为应的值为s = a, s = b). 由于曲线由于曲线L是光滑的是光滑的, 那么那么(t), (t)在闭区在闭区间间a, b上连续上连续, 且且2(t)+2(t) 0. 又假设又假设P(x, y), Q(x, y)在在L上连续上连续,jtit)()( 是曲

13、线是曲线L在点在点M(t),(t)处的一个切向量处的一个切向量, 其方向与其方向与参数参数 t 增大时点增大时点M移动的方向一致移动的方向一致, 当当ab时时, 这个方这个方向就是曲线向就是曲线L的方向的方向. 这种方向与有向曲线方向一致这种方向与有向曲线方向一致的切向量我们称为有向曲线的切向量的切向量我们称为有向曲线的切向量.由于向量由于向量 LdyyxQdxyxP),(),(.)()(),()()(),(dttttQtttPba 有向曲线的切向量的方向余弦为有向曲线的切向量的方向余弦为: ,)()()(cos22ttt .)()()(cos22ttt 由对弧长的曲线积分的计算公式知由对弧长

14、的曲线积分的计算公式知: dsyxQyxPLcos),(cos),( batttttP)()()()(),(22 dttttttttQ)()()()()()(),(2222 .)coscos(),(),( LLdsQPdyyxQdxyxP ,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 其中其中 而而 (x, y)和和 (x, y)为有向曲线为有向曲线L上点上点(x, y)处的切线向处的切线向量的方向角量的方向角.因此有因此有, 两类曲线积分的联系公式两类曲线积分的联系公式: 类似地有类似地有, 空间曲线空间曲线上点上点(x, y, z)处的切线向量处的切线向量的方向角为的方向

15、角为, , , 则空间曲线则空间曲线 上的两类曲线积上的两类曲线积分的联系公式分的联系公式: dzzyxRdyzyxQdxzyxP),(),(),(.)cos),(cos),(cos),( LdszyxRzyxQzyxP dstArdA dsAt，,RQPA cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 其中其中 又称为有向曲线元又称为有向曲线元. 两类曲线积分的联系用向量形式表达两类曲线积分的联系用向量形式表达, 其有明显其有明显的物理意义的物理意义. 用空间曲线用空间曲线 上曲线积分表达上曲线积分表达: 上点上点(x, y, z)处的单位切向量处的单位切向量, 为有向曲线为有向曲线 AtAt为为 在向量在向量 上的投影上的投影. 四、小结四、小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念;2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算;3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系.思考题思考题 当曲线当曲线L的参数方程与参数的变化范围给