北京市2021年中考数学真题试卷

1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密启用前北京市2021年中考数学真题试卷题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A长方体B圆柱C圆锥D三棱柱2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务20142018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）A0.16921012B1.6921012C1.6921011D16.9210103.如图，点O在直线

2、AB上，OCOD若AOC=120，则BOD的大小为（ ）A30B40C50D604.下列多边形中，内角和最大的是（ ）ABCD5.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）Aa2BabCa+b0Dba06.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上一枚硬币反面向上的概率是（ ）A14B13C12D237.已知432=1849,442=1936,452=2025,462=2116若n为整数且n2021n+1，则n的值为（ ）A43B44C45D468.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，

3、y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（ ）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系评卷人得分二、填空题9.若x7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_10.分解因式：5x25y2=_11.方程2x+3=1x的解为_12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx(k0)的图象经过点A1,2和点B1,m，则m的值为_13.如图，PA,PB是O的切线，A,B是切点若P=50，则AOB=_14.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC只需添加一个条件即可证明四边形AE

4、CF是菱形，这个条件可以是_（写出一个即可）15.有甲乙两组数据，如表所示：甲1112131415乙1212131414甲乙两组数据的方差分别为s甲2,s乙2，则s甲2_s乙2（填“”，“”或“”）16.某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为4a+1小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为2b+3小时第一天，该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为_第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，

5、给B生产线分配了n吨原材料若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为_评卷人得分三、解答题17.计算：2sin60+12+5(+2)018.解不等式组：4x5x+13x42x19.已知a2+2b21=0，求代数式ab2+b2a+b的值20.淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B,A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C,B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆取CA的中点D，那么直线DB

6、表示的方向为东西方向（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A,B,C的位置如图所示使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明证明：在ABC中，BA=_，D是CA的中点，CADB（_）（填推理的依据）直线DB表示的方向为东西方向，直线CA表示的方向为南北方向21.已知关于x的一元二次方程x24mx+3m2=0（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值22.如图，在四边形ABCD中，ACB=CAD=90，

7、点E在BC上，AE/DC,EFAB，垂足为F（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分BAC,BE=5,cosB=45，求BF和AD的长23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k0)的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围24.如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，ADBC于点E（1）求证：BAD=CAD；（2）连接BO并延长，交AC于点F，交O于点G，连接GC若O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长25.为了解

8、甲乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理描述和分析下面给出了部分信息a甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6x8,8x10,10x12,12x14,14x16）：b甲城市邮政企业4月份收入的数据在10x12这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8c甲乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数中位数如下：平均数中位数甲城市10.8m乙城市11.011.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（

9、2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p1在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为p2比较p1,p2的大小，并说明理由；（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）26.在平面直角坐标系xOy中，点1,m和点3,n在抛物线y=ax2+bxa0上（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点1,y1,2,y2,4,y3在该抛物线上若mn0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由27.如图，在ABC中，AB=AC,BAC=,M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线

10、段AD顺时针旋转得到线段AE，连接BE,DE（1）比较BAE与CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明28.在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到O的弦BC（B,C分别是B,C的对应点），则称线段BC是O的以点A为中心的“关联线段”（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横纵坐标都是整数在线段B1C1,B2C2,B3C3中，O的以点A为中心的“关联线段”是_；（2）ABC是边长为1的等边三角形，点A0,t，

11、其中t0若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在ABC中，AB=1,AC=2若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长参考答案1.B【解析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项解：由图形可得该几何体是圆柱；故选B2.C【解析】根据科学记数法可直接进行求解解：由题意得：将169200000000用科学记数法表示应为1.6921011；故选C3.A【解析】由题意易得COB=60，COD=90，进而问题可求解解：点O在直线AB上，OCOD，AOC+COB=180，COD=90，AOC=120，COB=60，BOD=90COB=30；故选A

12、4.D【解析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项解：A、是一个三角形，其内角和为180；B、是一个四边形，其内角和为360；C、是一个五边形，其内角和为540；D、是一个六边形，其内角和为720；内角和最大的是六边形；故选D5.B【解析】由数轴及题意可得3a2,0b1，依此可排除选项解：由数轴及题意可得：3a2,0b1，ab,a+b0,ba0，只有B选项正确，故选B6.C【解析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项解：由题意得：一枚硬币正面向上一枚硬币反面向上的概率是P=24=12；故选C7.B【解析】由题意可直接进行求解解：432=1849,442=1936,452=202

13、5,462=2116，4422021452，44202145，n=44；故选B8.A【解析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项解：由题意得：2x+y=10，整理得：y=x+5,0x5，S=xy=xx+5=x2+5x,0x5，y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；故选A9.x7【解析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解解：由题意得：x70，解得：x7；故答案为x710.5x+yxy【解析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解解：5x25y2=5x2y2=5x+yxy；故答案为5x+yxy11.x=3【解析】根据分式方程的解法可直

14、接进行求解解：2x+3=1x2x=x+3，x=3，经检验：x=3是原方程的解故答案为：x=312.2【解析】由题意易得k=2，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题解：把点A1,2代入反比例函数y=kxk0得：k=2，1m=2，解得：m=2，故答案为-213.130【解析】由题意易得PAO=PBO=90，然后根据四边形内角和可求解解：PA,PB是O的切线，PAO=PBO=90，由四边形内角和可得：AOB+P=180，P=50，AOB=130；故答案为13014.AF=AE（答案不唯一）【解析】由题意易得四边形AECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解解：四边形ABCD是矩形，AD

15、/BC，AF=EC，四边形AECF是平行四边形，若要添加一个条件使其为菱形，则可添加AF=AE或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；故答案为AF=AE（答案不唯一）15.【解析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可解：由题意得：x甲=11+12+13+14+155=13，x乙=12+12+13+14+145=13，s甲2=11132+12132+13132+14132+151325=2，s乙2=12132+12132+13132+14132+141325=45，245，s甲2s乙2；故答案为16. 23 12【解析】

16、设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得4x+1=25x+3，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为42+m+1=23+n+3，进而求解即可得出答案解：设分配到A生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：4x+1=25x+3，解得：x=2，分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为23；第二天开工时，给A生产线分配了2+m吨原材料，给B生产线分配了3+n吨原材料，加工时间相同，42+m+1=23+n+3，解得：m=12n，mn=12；故答案为2:3，1217.33+

17、4【解析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解解：原式=232+23+51=33+418.2x4【解析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解解：4x5x+13x42x由可得：x2，由可得：x4，原不等式组的解集为2x419.1【解析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可解：ab2+b2a+b=a22ab+b2+2ab+b2=a2+2b2，a2+2b21=0，a2+2b2=1，代入原式得：原式=120.（1）图见详解；（2）BC，等腰三角形的三线合一【解析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求

18、点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答解：（1）如图所示：（2）证明：在ABC中，BA=BC，D是CA的中点，CADB（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）直线DB表示的方向为东西方向，直线CA表示的方向为南北方向；故答案为BC，等腰三角形的三线合一21.（1）见详解；（2）m=1【解析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于x的一元二次方程x24mx+3m2=0的两实数根为x1,x2，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=4m,x1x2=3m2，进而可得x1x22=4，最后利用完全平方公式代入求解即可（1）证明：由题意得：a=1,b=4m,

19、c=3m2，=b24ac=16m2413m2=4m2，m20，=4m20，该方程总有两个实数根；（2）解：设关于x的一元二次方程x24mx+3m2=0的两实数根为x1,x2，则有：x1+x2=4m,x1x2=3m2，x1x2=2，x1x22=x1+x224x1x2=16m212m2=4，解得：m=1，m0，m=122.（1）见详解；（2）BF=4，AD=3【解析】（1）由题意易得ADCE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由BE=5,cosB=45可进行求解问题（1）证明：ACB=CAD=90，ADCE，AE/DC，四边形AECD是平行四边形；（2）解：由（1）可得

20、四边形AECD是平行四边形，CE=AD，EFAB，AE平分BAC，ACB=90，EF=CE，EF=CE=AD，BE=5,cosB=45，BF=BEcosB=545=4，EF=BE2BF2=3，AD=EF=323.（1）y=12x1；（2）12m1【解析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式；（2）由题意可先假设函数y=mxm0与一次函数y=kx+b的交点横坐标为2，则由（1）可得：m=1，然后结合函数图象可进行求解解：（1）由一次函数y=kx+bk0的图象由函数y=12x的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为y=12x1；（2）由题意可先假设函数y=mxm0与一次

21、函数y=kx+b的交点横坐标为2，则由（1）可得：2m=1221，解得：m=1，函数图象如图所示：当x2时，对于x的每一个值，函数y=mxm0的值大于一次函数y=kx+b的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当m=12时，符合题意，当m12时，则函数y=mxm0与一次函数y=kx+b的交点在第一象限，此时就不符合题意，综上所述：12m124.（1）见详解；（2）GC=6，OF=2511【解析】（1）由题意易得BD=CD，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有OE=12CG,OE/CG，进而可得AOFCGF，然后根据相似三角形的性质可进行求解（1）证明：

22、AD是O的直径，ADBC，BD=CD，BAD=CAD；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，点O是BG的中点，OE=12CG,OE/CG，AOFCGF，OACG=OFGF，OE=3，CG=6，O的半径为5，OA=OG=5，56=OFGF，OF=511OG=251125.（1）m=10.1；（2）p1p2，理由见详解；（3）乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元【解析】（1）由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据，然后问题可求解；（2）由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解；（3）根据乙城市的平均数可直接进行求解解：（1）由题意可得m为甲城市的中位数，由于总共

23、有25家邮政企业，所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数，6x8有3家，8x10有7家，10x12有8家，中位数落在10x12上，m=10.1；（2）由（1）可得：甲城市中位数低于平均数，则p1最大为12个；乙城市中位数高于平均数，则p2至少为13个，p1p2；（3）由题意得：20011=2200（百万元）；答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元26.（1）x=1；（2）y2y1y3，理由见解析【解析】（1）由题意易得点1,3和点3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当m0,n0时和当m0,n0时，然后根据二次函数的性质进行分

24、类求解即可解：（1）当m=3,n=15时，则有点1,3和点3,15，代入二次函数y=ax2+bxa0得：a+b=39a+3b=15，解得：a=1b=2，抛物线解析式为y=x2+2x，抛物线的对称轴为x=b2a=1；（2）由题意得：抛物线y=ax2+bxa0始终过定点0,0，则由mn0可得：当m0,n0时，由抛物线y=ax2+bxa0始终过定点0,0可得此时的抛物线开口向下，即a0，与a0矛盾；当m0,n0时，抛物线y=ax2+bxa0始终过定点0,0，此时抛物线的对称轴的范围为12x32，点1,y1,2,y2,4,y3在该抛物线上，它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32x152,122x32

25、,524x72，a0，开口向上，由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，y2y1y327.（1）BAE=CAD，BM=BE+MD，理由见详解；（2）DN=EN，理由见详解【解析】（1）由题意及旋转的性质易得BAC=EAD=，AE=AD，然后可证ABEACD，进而问题可求解；（2）过点E作EHAB，垂足为点Q，交AB于点H，由（1）可得ABE=ACD，BE=CD，易证BH=BE=CD，进而可得HM=DM，然后可得DMNDHE，最后根据相似三角形的性质可求证（1）证明：BAC=EAD=，BAE+BAD=BAD+CAD=，BAE=CAD，由旋转的性质可得AE=AD，AB=AC，ABEACDSAS，BE=CD，点M为BC的中点，BM=CM，CM=MD+CD=MD+BE，BM=BE+MD；（2）证明：DN=EN，理由如下：过点E作EHAB，垂足为点Q，交AB于点H，如图所示：EQB=HQB=90，由（1）可得ABEACD，ABE=ACD，BE=CD，AB=AC，ABC=C=ABE，BQ=BQ，BQEBQHASA，BH=BE=CD，MB=MC，HM=DM，MNAB，MN/EH，DMNDHE，DMDH=DNDE=12，DN=EN28.（1）B2C2；（