三角函数的恒等变换

1、三角函数的恒等变换 教学目标1熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等2熟悉三角变换常用的方法化弦法，降幂法，角的变换法等并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明3掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题重点难点重点是掌握所有三角公式，并能应用它对三角函数式进行变形由于公式多，题目杂，因此对三角关系式进行变形时，要通过观察、分析，合理的选择公式，灵活的运用公式，这是难点另外，在三角形中应用三角变换公式，也是难点教学过程一、三角变换公式的使用特点1同角三角函数关系式(1)理解公式中“同角”的含义(2)明确公式成立的条件，例

2、如，tan2+1=sec2，当且仅当ak(3)掌握公式的变形特别需要指出的是 sin=tan·cos，cos=cot·sin它使得“弦”可以用“切”来表示(4)使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法(5)几个常用关系式sin+cos，sin-cos，sin·cos；(三式之间可以互相表示)同理可以由sin-cos或sin·cos推出其余两式A恒正 B恒负C可以为零D可得任意实数分析 答案为A分析 用化弦法例3 已知 sin+cos=m，tan+cot=n，则 m，n的关系是_分析 用化弦法得代入得m

3、2n=n+22诱导公式(1)诱导公式中的角是使公式成立的任意角(2)正确使用诱导公式的关键是公式中符号的确定(3)sin(k+)=(-1)ksin；cos(k+)=(-1)kcos(kZ)分析 使用诱导公式，并用化弦法3两角和与差的三角函数(1)公式不但要会正用，还要会逆用例6 计算：(2)公式的变形应用要熟悉熟记：tan+tan=tan(+)(1-tan·tan)，它体现了两个角正切的和与积的关系分析 (1)中涉及 80°与70°的正切和与积，(2)中涉及+与的正切差与积，所以都用正切和角公式的变形公式(3)角的变换要能灵活应用，如=(+)-，=-(-)，2=(

4、+)+(-)等分析 因为=(+)-，所以求cos用余弦两个角差的公式分析 因为2=(+)-(-)，所以例10 已知3 sin=sin(2+)，则tan(+)=2 tan证明 将已知变形：3sin(+-)=sin(+) 3sin(+)cos-3cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin等式两边同时除以cos(+)·cos，即得tan(+)=2tan4倍角公式，半角公式(2)使用二倍角的正弦、余弦公式时，公式的选择要准确如已知sin，cos，tan求cos2时，应分别选择cos2=1-(3)余弦的二倍角公式的变形升幂公式、降幂公式必须熟练掌握要明确，降幂法是三角变换中非常

5、重要的变形方法对sin3，cos3的公式应记住(4)使用正弦、余弦的半角公式时，要注意公式中符号的确定方法正在使用无理表达式时，须要确定符号；在使用两个有理表达式时，无须确定符号，这是与选用无理表达式最大的区别，因此在化简、证明题中，例11 求值：(4)先把sin10°·sin50°·sin70°化成余弦，得cos20°·cos40°·cos80°，由于20°，40°，80°顺序为2倍的关系，联想到正弦的2倍角公式，分析 使用 1±cos的升幂公式，便于开

6、方(2)5sin2-3sin·cos+2cos2分析 由已知得tan=-4(2)原式可以加一个分母sin2+cos2，这样分子、分母同时除以cos2还可以这样研究：将sin2、cos2降幂，使用万能公式原式=5·5和差化积、积化和差公式这两组公式现在不要求记忆，但要会使用(1)要明确，这两组公式是解决正、余弦的加、减、乘的运算关系式(3)对下列关系式要熟记：例14 将下列各式化积：(1)1-sin2-cos2；(2)sin5x·sin4x-sin3x·sin2x-sin8x·sinx；分析 对(1)，题中有 1±cos时，通常都用升幂

7、公式对(2)、(3)，先将乘积化和差，再和差化积例15 求值：(1)cos2A+cos2(60°+A)+cos2(60°-A)；(1)分析 可以用余弦的两角和、差公式展开计算；若先降幂，再化积更简单(1)cos(-)； (2)sin(+)-2cos(+)解(1) 将已知的两式平方相加，得(2)将已知的两式化积并相除，得评述 对sin±sin=a，cos±cos=b这样两个式子通常的用法是，如(1)，两式平方相加；如(2)，两式化积并相除这两种用法要掌握6三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点(1)

8、角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理r为三角形内切圆半径，p为周长之半在非直角ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(4)在ABC中，熟记并会证明：A，B，C成等差数列的充分必要条件是B=60°ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列 若A为钝角，则A(120°，180°) A+B180°，不可能，所以例18 判定满足下列条件

9、的ABC的形状解 (1)由已知及正弦定理得因此ABC是以C为顶角的等腰三角形或以C为直角的直角三角形；因此ABC为正三角形例19 ABC中，若A，B，C顺序成等差数列，则cos2A+cos2C的取值范围是_分析 因为A，B，C顺序成等差数列，所以2B=A+C， B=60°，A+C=120°对cos2A+cos2C用降幂变形，得二、综合题分析分析 要求角的大小，一般的方法是求角的一个三角函数值，但是为了确定这个角的函数值，还必须研究这个角的范围二象限评述 (1)本题涉及倍角、半角、差角公式，因此作题时要分步进行，(2)判定一个角所在的象限，常常需要这个角的两个三角函数值例23

10、 求值：(1)4cos235°-cos170°-tan160°·sin170°；(2)cot70°+4cos70°还可以采用下面的解法：由上面的变形，得评述 对于(2)，通分后，出现了sin 20°+2 sin 140°，非特殊角间的正、余弦的代数和经常走和差化积的思路，这就需要创造和差化积的条件第一种解法创造和差化积的条件方法是将2sin140°分成两部分；第二种解法创造和差化积的条件方法是取20°，40°的平均值30°，这样展开以后，可以合并同类项，便于化简例2

11、4 在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin2A=3sin2B+3sin2C，cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1，求abc及三个角的大小解 由cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1得3cosA+3cos(B-C)=1-cos2A=2sin2A有 3sin2B+3sin2C=3cosA+3cos(B-C)，1-cos(B+C)·cos(B-C)=cosA+cos(B-C)1+cosA·cos(B-C)=cosA+cos(B-C)1-cosA=cos(B-C)(1-cosA)由1-cosA0，得cos(B-C)=1，即B=C将B=C代入co

12、s2A+3cosA+3cos(B-C)=1中，得所以 B=C=30°例25 在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C顺序成等差数列，且log4sina+log4sinC=-1，三根据正弦定理例26 ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c顺序成等差数列，且A-C=120°，求sinA，sinC解 因为2b=a+c，由正弦定理得能力训练1已知cos(-110°)=m，则tan 70°等于 3在ABC中，AB是sinasin B的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件 5若13sin

13、+5cos=9，13cos+5sin=15，则sin(+)的值是 6已知tan(+)=3，tan(-)=5，则tan2=_9求值：(1)cos422°30+cos467°30；(2)sin20°·cos50°+sin220°+cos250°；(3)tan22°·tan31°+tan31°·tan37°+tan37°·tan22°；(4)tan9°+cot117°-tan243°-cot351°10根据下列条件，判定ABC的形状B所对的边)11求值：sec50°+tan10°12求值：2sin20°+2cos25°+cot70°·sin10°13ABC中，若A，B，C所对的边a，b，c顺序成答案提示1D 2A 3C 4B 5C(3)tan31°(tan22°+tan37°)+tan37°·tan22°=tan31°·tan59°·(1-tan22°·