量子力学的基本理论ppt课件

1、量子力学初步本章内容Contentschapter 23波函数及其统计解释波函数及其统计解释wave function and its statistical explanation薛定谔方程薛定谔方程Schrodinger equation隧道效应隧道效应tunnel effect不确定关系不确定关系uncertainty relation第一节wave function and its statistical explanation引言 量子力学是描画微观粒子运动规律的学科。它是现代物理学的实际支柱之一，被广泛地运用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。 本章主要引见量子力学的根本概

2、念及原理，并经过几个详细事例的讨论来说明量子力学处置问题的普通方法。波函数回想：德布罗意关于物质的波粒二象性假设速度为质量为的自在粒子一方面可用 能量 和 动量 来描画它的粒子性另一方面可用 频率 和 波长 来描画它的动摇性 波函数是描画具有波粒二象性的微观客体的量子形状的函数，知道了某微观客体的波函数后，原那么上可得到该微观客体的全部知识。下面从量子力学的根本观念出发，建立自在粒子的波函数。自在粒子波函数在量子力学中用复数表达式：运用欧拉公式取实部 运用德布罗意公式即即即的自在粒子的波函数为沿 X方向匀速直线运动 在动摇学中，描画动摇过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播

3、的平面单色简谐波的动摇方程沿 方向匀速直线运动的自在粒子的波函数为续上在量子力学中用复数表达式：运用欧拉公式取实部 运用德布罗意公式即即即沿 方向匀速直线运动的自在粒子的波函数为的自在粒子的波函数为沿 X方向匀速直线运动 在动摇学中，描画动摇过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的动摇方程自在粒子的波函数 自在粒子的能量和动量为常量，其波函数所描画的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描画的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自在粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动形状及描画运动形状的波函数也不一样。微观客体的运动形状可用波函数来描画，这

4、是量子力学的一个根本假设。概率密度 设描画粒子运动形状的波函数为 ，那么 空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率概率密度与 的模的平方成正比。是的共轭复数德布罗意波又称 概率波波函数又称 概率幅取比例系数为1，即1926 年提出了对 波函数的统计解释波函数归一化因概率密度故在 矢端的体积元 内发现粒子的概率为 在波函数存在的全部空间 V 中必能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒子出现的概率为1。此条件称为 波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个规范条件：概率波与经典波德布罗意波概率波不同于 经典波

5、如机械波、电磁波德布罗意波经 典 波是振动形状的传播不代表任何物理量的传播波强振幅的平方代表经过某点的能流密度波强振幅的平方代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布，即 和C 所描画德布罗意波的形状一样。 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，那么个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度分布形状。波函数存在归一化问题。动摇方程无归一化问题。波函数存在归一化问题。波函数规范条件波函数的三个规范条件：延续因概率不会在某处发

6、生突变，故波函数必需处处延续；单值因任一体积元内出现的概率只需一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不能够为无限大，故波函数必需是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只需一种符合规范条件符合不符合不符合不符合算例某粒子的波函数为归一化波函数概率密度概率密度最大的位置令求积分得：积分得：得得 到到 归归 一一 化化 波波 函函 数数 ：概率密度得得令求极大值的求极大值的 x 坐标坐标解得解得另外两个解另外两个解处题设处题设处处最大随堂小议终了选择终了选择请在放映形状下点击他以为是对的答案请在放映形状下点击他以为是对的答案以下波函数中合理的是以下波函数中合理的是1 1 ；2 2 ；3

7、3 ；4 4小议链接1终了选择终了选择请在放映形状下点击他以为是对的答案请在放映形状下点击他以为是对的答案以下波函数中合理的是以下波函数中合理的是1 1 ；2 2 ；3 3 ；4 4小议链接2终了选择终了选择请在放映形状下点击他以为是对的答案请在放映形状下点击他以为是对的答案以下波函数中合理的是以下波函数中合理的是1 1 ；2 2 ；3 3 ；4 4小议链接3终了选择终了选择请在放映形状下点击他以为是对的答案请在放映形状下点击他以为是对的答案以下波函数中合理的是以下波函数中合理的是1 1 ；2 2 ；3 3 ；4 4小议链接4终了选择终了选择请在放映形状下点击他以为是对的答案请在放映形状下点击

8、他以为是对的答案以下波函数中合理的是以下波函数中合理的是1 1 ；2 2 ；3 3 ；4 4第二节Schrodinger equation薛定谔方程引言经典力学牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的运动形状经典质点有运动轨道概念不思索物质的波粒二象性量子力学 针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念运动形状波函数量子力学方程能否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的根本算符 量子力学中的 算符是表示对某一函数进展某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。算 符劈形算符数学运算符号拉普拉斯算符动量算符动能算符哈密顿算符含动、势能位矢算符力 学

9、 量 算 符 统称 举 例假设 作用在某函数 上的效果和 与某一常量 的乘积相当，即那么称为 的 本征值称为 的 本征函数所描画的形状称为 本征态力学量的能够值是它的本征值力学量的平均值由下述积分求出薛定谔方程1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学根本方程获1933年诺贝尔物理学奖当其运动速度远小于光速时它的波函数 所满足的方程为质量为 的粒子在势能函数为 的势场中运动 它反映微观粒子运动形状随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。式中， 为哈密顿算符，可分别变量，写成解释：假设那么积分解得将常量 归入 中，得定态波函数此外，对得 定态薛定谔方程故常量时间的函数空间的函数由对

10、应一个能够态有一常量定态薛定谔方程势场只是空间函数即假设粒子所在的有一个能量定值含时薛定谔方程定态波函数对应于一个能够态，那么定态薛定谔方程其概率密度与时间无关所描画的形状。它的重要特点是：所谓“定态，就是波函数具有 方式定态波函数中的 称为 振幅函数有时直称 为波函数。的函数方式也应满足统计的条件延续、单值、有限的规范条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且延续使定态薛定谔方程成立。定态问题是量子力学最根本的问题，我们仅讨论假设干典型的定态问题。假设知势能函数 ，运用定态薛定谔方程可求解出 ，并得到定态波函数续上态跌加原理 为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个能够形状。设为它们的线性叠加

11、即为复常数将上式两边对时间求偏导数并乘以因都满足薛定谔方程即这阐明：体系两个能够形状的叠加仍为体系的一个能够态。称为 态叠加原理一维无限深势阱粒子在某力场中运动，假设力场的势函数 U 具有下述方式该势能函数称作一维无限深势阱。 运用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步了解在量子化等概念。续上求解阱内阱外只需因及要延续、有限，薛定谔方程才成立，在阱外故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。 设质量为 的微观粒子， 处在一维无限深势阱中，该势阱的势能函数为阱外阱内建立定态薛定谔方程一维问题续上求解求定态薛定谔方程的通解阱内即令得此微

12、分方程的通解为其三角函数表达方式为式中 和 为待定常数根据规范条件确定常数和并求能量 的能够取值以及在边境 和处又因得的取值应与阱外 延续，边境处的故得及时阱内 不合理 舍去的负值和正值概率密度一样。同一取得续求解求归一化定态波函数由上述结果阱外阱内及得应满足归一化条件得积分归一化定态波函数概率密度势阱问题小结能量量子化极不明显，可视为经典延续。间距太小间距太小在微观粒子能够取如，电子9.110 31 kg处在宽度 10 - 10 m ( 原子线度)的势阱中算得 37.7 eV能量量子化明显处在宽度 10 2 m ( 宏观尺度)的势阱中算得 37.7 10 -15 eV 能量量子化是微观世界的

13、固有景象从能级绝对间隔看，从能级相对间隔看，那么的各种能态中，随着 值增大，逐渐向经典过渡。一维无限深势阱中的微观粒子 小结能量 量子化称 基态能或 零点能相邻能级的能量间隔波函数好比驻波概率密度的 称节点位置极大的 称最概然位置增大,节点数增多,最概然位置间隔变小。 很大，概率密度趋近经典均匀分布。势垒粒子在某力场中运动，假设力场的势函数 U 具有下述方式该势能函数称作一维矩情势垒。按经典力学观念，在量子力学中，能量 的粒子不能够穿越势垒。后才干下结论。应求解定态薛定谔方程隧道效应区区区 式中 得上述微分方程的解为设：一矩情势垒的势能函数 在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程

14、一质量为 、能量为的粒子由 区向势垒运动续上区区区入射波反射波透射波区无反射，入入射波反反射波透透射波根据边境条件 和 处和必需延续，可求方程中各系数的关系。透射粒子数入射粒子数透射系数透入为描画粒子透过势垒的概率引入为原设为势垒宽度估算阐明 可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒， 这种景象称为 势垒贯穿 亦称 隧道效应。这是微观粒子动摇性的表现。 隧道效应已被许多实验所证明，并在半导体器件、超导器件、物质外表探测等现代科技领域中有着重要的运用。扫描隧道显微镜两金属的平均逸出电势垒高度金属1金属2逸出电势垒高金属1逸出电势垒高金属2 金属中的电子由于隧道效应有能够穿越比其能量更高的外表势垒逸出电

15、势垒而逸出金属外表，在金属外外表附近构成电子云，电子云的分布方式与金属晶体的构造和外表性质有关。 假设两块金属外表相距 很近，至使外表的电子云发生相互重叠，此时假设在两金属间加一微弱电压 操作电压，那么会有微弱的电流 隧道电流 从一金属流向另一金属，并可表示为实验阐明， 只需改动 0.1 n m(原子直径线度， 就会引起 变化一千倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成极细的探针针尖细到一个原子大小，在另一金属样品外表附近扫描，它可以以原子级的空间分辨率去察看物质外表的原子构造。假设势垒宽度 和势垒平均高度 分别以 n m 和 eV 为单位时， 约为1。续上电子云Si

16、(111)外表 77 元胞的STM图像亮点表示突起，暗部表示下凹电子测控及数据处置系统电子测控及数据处置系统计算机显示系统计算机显示系统横向分辨率达 0.1 n m纵向分辨率达 0.005 n m真空或介质沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反响信号调理针尖到样品表层原子点阵的间隔，使 坚持不变。针尖的空间坐标的变化反映了样品外表原子阵列的几何构造及起伏情况。经微机编码可显示外表构造图像。STM可用于金属、半导体、绝缘体和有机物外表的研讨。是资料科学、生命科学和纳米科学与技术的有力武器。Atomic Resolution STM on Si (111) 不确定关系海森伯因创建用矩阵数学描画微观粒

17、子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖注：不确定关系又称测不准关系，在上述表达式中的 和 都具有统计含义，分别代表有关位置和动量的方均根偏向。称为海森伯位置和动量的不确定关系，它阐明，同时准确测定微观粒子的位置和动量是不能够的。微观粒子不能同时具有确定的位置和动量，位 置 的 不 确 定 量 该方向动量的不确定量同一时辰的关系1927年，德国物理学家海森伯提出续上电子束缝宽衍射图样电子经过单缝时发生衍射，概略地用一级衍射角所对应的动量变化分量 粗估其动量的不确定程度得即思索到高于一级仍会有电子出现取从电子的单缝衍射景象不难了解位置和动量的不确定关系衍射图样单缝衍射一级暗纹条件德布罗意波

18、长 缝宽 可用来粗估电子经过单缝时其位置 x 的不确定程度。 根据右图可粗估 为了减小位置丈量的不确定程度，可以减小缝宽 ，但与此同时，被测电子的动量的不确定量 却变大了。与 的关系。同时为零，即微观粒子的位置和动量不能够同时准确测定，这是微观粒子具有波粒二象性的一种客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，假设在某一详细问题中，普朗克常数可以看成是一个小到被忽略的量，那么不用思索客体的波粒二象性，可用经典力学处置。通常也作为不确定关系的一种简明的表达方式，它阐明和不能够例题一质量速度速度不确定量某飞行中的子弹m = 0.01 kgv = 500 m / sv = 0.1 v 某

19、原子中的电子m e = 9.110 31 kgv e = 210 6 m / sv e = 0.1 v e 试运用不确定关系分别估算下述电子和子弹的位置不确定量根据位置和动量不确定关系 子 弹0.10.41.110 34(m) 电 子0.10.42.910 10(m)电子的位置不确定量大到与原子的线度数量级10 10 m 一样，因此，不能够准确测定电子处在原子中的位置。子弹的位置不确定量比原子的线度还要小许多个数量级，小到任何精密仪器都无法观测。因此，对宏观物体运动的描画，不受位置和动量的不确定关系的限制。例题二 10 6 m s -1假设以氢原子的线度10 10 m 作为作为电子电子一氢原子

20、中的电子速度 的数量级为电子速度的不确定量电子的质量 me为9.1110 -31 kg的坐标不确定量由不确定关系因该电子速度远小于光速，可不思索相对论效应，用 代入得5.7910 5 m s 1已大到与 的大小相当。随堂小议1 1粒子的坐标是不能粒子的坐标是不能准确确定的；准确确定的；2 2粒子的动量是不能粒子的动量是不能准确测定的；准确测定的；3 3粒子的坐标和动量都粒子的坐标和动量都是不能准确确定的；是不能准确确定的；4 4以上结论都不对。以上结论都不对。不确定关系阐明不确定关系阐明终了选择终了选择请在放映形状下点击他以为是对的答案请在放映形状下点击他以为是对的答案小议链接11 1粒子的坐标是不能粒子的坐标是不能准确确定的；准确确定的；2 2粒子的动量是不能粒子的动量是不能准确测定的；准确测定的；3 3粒子的坐标和