大一高数微分中值定理与导数的应用32普通班ppt课件

1、型未定式型未定式 ,0型未定式型未定式00,1 ,0 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则型型未未定定式式型型 ,00,)(时时或或如果当如果当 xax称为称为)()(lim)(xFxfxax 那末极限那末极限定义定义00 型未定式型未定式.或或如如, ,0sinlimxxx31lim52mnxxx )00()( 意味着它的极限可能存在也可能不存在，意味着它的极限可能存在也可能不存在， 未定未定 两个函数两个函数 f (x)与与F(x)都趋于零或趋于无穷大都趋于零或趋于无穷大,而不是极限不确定！而不是极限不确定！ 这一节介绍一个求未定式极限的有效方法这一节介绍一个求未定式极限的有效方法, 此方法

2、的关键是将此方法的关键是将)()(lim)(xFxfxax 的计算问题转化为的计算问题转化为)()(lim)(xFxfxax 的计算的计算. 其基本思想是由其基本思想是由17世纪的法国世纪的法国从而产生了简便而重要的从而产生了简便而重要的洛必达法则洛必达法则后人对他的思后人对他的思数学家洛必达数学家洛必达 (LHospital)提出的提出的, 想作了推广想作了推广,洛必达洛必达 (LHospital) 法法 (1661-1704)满足条件满足条件及及设函数设函数)()(xFxf定理定理1型型未未定定式式型型一一、 ,00);()()(lim)3( 或或AxFxfax处处点点的的邻邻域域内内可可

3、导导在在点点aaxFxf( ,)(),()2(, 0)(lim)1( xfax; 0)( xF且且)可除外可除外 )()(limxFxfax则则.)()(limxFxfax ; 0)(lim xFax例例解解.2coslim2 xxx求求)2()(coslim2 xxx原式原式1sinlim2xx . 1 例例解解.1coslim30 xxxx 求求203121sinlimxxxx 原原式式)00()00(2sin . 注注 00)()(lim)1(xFxfax(可多次用法则可多次用法则) 00)()(limxFxfax 00)()(limxFxfax型型而而言言，定定理理是是对对于于00)2

4、(.型型有有同同样样的的结结论论对对于于 而而言言，定定理理是是于于ax )3(.0同同样样成成立立对对于于 ax.)4(同同样样成成立立，定定理理对对于于 xx定理定理2.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx ; 0)(,)()(,)2( xFxFxfNx且且可可导导和和时时当当);()()(lim)3( 或或为为AxFxfx那么那么; 0)(lim, 0)(lim)1( xFxfxx设设xxxx1cos111lim22 原式原式例例解解.1sinarctan2limxxx 求求)00(1 221lim11cosxxxx 例例.)(arcsin1sinlim20 xxexx 求求

5、)00(解解)0(arcsinxxx201sinlimxxexx 原原式式xxexx2coslim0 )00()00(2sinlim0 xexx .21 注注1 1： 为简化运算经常将法则与其他为简化运算经常将法则与其他求极限方法结合使用求极限方法结合使用; ;例例解解xxxxcoslim 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.)cos11(limxxx 原原式式. 1 注注2 2： 当导数比的极限不存在时当导数比的极限不存在时, ,不不能断定原极限不存在能断定原极限不存在, ,只表明不能使用洛必达法则只表明不能使用洛必达

6、法则;)( 不是未定式！不是未定式！ 例例123lim2331 xxxxxx12333lim221 xxxx)00()00(266lim1 xxx66lim1 x1 注注3 3：不是未定式，不能使用：不是未定式，不能使用法则！法则！ 23 注注4 4：可能永远得不到：可能永远得不到结果结果. . xxx21lim 1122lim2xxx )( 21limxxx 211limxxx )( xxx21lim 其实其实: . 11lim2 xxx例例型未定式型未定式二、二、 ,0例例解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 2limxxe . ,00. 型型 0. 1010 2limxe

7、xx 原式原式)( )( 关键关键 1或或 000 将其它类型未定式化为洛必达法则可将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型解决的类型例例).arctan2(limxxx 求求)0( 解解xxx1arctan2lim 原式原式)00(22111limxxx 221limxxx 1 注注5 5： 是未定式，其结果是未定式，其结果未必为未必为0 0！ 0注注6 6：注意选择不同的转化：注意选择不同的转化方式方式. . 111lim(1)xxxe (0) 原式原式例例1111limxxxe 0()011121lim1(1)xxex 2111(1)limxxxe 0()031112(1)lim.xx

8、xe 11111limxxxe () 11111limxxxe 1111111limxxxex 111limxxe 例例解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2)00()00(xxxxxxsincoscossinlim0 0101 00注注7 7：)1sin1(lim0 xxx xxxx1limsin1lim00 000 1 00 00ln0 e1ln e ln0e00,1 ,0 三、三、型未定式型未定式例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 原式原式e e 0e . 1 e

9、 exxlnxxxlnlim0 xxx1lnlim0 2011limxxx )0( )( 0limx注注8 8： 是未定式，其结果是未定式，其结果未必为未必为1 1！ 00例例解解)(cotlim0 xx 求求)(0 xxxx1sin1cot1lim20 .1 exln1 原式原式 0limxxxxln)ln(cotlim0 e )( e )ln(cotln1xx e注注9 9： 是未定式，其结果是未定式，其结果未必为未必为1 1！ 0 例例解解)1( 原式原式 xxx1cos2sinlim求求x xxx1cos2sinlne xlim)0( xlime xxx1cos2sinlnxt1 令令

10、e limttt)cos2ln(sin )00(0te 0limtttttcos2sinsin2cos2 2e 还有别的方法吗还有别的方法吗?exxx 11lim注注1010： 是未定式，其结是未定式，其结果未必为果未必为1 1！ 1例例解解nnne2lim 求求数列的极限数列的极限转化为函数的未定式的极限转化为函数的未定式的极限!由于由于xxe2lim )0( xxex2lim )( xxe221lim 0 n又又是是 x中的一种特殊情况中的一种特殊情况,所以有所以有nnne2lim 0 不能用洛必达法则不能用洛必达法则x注注1111：如果转化为函数之后，极限：如果转化为函数之后，极限不存在，原数列极限是否一定不存不存在，原数列极限是否一定不存在？在？四、小结四、小结型型00,1 ,0 ,型型 型型 0,00型型型型 一、一、二、二、三、三、注意注