2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第4讲概率统计中的数学建模与数据分析

1、第 4 讲 概率统计中的数学建模与数据分析概率统计中的创新性问题是高考的命题重点， 不仅注重模块知识内的综合， 也注重模块知识间的综合，更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查命题的重点有：(1)考查数学建模核心素养，以实际生活中的环保、民生、科技等为背景，考查函数、 数列等模型的建立，其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点(2)考查数据分析核心素养，常考查对数据的搜集与归类，并利用不同的特征值对研究 对象做出理性的判断图表与概率交汇 (师生共研 )(2020 广东六校第一次联考)某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一、二、三等奖 级的一、二、三等级 )现有

2、某考场所有考生的两科成绩等级统计如图 二等奖的考生有 12 人,图 1)(1) 求该考场考生中获语文一等奖的人数；(2) 用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5 人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图(如图 2 所示 )，求样本的平均数及方差并进行比较分析；( 分别对应成绩等1 所示，其中获数学，图 2)(3)已知本考场的所有考生中，恰有3 人两科均获一等奖，在至少一科获一等奖的考生中，随机抽取 2 人进行访谈，求这 2 人两科均获一等奖的概率.【解】(1)因为获数学二等奖的考生有12 人，12所以该考场考生的总人数为12= 50.1 0.40-0.26 0.10故该

3、考场获语文一等奖的考生人数为50X(1 0.38X2 0.16)= 4.(2)设获数学二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为1, s1 2,获语文二等奖考生综合得分的平均数和方差分别为x2,81 + 84 + 92 + 90+ 93-1= 88,79+ 89+ 84 + 86+ 87x2= 85,1s2=-X(7)2+(4)2+42+22+52=22,5把两科均获一等奖的3 人分别记为 Ai, A2, A3,仅数学获一等奖的 2 人分别记为 Bi,1s2=5X(6)2+42+(1)2+12+22=11.6,因为 8885, 11.6 k0)0.100.050.0100.0050.001k02.

4、7063.8416.6357.87910.828【解】（1）依题意，甲、乙两地区I型疾病患者共 40 人，甲、乙两地区I型疾病患者初次患病年龄小于 40 岁的人数分别为 15, 10,则从I型疾病患者中随机抽取1 人，其初次填空结果如下.表疾病类型患者所在地域I型n型总计甲地233760乙地172340总计4060100表二疾病类型初次患病年龄I型n型总计低龄251540高龄154560总计4060100“初次患病年龄”与所患疾病的类型有关联的可能性更大.由可知 X 为初次患病年龄，根据表二中的数据可得 a = 25, b = 15, e= 15, d = 45, n= 100,患病年龄小于

5、40 岁的概率的估计值为15+ 10540= 8.100X (25X45-15X15)40X60X40X6014. 06310.828,故有 99.9%的把握认为所患疾病类型与初次患病年龄有关.本题的易错点有三处：一是审题不认真，误认为甲、乙两地区I型疾病患者的总数为15+ 10100,错误列式70 厂=0.25；二是不能从频数分布表中获取相关数据，无法正确填写列联表，不能根据列联表中数据的含义做出正确判断；三是代错公式或计算错误，从而导致统计判断出错.（2020 广州市综合检测（一）某网络平则 K2的观测值 k =14.063,台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了 100 位客户的数据，

6、并将这 100 个数据按学时数、客户性别等进行统计，整理得到下表:学时数5, 10)10, 15)15, 20)20, 25)25, 30)30 , 35)35 , 40男性181299642女性24827134（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两数）；从这 100 位客户中，对购买该课程学时数在 20 以下的女性客户按照分层抽样的方式 随机抽取 7人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求这 2 人购买的学时数都不低于15 的概率;（3）将购买该课程达到 25 学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25 学时以下者视为“

7、非十分爱好该课程者”， 请根据已知条件完成以下2X2列联把握认为非十分爱好该课程者十分爱好该课程者总计男性女性总计100附:P(K2 ko)0.1000.0500.0250.0100.001ko2.7063.8415.0246.63510.828解：（1）依题意，在这 100 位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值=X(7.5X18+ 12.5X12 + 17.5X9+ 22.5X9+ 27.5X6+ 32.5X4+ 37.5X2) 16.92. 60所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92.设“所抽取的 2 人购买的学时数都不低于15”为事件 A,依题意按照分层抽

8、样的方式分别从学时数为5, 10）, 10 , 15）, 15 , 20）的女性客户中抽取 1 人（设为 a）, 2 人（分别设 为 b1, b2）, 4 人（分别设为 C1, c2, c3, c4）.则从这 7 人中随机抽取 2 人所包含的基本事件为ab1, ab2, ac1, ac2, ac3, ac4, b1b2,“十分爱好该课程者”与性别有n (ad be)K2=- 其中 n = a+ b + c + dK(a + b)( c+ d)( a + c)( b + a)，其中nd.blC1,blC2,blC3, blC4, b2C1, b2C2, b2C3, b2C4, C1C2,C1C3

9、,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4,共 21个，其中事件A 所包含的基本事件为C1C2, C1C3,C1C4,C2C3,C2C4, C3C4,共 6 个.6 2所以事件 A 发生的概率 P(A) = 21 = 7.依题意得 2X2 列联表如下:非十分爱好该课程者十分爱好该课程者总计男性481260女性162440总计6436100100X (48X24-16X12)64X36X60X40故有 99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关.图表与线性回归分析相交汇(师生共研)(2020 江西七校第一次联考)最近青少 年的视力健康问题引起家长们的高度重视，某地区为了解当地24 所小学，

10、24 所初中和 12K2=2一16.66710.828.所高中的学生的视力状况， 准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5 所学校对学生进行视力调查.(1) 若从所抽取的 5 所学校中再随机抽取 3 所学校进行问卷调查，求抽到的这3 所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；(2) 若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y 的数据如下表：年级号 x12345近视率 y0.050.090.160.200.25根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率.nKxiyi n x yA附：回归直线 y = bx+ a 的斜率和

11、截距的最小二乘法估计公式分别为b= n, aKx2 n x2i=155参考数据：斗=iXiyi= 2.76, iX?= 55.【解】(1)由 24 : 24： 12= 2 : 2 : 1，得抽取的 5 所学校中有 2 所小学、2 所初中、1所高中，分别设为 a1, a2, b1, b2, c,从这 5 所学校中随机抽取3 所学校的所有基本事件为(a1,a2, b1), (a1, a2, b2), (a1,a2, c), (ai,bi, b2), (ai,bi, c),(ai, b2, c), (a2, bi,b2), (a2, bi, c),(a2, b2, c), (bi.b2, c),共

12、i0 种,设事件 A 表示“抽到的这 3 所学校中，小学、初中、高中分别有一所 ”，则事件 A 包4含的基本事件为(ai, bi, c), (ai, b2, c), (a2, bi, c), (a2, b2, c),共 4 种，故 P(A) =百=25._5(2)由题中表格数据得 _ = 3, _ = 0.i5, 5_ _ = 2.25, 5_2= 45,且由参考数据：些 xiyi5=2.76，辱X=55,人人 2.76 2.25得 b= 0.05i,55 45a=0.i50.05ix3=_0.003,得线性回归方程为 y= 0.05ix_ 0.003.当 x = 6 时，代入得 y= 0.0

13、5ix6 0.003= 0.303,所以六年级学生的近视率在0.303 左右.破解此类分层抽样、 概率、线性回归相交汇的开放性问题的关键： 一是会制图，即会根 据频数分布表，把两组数据填入茎叶图中； 二是会对开放性问题进行转化； 三是熟练掌握求 线性回归方程的步骤，求出 a, b,即可写出线性回归方程.（2020 武汉市调研测试）一个工厂在某年里连续 10 个月每月产品的总成本 y（万元）与该月产量 x（万件）之间有如下一组数据:x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（

14、1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明;建立月总成本 y 与月产量 x 之间的线性回归方程；通过建立的 y 关于 x 的回归方程，估计某月产量为1.98 万件时，产品的总成本为多少万元？（均精确到 0.001）10 10附注：参考数据：刀i=1xi= 14.45,=27.31,n(xfn x2)(召1y2 ny2)niE紗nx y 人人 率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=n , a= y bx.乙 x2 n x2i=1所以r=3 4 5 6.223x104T .8,这说明 y 与 x 正相关，且相关性很强.由已知求得x= 1.445,y= 2.731 ,3 根据该食品 100 天的销售量统计表，求平均每天销售多少份；4 视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进 17 或 18 份，哪一种得到的利润更大？解：（1）平均每天销售的份数为10苕 X2 10 x2- 0.850,-jgy21021.042,b1.223.n占 Xiyi n x参考公式：相关系数 r =a= y bX =2.731-1.223X1.4450.964,所以所求回归直线方程为y= 1.223X+