§54 反常积分ppt课件

1、二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分常义积分常义积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界推广推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分反常积分反常积分 ( (广义积分广义积分) )5.4 5.4 反常积分反常积分三、三、 函数函数1设函数设函数)(xf在无穷区间在无穷区间),a上有定义，上有定义，且且, ab blimbadxxf)(若极限若极限存在，存在， 则称此极限值为函数则称此极限值为函数)(xf在无穷区间在无穷区间),a上的广义积分上的广义积分. 记作记作:adxxf)(即即babadxxfdxxf)(lim)(这时也称广义积分这时也称广义积分adxxf)(收敛收

2、敛, 否则发散否则发散.函数函数)(xf在区间在区间,ba上可积，上可积，定义定义5.4.1 5.4.1 5.4.1 无穷限广义积分无穷限广义积分2类似可定义类似可定义, 设函数设函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上有定义，上有定义，bdxxf)(baadxxf)(lim 设函数设函数)(xf在无穷区间在无穷区间),(上有定义，上有定义，dxxf)(cdxxf)(cdxxf)(其中其中 为常数为常数(通常取通常取c = 0). ),(c左端的广义积分收敛左端的广义积分收敛 右端两个广义积分都收敛右端两个广义积分都收敛3例例1.计算计算dxex0解解dxex0dxebxb0lim)(lim0

3、bxbe)1 (limbbe. 1xeyxyo1A例例2.计算计算dxx211解解dxx211dxx0211dxx0211dxxaa0211limdxxbb0211limarctanlimaabbarctanlim)2(24解解dxxp11dxxbb11lim当当1p时时,bbx1lnlim.当当1p时时,dxxp11dxxbpb11limbpxpb11lim1综上可知综上可知,当当1p时时,收敛于收敛于.11pdxxp11当当1p时时,发散，发散，pbpb11lim1结论结论1p,1p,11p例例3. 讨论广义积分讨论广义积分 11dxxp敛散性敛散性.5当当1p时时,收敛于收敛于.11pp

4、a)0(1adxxap当当1p时时,发散，发散，结论结论 11dxxxdxx1 . 01 123dxx12312发散发散6; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛则有类似牛 莱公式的计算表达式莱公式的计算表达式: :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF设设)(xf在在),a上连续，上连续，)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，若记若记同样地：同样地：其中其中7例例4. 计算计算dxxex02解解0)21(2xe.21dxxex02)(21202xdex)01 (21无穷限广义积分也有换元积分法和

5、分部积分法无穷限广义积分也有换元积分法和分部积分法. .例例5. 计算计算解解21xxdxtx112) 1(2tttdt1arctan2t221xxdx8.sin0 xdxex例例6 求求0sinxdxexxdexcos00cosxex100sinsinxxdexxedxxex0sin121sin0dxxex解解所以所以xdex0cos0sinxdex19设函数设函数)(xf在在),ba上有定义，上有定义， 且且,)(limxfbx若极限若极限badxxf)(lim0存在存在, 称该极限值为函数称该极限值为函数)(xf在在),ba上的广义积分上的广义积分,记作记作:badxxf)(即即baba

6、dxxfdxxf)(lim)(0这时也称广义积分这时也称广义积分badxxf)(收敛收敛,否则发散否则发散., 0函数函数)(xf在区间在区间,ba上可积，上可积，(b为瑕点为瑕点) 瑕积分瑕积分定义定义5.4.2 5.4.2 5.4.2 无界函数的广义积分无界函数的广义积分10 设函数设函数)(xf在在,(ba有定义，有定义， 且且,)(limxfaxbadxxf)(badxxf)(lim0 设函数设函数)(xf在在,ba有定义，有定义，上除点上除点)(bcac,)(limxfcxbadxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(左端的广义积分收敛左端的广义积分收敛 右端两个广义积分都收敛右端

7、两个广义积分都收敛类似可定义类似可定义,11例例1. 计算广义积分计算广义积分)0( 022axadxa解解: 因因221limxaax所以所以 022axadx lim0220axadxaax00arcsinlim.2另解另解: 022axadx0lim arcsinuuaxa.2220lim uuadxax12当当1p时时,收敛于收敛于;11p当当1p时时,发散发散.解解. 当当1p时时, 110dxx 1lim10dxx10lnlimx当当1p时时, 110dxxp 1lim10dxxp11lim10pxp1p;11p1p,pp11lim10结论结论例例2.讨论广义积分讨论广义积分 0)( 110pdxxp的敛散性的敛散性.综上可知综上可知,dxxp10113例例3. 计算计算211xxdx解解211xxdxdtttt102) 1(210arctan2t.2421x是瑕点，是瑕点， 令令,1tx那么那么dtt10211214广义积分广义积分)0()(01rdxexrxr是参变量是参变量r的函数，的函数，称为称为函数函数.性质：性质：(2)(1)( ) (0)rrrr (3)(1)! ()nnn为正整数1(1)(1)1,( )25.4.3 函数和函数和定义定义5.4.3 5.4.3 0(4) lim ( )ss15例例 1)