高中数学专题技巧论文汇总

1、椭圆的参数方程及其应用大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。一般都是这样定义的：椭圆的参数方程是（是参数，）。特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（是参数，r>0）。一、求椭圆的内接多边形的周长及面积例1 求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积和周长分别是S、L。，当且仅当时，此时存在。二、求轨迹例2 已知点A在椭圆上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且

2、，试求动点M的轨迹方程。解：由题意知B（0，9），设A（），并且设M（x，y）。则，动点M的轨迹的参数方程是（是参数），消去参数得。三、求函数的最值例3 设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（是参数且），则。当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。四、求解有关离心率等入手比较困难的问题例4 椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OPAP。求该椭圆的离心率e的取值范围。解：设椭圆上的点P的坐标是（）（0且），A（a，0）。则。而OPAP，于是，整理得解得（舍去），或。因为，

3、所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。截距法解线性规划问题由于线性规划的目标函数：可变形为，则为直线的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当时，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z取得最小值的点。 （2）当时，与时情形正好相反，直线所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z取得最大值的点。 例1. 设x,y满足约束条件求的最大值、最小值。 解：如图1作出可行域，目标函数表示直线在y轴上的截距，可见当直线过A（1，0）时，截距值最大，当直线过点O（0

4、，0）时，截距值最小。图1 例2. 设满足约束条件求的最大值和最小值。 解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B时纵截距最大，取得最小值，所以；过点A时纵截距最小，z在A（）处取最大值，。如何避免“分类讨论” “分类讨论”是一种重要的数学思想，许多问题都离不开分类讨论。但有些问题若能认真审题，深刻反思，克服思维定势，变换思维角度，往往可以避免分类讨论，使问题的解决更为简捷。现采撷几例，供参考。一、运用最值思想，避免分类讨论例1：奇函数是R上的减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围。解：，且是R上的奇函数，减函数，得到（1），可得，问题转化为只要k小于的最小值即可。令，因为在（0

5、，）上是减函数，故当时，显然有，即k的取值范围为（-，2）点评：按照常规思路，由（1）式转化为在上恒成立问题，可令，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：或或解得或或，从而求得k的取值范围为（-，2）。这样解就显得比较烦琐，因为有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解。就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路。二、妙用换底公式，避免分类讨论例2：设，且，比较与的大小。分析：本例通常应分与两种情况讨论，但运用换底公式消去a，就可避免分类讨论，从而达到简化解题过程的目的。解：运用作商比较法，三、变换主元地位，避免分类讨论例3：设

6、不等式对于满足的一切m的值都成立，求m的取值范围。分析：本例为含参数的不等式，关键是对参数的处理，从表面上看，是一个关于x的一元二次不等式，实质上是一个关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为-2，2，求参数的范围。因此通过参数m与未知数x的地位的变化，借助于一次函数图象，避免了繁杂的对参数的讨论。解：设，它是以m为自变量的一次函数，其图象为直线，由题意知，这条直线当时，线段在y轴的下方，满足它的为即四、借助函数性质，避免分类讨论例4：设定义在-2，2上的偶函数在区间0，2上单调递减，若，求实数m的取值范围。分析：由函数的定义域知，但是与m到底是在-2，0、0，2的哪个区域内，不十分清楚，若

7、就此讨论，将十分复杂，如果注意到性质“如果是偶函数，那么”，问题解答就简捷多了。解：是偶函数，又当时，单调递减，解得点评：本题应用了偶函数的一个简单性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，将“曲径”变“通途”。值得深思。活跃在空间图形中的轨迹问题 在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”，所以学生在解题中，往往是望题兴叹，百思而不得其解。本文试从几个例题来剖析这些问题的基本解法。 1判断轨

8、迹的类型问题 这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题。 例1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义。因为B1C1面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D。 引申1在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有

9、一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 引申2在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）。 A. 线段 B. 一段椭圆弧 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 例2 （2006届天津市十二区县市重点中学第一次高考模拟联合测试）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）。

10、A. 圆或圆的一部分 B. 抛物线或其一部分 C. 双曲线或其一部分 D. 椭圆或其一部分 简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分。 例3（2005年浙江省模拟）已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）。 A. 抛物线B. 双曲线 C. 直线D. 圆 简析在正方体中，过P作PFAD，过F作FEA1D1，垂足分别为F、E，连结PE。则PE2=a2+PF2，又

11、PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PMPF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线。 点评正方体是空间图形中既简单、熟悉、又重要的几何体，具有丰富的内涵，在正方体中设计的轨迹问题，更是别具一格。 例4在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有APBD1，则动点P的轨迹为_。 简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面。易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上。而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线

12、上，故所求的轨迹为线段B1C。本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹。 引申在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PEAC，则动点P的轨迹为_。 答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点） 练习（2004年天津高考题）若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PCAC，则动点C在平面内的轨迹是_。（除去两点的圆） 例5（2004年重庆市高考题）若三棱锥ABCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：

13、（D） 简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在的内角平分线上。现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内。只能选D。 引申（2005年温州一模）已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B）。 A. 圆B. 椭圆 C. 双曲线D. 抛物线 解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等。

14、 2求轨迹中的长度、面积与体积问题 例6已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_，它的长度为_。（2004年北京西城区模拟试题） 简析以B为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，长度为。 例7已知长方体中，在线段BD、上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且，则M点轨迹图形的面积是 8 。 提示轨迹的图形是一个平行四边形。 例8已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。 简析由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性

15、质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的，即。 以空间图形为依托的轨迹问题，要善于利用空间图形的位置关系来转化，把空间问题转化为平面问题，再利用平几或解几知识实现问题的突破，从而使问题迎刃而解。一个不等式链的应用 人教版高中数学第二册（上）习题6.2第3题： 已知a，b为正数，求证：，当且仅当ab时等号成立。 此不等式链含有6个不等式： 这些不等式就是同学们熟悉的均值不等式及其变化，但在解题中常常被忽视，若能灵活运用，则会给解题带来很多方便，现举例说明。 例1. 某商品

16、计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价q%，第二次提价p%；丙方案第一次提价，第二次再提价，其中。则经过两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？ 解：设该商品原价为a，两次提价后的价格按甲、乙、丙三种方案的次序依次为，则： ，由不等式得： 故丙方案提价的幅度最大。 例2. 已知a，b，c均为正数，求证： 。 证明：由不等式，得： ， 。 上述不等式相加得， 。 例3. 甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ） A. 甲先到教室B. 乙先到教室 C.

17、 两人同时到教室D. 不确定 解：设从寝室到教室的路程是s，甲（乙）跑步和步行的速度分别为a，b， 甲、乙两人所用时间分别为，则： ， 由不等式，得（ab），所以，故选B。 例4. （人教版高中数学第二册（上）习题6.2第7题1）求证：在直径为d的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于。 证明：设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则 由不等式，得。 当且仅当时等号成立，故。练一练 设，求证：。 证明过程提示：因为，且， 所以 同理 三式相加，得： 例说处理和（差）角范围问题的几点做法在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差）角范围的偏差导致解题失误。本文举

18、例说明这类问题的处理方法。一. 合理选用公式来确定例1 已知，均为锐角， sin=，求+的值。解析：由已知条件有cos=，且0+。又cos(+)=coscos-sinsin评注：若本题选择正弦的和角公式，会因为一、二象限角的正弦值均为正，而得出两个结果，导致解题失误，这就需要注意公式的合理选用，若将本例改为：设是锐角，且，求+的值，则选用正弦和角公式合理。另外，四个象限角的正切值正负相间，故本例亦可选用正切和角公式。二. 借用其他三角函数来确定合理选用公式，仅对两角和（差）的范围在相邻两个象限时起作用，而对于其它情形，可通过两角和（差）的两个三角公式，来确定两角和（差）的范围。例2 已知，且，

19、都是第二象限角，试确定2+，2-所在象限。解析：由条件，都是第二象限角，则有因为2+，2都可能落在三个象限，单独使用正（余）弦和差角公式，从值的符号都不能决定2+，2的象限，但同时使用正弦、余弦的和差角公式，即可解决。由cos(2+)=cos2cossin2sin知2+在一、四象限。又sin(2+)=sin2cos+cos2sin知2+在一、二象限。综上知2+在第一象限。同理可确定2-在第三象限。三. 挖掘隐含条件来确定例3 已知cos()= 都是锐角，求cos(+)的值。解析：由已知条件有因为0sin2=，所以02，所以0。又因为0，所以-0。由、得-。又因为cos（-）=，所以。 =。从而

20、cos(+)=cos2-(-)=cos2cos(-)+sin2sin(-)评析：本例通过0sin2= ，发现了隐含条件：0，将-的范围缩小为，进而由cos(-)= ,将-的范围确定为，从而避免了增解。例4 已知，且tan,tna是一元二次方程的两个根，求+的值。解析：由已知条件得tan+tan= ，tantan=40，所以tna0，tan0。又因为，所以所以-+0。又因为tan(+)= =所以+= 。评析：本例根据韦达定理tan+tan= ，tantan=4，挖掘出了隐含条件tan0,tan0，知，得出了+的确切范围，从而顺利求解。总之，在处理两角和（差）范围问题时，要注意对题目条件加以研究，

21、特别对隐含条件的挖掘，合理选用公式灵活处理。另外涉及多角和（差）的问题，亦可依照上面做法处理。解题中的“设而不求”综述 设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。本文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。一、整体代入，设而不求 在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。 例1. 已知等比数列中，求。解：设公比为q，由于，故于是<2>÷<1>得，则所以 二、转化图形，设而不求有

22、些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。例2. 设a、b均为正数，且，求证。证明：设，则u、v同时满足其中表示直线，m为此直线在v轴上的截距是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。图1由图易得即三、适当引参，设而不求恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。例3. 已知对任何满足的实数x、y，如果恒成立，求实数k的取值范围。解：设（），则 令，得四、巧设坐标，设而不求在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便

23、化归，起到以简驭繁的解题效果。例4. 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC/x轴，求证：直线AC经过原点O。证明：设点A（，）、B（，），则点C（，）因为AB过焦点F所以得又直线OC的斜率直线OA的斜率，则故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。图2五、活用性质，设而不求解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。例5. 求证证明:设则由可知：数列为单调递增数列。又则即六、中介过渡，设而不求根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决。例6. 如图3，OA是圆锥底

24、面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴的夹角。图3解：过点A作SO的垂线，垂足为M，可知MAOAOBOSB设MAx，OBr，SOh则有化简可得又因为即所以于是，从而七、恒等变形，设而不求某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。例7. 求的值。解：设则 而，故函数图象创新题例析 “函数”是贯穿于高中数学的一条主线，函数图象又是表述函数问题的重要工具，因此函数图象问题与其它知识的联系非常紧密。尤其是导数和向量的引入，拓宽了函数图象问题的命题空间，出现了不少的创新题，下面介绍几例。 例1. 已知函数，其

25、中，当时的大致图象是（ ）图1 解析： 由于的图象问题已超出了高中大纲的范围，因此想通过画出图象来确定答案，将是十分困难的。作反面思考，从选择支出发：选择支（A）、（D）的图象均关于坐标原点对称，选择支（B）的图象关于y轴对称，而函数既非奇函数又非偶函数，因此排除（A）、（B）、（D）。答案（C）正确。 点评：本题以平面向量为载体，考查非常规型函数的图象，灵活运用函数的相关性质排除错误是解题的关键。 例2. 设函数在定义域内可导，的图象如图2所示，则导函数的图象可能为（ ）图2图3 解析：观察图2，发现时，单调递增，因此时，立即排除（B）、（C）。再从图2中发现，且x靠近0时，单调递增，此时，

26、立即排除（A）。答案（D）正确。 点评：本题是函数图象与其导函数图象的交汇，主要考查两者图象之间的关系。利用函数的单调性确定导函数的符号是解题的关键。 例3. 如图4所示，函数的图象上有一列点P1，P2，P3，Pn，已知时，。设线段的长分别为，且，则（ ）图4 A. B. C. D. 解析：由 得 所以 即 所以 将这个等式相乘，得 答案（B）正确。 点评：本题在函数的图象上构建向量，融函数图象、平面向量、数列等知识于一体，利用向量的和差运算寻求递推关系是解题的关键。 例4. 定义在（0，3）上的函数的图象如图5所示，那么不等式的解集是_。图5 解析： 因此的解集是 点评：本题以平面向量为载体，考查抽象函数与三角函数的复合型不等式的解