近共振激发下二能级体系的光学Bloch方程

1、近共振激发下二能级体系的光学Bloch方程-推导、求解与应用余向阳(中山大学光电材料与技术国家重点实验室，广州，510275)1. 导 言相干瞬态光学过程，如自感应透明、超辐射、自由感应衰减、光学章动、光子回波和光学孤子等现象。都涉及到强超短脉冲与物质体系的相互作用。在近共振强场作用下，微扰理论不再适用，这种情况下，最简单的一种处理方法是：采用光与物质的相互作用的半经典理论，即物质体系用量子力学描述，而光场则用经典的麦克斯韦方程组描述。把半经典理论应用于最简单二能级体系，在电偶极近似下，可以推导得到所谓的光学Bloch方程，这组方程是研究相干瞬态光学过程的基础。本文详细推导了光学Bloch方程

2、，并建立了其解折解和数值解的求解方法，编写了相关的计算程序，并与已有文献结果进行了比较，为进一步研究相关课题建立基础。求解结果，普适于阐释相干瞬态光学过程。2. 二能级体系在单光场作用下的光学Bloch方程2.1 密度矩阵的运动方程二能级体系在单束超短脉冲作用下，沿轴方向传播光场的形式可以写为： (2.1)式中为光的中心频率，为波矢，如果光场的振幅为实振幅，则有 (2.2)为实振幅。如果脉冲形状为高斯形1，则有：。是决定脉冲包络形状的参数，或，为高斯脉冲的半高宽。高斯脉冲的积分的归一化系数为：从薛定谔方程出发2， (2.3a) (2.3b)式中，波函数或态矢量为： (2.4)式中，和是二能级体

3、系的基矢，和分别是原子处于和的几率。由密度矩阵的狄拉克形式，可以得到密度矩阵的运动方程如下， (2.5)称为纯系综刘维(Liouvilee)方程。从上式可直接写出密度矩阵元的方程如下， (2.6)图1 光与二能级体系相互作用模型对于如图1所示的光与二能级体系的相互作用模型，为上能级，为下能级。根据(2.6)式，我们有： (2.7a) (2.7b) (2.7c) (2.7d)在光场作用下体系总哈密顿量(Hamilton)为： (2.8)式中，是原子辐射场相互作用的哈密顿3，考虑电偶极子近似，并根据标量场假定，应为， (2.9)因激光波长远大于原子线度，故矩阵元 (2.10) 适当选取波函数的位相

4、可使矩阵元为实数，记为， (2.11)相应地有 (2.12)将(2.8)式应用到(2.7)式，可得， (2.13a) (2.13b) (2.13c) (2.13d)2.2 衰减过程2 方程(2.13)还没能计及能级衰减，考虑各种因素造成的能级衰减，则密度矩阵运动方程还应进行适当的修改。令上、下能级的衰减分别为，则衰减过程的影响是， (2.14)由于，可以从形式上考查和，并且注意和都是实数，则有 ； ； ； (2.15)这样，非对角元的衰减为 (2.16)式中，这样，由于原子的衰减，也会导致原子的电偶极矩的衰减，这种衰减会使辐射的谱线有一定的线宽。另外，粒子之间的弹性碰撞，虽不引起能级衰减，但却

5、可以引起本征态的相位分布的混乱，因而可能引起相干性的衰减，这种衰减使宏观极化强度减小，因此这种衰减过程通常称为“退相”。所以，非对角元的衰减因子还应增加弹性碰撞的衰减因子，这时，便得到所谓的横向弛豫速率 (2.17)这样，横向弛豫时间。 体系在激光的作用下，将会使有一部分的粒子的能级被激发到态，假设单位体积内态的激励速率分别为，写成矩阵的形式即为激发矩阵 (2.18)把能级的衰减也写成衰减矩阵的形式 (2.19)这样，考虑到衰减过程，再加入对原子的泵浦或激发过程，得到粒子数矩阵的运动方程 (2.20)将上式写成矩阵元形式即为 (2.21a) (2.21b) (2.21c) (2.21d)其中代

6、表泵浦过程。定态时，当光场为零时，由方程(2.21c)，(2.21d)得到定态解的上能级粒子数与下能级粒子之差(反转粒子数)： (2.22)光场与体系的作用使上能级粒子数与下能级粒子数之差偏离平衡值，而弛豫过程则使趋向，当考虑泵浦过程和衰减过程，并假定纵向弛豫速率为：(纵向弛豫时间)，方程(2.21)便可写为如下形式 (2.23a) (2.23b) (2.23c) (2.23d)体系与光场相互作用的哈密顿量为： (2.24a) (2.24b)将(2.24)式代入(2.23)，可以得到： (2.25a) (2.25b) (2.25c) (2.25d)式中，为密度矩阵的对角元，为上、下能级的粒子布居，为热平衡时的初始布居。，为共振频率，分别为上、下能级的本征能；为纵向弛豫时间(粒子的驰豫时间)，是横向弛豫时间(退相时间)。原子在光场作用下按振荡，在慢变近似下，有 (2.26) (2.27)式中，和为分别是原子偶极矩的正频部分与负频部分的慢变振幅。将(2.26)和(2.27)代入(2.25)，我们有：略去高频项(旋转波近似)，则密度矩阵运动方程变换为 对的实振幅，我们有 (2.28)称为Rabi频率4，这样，有： (2.29a) (2.29b) (2.29c) (2.29d)或简写为： (2.29a) (2.29b) (2