常微分方程(1)ppt课件

1、5.3 线性常系数齐次方程线性常系数齐次方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式一、定义-特征方程法特征方程法,rxye设方程有形式的形式解代入代入 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy二、二阶常系数齐次线性方程解法二、二阶常系数齐次线性方程解法 有两个不相等的实根有

2、两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 特征根为特征根为 有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为 有一对共轭复根

3、有一对共轭复根1,ri2,ri()1(cossin)ixxyeexix()2(cossin)ixxyeexix)0( 方程两根方程两根:1*cos,xyex2*sin,xyex得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx 特征根为特征根为得两实根得两实根:02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 定义定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通

4、解的方法称为特征方程法确定其通解的方法称为特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 100 12 3601,0 xxyyyyy练习： 求初值问题 .052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得1 212 ,ri ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2 3 20 yyy练习： 求的通解01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根

5、特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110三、三、n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法注意注意n次特征方程有次特征方程有n个根个根, 而每个根对应着通解中的一项而每个根对应着通解中的一项,且每一项对应一个任意常数且每一项对应一个任意常数.nnyCyCyCy 2211(4)3. 0 yy例求方程的通解4 10r 解： 特征方程：12341,1,rrriri 特征根：1234cossinxxyC eC eCxCx通解：特征根为特

6、征根为123451,rrrirri 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程为特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例4 42( )x ypxyqyf xdyxydt,tex 令xtln即222d ydyx ydtdt欧拉方程(可化为常系数线性方程) 例例5.，此欧拉方程化为：，即解：令xtextln02522ydtdydtdydtyd02322ydtdydtyd得：特征方程：01232rr的通解求方程0252yxyyx特征根：1212,2rr

7、 通解为：12212ttyc ec e12212c xc x001)1(11)(axyayxayxnnnnn欧拉方程(可化为常系数线性方程) tex 令xtln有dyxydtdtdydtydyx222? 3yx?)4(4yx,ddtD 记有: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddktDkkkyDD) 1(ykDDDyxkk) 1() 1()()(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即算子解法算子解法: 例例6.满足设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由题设得定解问题由题设得定解问题xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy(1),tex 令,ddtD 记那么(1)化为teyD5)4(2特征根: ,2ir设特解: (2),teAy(3)代入(3)