解析几何教学中数形结合思想方法的运用_图文

1、解析几何教学中数形结合思想方法的运用安佰玲1,黄保军1,卢 涛1,于春红2(1.淮北师范大学数学科学学院,安徽淮北235000;2.淮北师范大学计算机科学与技术学院,安徽淮北235000摘要:文章主要阐释解析几何中的数形结合思想方法,并藉此总结其知识结构及内容,同时阐述该思想方法在实际 教学中的渗透过程.关键词:数形结合思想方法;几何性质;坐标中图分类号:0182文献标识码:C 文章编号:16727177(2mo020069051引言运用数学本身的思想方法指导数学教学和教学改革是数学教学研究的一个热点.以数学思想方法为指 导原则的教学方式,渗透到高等师范院校的数学科目的教学中,对于形成和发展学

2、生的数学品质,全面提高 学生素养,培养高水平的数学师资具有重要的现实意义【1_引.解析几何中蕴含着丰富的数学思想与方法,其 中数形结合思想是解析几何中的核心思想.本文主要借阐释数形结合思想,一方面归纳解析几何的知识结 构及其逻辑框架,一方面描述数形结合思想在教学中的渗透过程.2数形结合思想在教学中的运用解析几何的数形结合,就是利用向量与坐标,建立空间形式(曲线与曲面与方程(组问的对应,然后通 过对方程(组代数性质的研究,将相关的代数式转化为几何语言,实现研究图形性质和形状的目的.数即代 数,具体讲应是方程(组,是研究空间形式几何性质的主要工具;形作为解析几何中研究的对象,主要研究 其在正交变换

3、下不变的几何量,如图形的度量关系和位置关系等.2.1形的表达分析图形的几何特性并给出其代数表示的过程是解析几何研究的主要内容之一,称之为形的表达.狭 义的形的表达是指图形方程的建立,广义的形的表达,在此基础上还着重包括相关的度量关系和位置关系 的孵析表达.收稿日期:20100127基金项目:淮北煤炭师范学院院级教研项日(8478作者简介:安佰玲(1977一 ,女,山东日照人,硕士,讲师,研究方向:几何学70淮北煤炭师范学院学报(自然科学版 2010篮 表l基本位置及度量关系的表达PI.Ph Pl 。三点共线 位置 Pl, 关岛,四 系点共面 PIP2与 P,P.垂直 Pl与n 问的距离 p一,

4、肛z-A而骊:II鬲 赢鬲,鬲共酏(鬲赢雨:o PIP2卿=0d(pI'p2:f鬲l-厣度萎篙茹;TIp一,用2x鬲 关 的面积 _忡 “刚玎 系 l三;三兰;兰三;三l:。 (藏一舶。(翱一翱+(弦一yL兀再而可可F万百瓦乏s椭=丁1c l二:圹93-知Zl l 2+ l兰:=l:+l:耋:p注表I中的辐弘,二是指点卢的直角坐标图形方程的建立是利用数来认识图形的第一步,其基本思想是建立具有一定几何特征的点集与满足某 个方程或方程组的解集(坐标之间的对应.根据空间曲面与曲线表达的一般理论,曲面的表达形式是三元 方程,而曲线必为由两个三元方程构成的一个方程组.同解的方程(组表示的图形是相

5、同的,同时形的表达 也受到坐标系选取的影响,因此同一个图形表达的形式不唯一.简洁的表达对于其几何性质的认识与研究 具有重要意义,而一个适当坐标系的建立将简化表达过程和形式.首先根据给定图形的几何特征,确定是否建立空间直角坐标系,如果涉及到距离夹角等度量性质,应建 立直角坐标系,因为在直角坐标系这些度量性质的表达最简洁.如果仅涉及到位置关系时,建立空间仿射坐 标系即可.其次要利用轨迹中给出的特殊的点、线、面(或向量作为建立坐标系的基本要素.比如“求到定点 与到定平面距离之比为常数的点的轨迹方程”,由于题目中涉及到距离,所以应建立直角坐标系,而且可以 利用定平面作为一个坐标面,过定点与定平面垂直的

6、直线作为一条坐标轴建立坐标系.抓住形的几何特征,是建立图形方程的关键.图形的几何特征总是以某些位置关系(共线、共面、对称 等或度量关系(距离、夹角、面积、体积等体现出来,有的比较明显,比如球面、柱面、锥面、旋转曲面及常见 二次曲面等,这些特殊曲面总是可看作由一族具有某种几何特征的曲线(直线或二次曲线构成的,这种曲 面一般可以表示成一个含有参数的方程组.曲线族生成曲面表达,通常可以这样得到:明确与曲线族中每条 曲线都相交的曲线f即准线的方程卜FI(x,y,一z (对旋转曲面而言是母线,然后给出过准线上任意一点的曲线族中曲线的表达,即含有参数的方程组f三1:菇,y,石,肛u:2o (2 【G2(菇

7、,二九IJ,u=0 其中P(A,Iz,t,f最后从(1、(2中消去参数A,地"得到曲面的方程.2.2数的翻译形的表达是一个由形到数的过程,是认识图形的初步.而将方程(组或代数式转化为几何语言,是一个第2期 安佰玲等:解析几何教学中数形结合思想方法的运用 71由数到形发展的认识过程,不妨称其为数的翻译.将这些数字字母及运算符号等在头脑中描绘出一幅生动的 图画,可以更加全面细微地认识图形研究图形.语言翻译的基础是词汇和语法,而数的翻译是一个由抽象到具体的过程,要比语言的翻译复杂,是一个 从构建到逐步分析挖掘的过程.除了要求我们具备丰富的基本代数式的几何语言词库外,还需要具有相当高 的代数

8、变形技能.因此不仅要求对表1,同时对基本形与常见形的表达也一定要熟悉,对具有某种特征的方 程(组对应的形总结如表2.表2常见形与其方程的对应数(方程或方程组 形产_I且y+C.Iz+D.12:肌 历:c:直线 0埔+B2y+c蟠+D2:o,Ac晶:C1A2:历:c2直线茗:+广+,+似+何+d:o, 球心在(一号,一÷,一号,半径为口2+62+c24d>oj五三jP的球面 只含两个变元的方程如化y-。 肌匕三p-0为准线母线平行于z轴的柱面二;,弘力_o,其中F(%机拓2顶点在原点的锥面 rF(善,孔:,n>0一 形如F(并:+户,:。 曲线p(:苫矗。绕:轴旋转生只有明

9、确基本方程所表示的图形,才能利用这些基本方程(组,讨论与其有关的几何图形的性质. 2.3例题分析例1证明方程组P2+广+户_缸+2y22表示一个圆. L茹十Y十z 2l事实上第一个方程表示一个球心在(1,一1,o半径是2的球面,第二个方程表示一个平面,而且球心到 平面的距离d:上L掣:乒<2,因此方程组表示一个圆.在由数研究形的过程中,除了对所研究图形和基本形建立联系外,另一个关键要素就是对所构造的代数 式进行变形.通过对图形表达形式的同解变形,将其转化为几何意义比较明显的代数式,实现数的翻译.例2二次曲面圆截面的存在性与求法. 二次曲面的圆截面的存在性与求法可以转化为一个代数问题,要解

10、决的基本问题是对于二次曲面S:F (%儿z=。是否存在一个平面叮r:触+毋+&+。=。,使得交线c:口:主:。:。是圆.解决的基本思路:假设存在平面订与二次曲面s交于圆甘嚣:盏:主:。:。同解于fG(菇,Y,=0LA戈+B,+Cz+D=0其中G(戈,Y,z=0为一球面方程.例3二次曲面直纹性的证明. 二次曲面直纹性的证明也可以转化为代数问题来解决.基本问题是证明二次曲面72淮北煤炭师范学院学报(自然科学版 2010年S:口ll矿+口22严+口3,孑+2口12茗,+2口13ff,Z+2吐23yz+20.14菇+2口24Y+20,34z+a44=0(3 是否为直纹面.解决的基本思路:假设s

11、是直纹面铮方程(3同解于方程正(戈,Y,z五(石,Y,:=gl(茁,Y,z92(茗,Y,z (4 其中Z(知Y,z为三元一次方程,舻(茗,Y,2为次数小于等于1的代数方程,i=1,2.铮方程(3同解于f拼(名,:=腭,(石,z(宰 【崩(x,Y,:=培(xy,Y,z(宰卑 7其中方程(枣、(木木为含有参数丸p的三元一次方程,i=I,2.特别地如果g;(髫,Y,z,i=I,2,有一个次 数小于1,即gl(茗,Y,彳=口,口为常数,方程组(5中只需引进一个参数即可.例4证明S:xy+yz+躬=0是一个顶点在原点的锥面.方法1事实上方程xy+弘+影=0(6 与方程Y(戈+:=一杞同解,从而与方程组l

12、地+:i 2肛( 7L/zy 2一k 、 同解,其中参数九p不全为零.由于(A一肛:o:A0:肛A否则A=p=0,于是S是由一族过原点的直线形 成的曲面.这族直线的方向向量V-一批一矛+札枇一旷,且c。s p=黼=二争,其中VO=1,1, 1,从而这族直线与过原点的直线z:旱=早=÷成定角0,又由于S与平面玎.茗+Y+名=k,k#O的交线 厂:Z:。铮群基忌:舰所以s是一个顶点在原点的圆瓶方法2由于方程xy+够+船=0与方程组fx+,+z=蠡乙zj矿+,:I|:(8 同解,蠡为任意实数.而方程组(8表示一族与f:=垂直的圆G,圆心为ot(告,告,专,半径为 l I|I.且对于s上的任

13、一点P,总存在某个参数k,使得P E G,其到原点0的距离d(0,P=k与d (P,仇=:乒I J|l之比为常数乒,所以5可看作一条与z:亍=手=互1交于原点,夹角满足sin口=乒 的直线绕Z旋转一周所得,也即S是一个顶点在原点的圆锥面.在给定的坐标系下,形的表达不唯一,同解的方程(组表示的图形是相同的,利用同解的方程(组研究 形的几何性质是解析几何中一种重要方法.借助于同解变形可将方程(组化为几何特征明显的图形的表达, 比如对于曲线,:2譬Z耄三三通过消元得到其对于3个坐标面的射影柱面的方程八x,y-。,h(如z-0,g(髫,:=0,可任取其两个方程联立的方程组来表达曲线f而射影柱面更加有利

14、于认识图形的形状.数 的变形方法多样且灵活,不易掌握,在具体实施的过程中应有一定的目的性.同时坐标系选取的不同也会导 致形的表达的不同,事实上,空间中的任意两个同向的直角坐标系必然经过有限次的旋转和有限次的平移变 换而重合,空间中任一点在两个不同坐标系中的坐标间的关系可通过坐标变换公式体现出来,因此,在不同 坐标系中形的表达也被这种联系所决定.隐含在各种不同表达形式的背后,是几何研究中一种重要思想与方 法不变量方法,不变量是相对于几何变换而言的,解析几何中的不变量是正交变换不变量,即确定形状 的最本质的量,是通过数研究形的最终实现.第2期 安佰玲等:解析几何教学中数形结合思想方法的运用 733

15、结语数与形,互为工具互为研究对象,共同形成了解析几何这门学科的基本特征,其基本内容始终围绕“形 一数叶形”展开,向量、坐标与代数符号表示使得数形互化成为可能.同时数形结合也是一种重要的解题方 法,借助于形的直观阐述抽象的代数关系,利用数的简洁表达与运算认识空间图形.著名数学家华罗庚曾经 说:“数缺形时少直观,形少数时难入微”.在教学中,将抽象的数学事实与直观的图形结合起来,加深学生对 知识的理解,同时对于提高数学教学在发展学生的逻辑思维和形象思维方面的效果和影响是十分重要的111. 立足于数形结合思想去学习解析几何,从本质上理解并把握其思想与方法及对其他学科的深远影响. 于教者而言,应该以此为

16、本,使学生善于概括总结,发现知识背后隐含的思想,运用联系、发展的方法去建构 和认知,而不只是长于记忆,巧于考试.内容是思想的载体,只有把握住核心的思想方法,才能使看似零散 的、琐碎的知识统一于以思想为高度的结构中,否则学与教就会因为倾向于细节而陷入僵化.参考文献:【11沈文选,杨清桃.数学思想方法领悟【M】.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2008.【21徐沥泉.源于教学高于教学一我的数学教学观【J1.数学教育学报,2009,18(1:1015.、Application on Methodology of Number-shape Combinationin the Analytic Geometry TeachingAN Bailin91,HUANG Bao-junl,LU Ta01,YU Chun-hon92(1.School ofMathematical Sciences,Huaibei Normal University,235000,Huaibei,Anhui,China;2.Schoof of Computer Science and Technology,Huaibei Normal University,235000。Huaibei,Anhui,ChinaAbstract:In this paper,w