实变函数第二章测度论答案

1、A）逆及参考解答第2章测度论（习题及参考解答）1.证明：仃理数全体是R1中可测集，且测度为0.证（1）先证单点集的测度为O.VxgR1,令E = x. V>0.V»gN#A）逆及参考解答#A）逆及参考解答因为汁 E = inf£|/； | |U/ nE, I” 为开区间卜 £三=。故 /«*£-n=l"网«=1n=l 2110.所以,E可测且加=0.（2）再证：r'i>全体仃理数全体q测度为o.设是蚁中全体有理数,VneN,令£”=：则E”是两两不相交的可测集 列，宙可测的可加性有：H1*Q =

2、 w(U E”) = YmEfl =Y0 = 0mgE法二：设Q = m，VwN,令一侖出+缶），苴中£是预先给定的 与"无关的正常数，则：卅Q = inf£| /” |心/严Q逋咋£善之/I-11=1/«1<«i L由£得任意性，加*Q = 02. 证明:若E是有界集,则/m*E<-ko.证若E是IT有界.则寸常数M >0,使=2,兀）wE,有冋彳孰- 0）_厚皿n即 V/（l < i < n） > W x.| < Af ,从而EuJJ兀-M,£+M.所以，加*£

3、;<加*匸兀M,兀+Mv£W=（2M）" v+8»=i<=i3. 至少含自一个内点的集合的外测度能否为零？解不能事实上,设EuR”, E中有一个内点x = （xA, xjE.3<5>0,使得0（兀回 fl （兀 - £,兀 + £） u E/=1 z zWJ, /n*E>/n*PI（x（.-,xf.+-）= >0.所以m*E#0.i=i224. 在a,b上能否作一个测度为b a,但又异J仏b的闭集？解不能爭实上，如果有闭集Fugb使得mF=b-a.不失一般性，可设aeF且bwF. 事实上,若awF ,则可作尸

4、= aUF，尸u a,b.且加尸=加口 +加尸=庐.这样, 我们可记 F* 为新的 F ,从而a,b-F = (a.h)-F = (a.b) - F Pl («, h).如果a,fr-F#0,即Bxea,b-F = (a,b)-F9 而(a.b)-F 是开集,故牙是 a,b-F 的一个内点,由 3 题，m*(a9b-F) = m(a9b-F) = m(a9b)-mF 工 0.这与 mF = b-a 矛盾.故不存在闭集F u a.b且mF = b-a5. 若将§ 1定理6中条件”K U E”)vs”去掉,等式0 m(limEn) < lim迟,是否仍n>40刃 T

5、oe成立？解：§ 1定理6中条件”加(U E”)V8”是不可去掉的.事实上，V/7g N ,令&一一1)，则E”爲是两两不相交的可测集列，由习题一 得 15 题：lmiE” = lmi En = 0 .故 /n(lmi E= 0,但 fn g N, mEn = mn-lji) = 1.sn->x所以 limmEn = 1 从ifiiInnmEn h 加(limEn).“T®n>xn>x6. 设厶，耳,是0,1)中其有卜.述性质的可测集列：Ve>0, MgN使码>1一£,证明:7(U£) = 1/=1证 事实上，0,因

6、为mRwN, mEk >-.即，X1 >加0,1>m(U£.)>nEk >-e7. 证明：对任意可测集卜式成立.m(A U )+ 7(A D B) = mA + mB证由于AUB = (AUB A)U力 H(4UB /4)riA = 0.故"(AUB)- m(A U B - A) + mA .即m(A jB)-mA = m(A A) = m(B 一 A)又因为力=(一4)U(Bri4).H(-4)n(riA) = 0,所以mB = m(B-A)A A).故 m(A JB) mA = mB - m(A A B),从而m(A U B) + ni(A

7、 CB) = mA + mB&设是九，仏是0.1中的两个可测集R满足mA, + mA2 > 1,证明：加(人门人)>0. 证因为 m(A1 U £) + m(A1 D A,) = mAl + mAz,且m(Al U Az) < zn(0,l) = 1 .所以 ni(Al D A2) = mA + mA2 - in(Al JA2)> mAt + mA2 -1 > 09. 设A】,A2, A是0,1中的两个可测集，且巾& +mA2 + 丛3 > 2，证明：】(4 nA “3)>0证 因为，m(41UA>UA)+ ,wKAU4

8、,)04,=7(人U人)+ 7人3习题及参考解答=7(人)+ m(A2)4-m(A3)-/n(j41 A A,)所以，心4门人)+ 7(人11£04)=?( A) + m(A2) + 加(&) 一 加(& U 人 U 人)又因为加内)u(血n a ,)u (九n A)呱(血门人山山人门人)=加(九0人2)+加(A】U A2 A A3) - n(Al AA,) A (A, U A2 DA,) =ni(Al m)+7( a u a j n 九】一加(& da2 riAj所以，加(AD AjD)=k A n a j+?( A u a： n 人)一 ms i nA2)

9、u(A: a a3)u(3 a A) =7(& ) + m(A2) + /n(& ) 一 7( A UA,UA)一?( a aa2)u(a2 aa3)u (人 n A)iW 为，加(& U 4： U 人)5 加0、1 = 1,且7(A riA,)U(A2 AAj)U(A, riAj<7/7O,l = 1所以,/wriA, n43)>7M(A1) + ?n(A!)+An(A3)-l-l=/w( A) + m(A2) + /?/(A,) - 2 > 010. 证明:存在开集G,使mG > mG证 设陰爲是0,1闭区间的一切有理数，对FVneN,令=(

10、一丄 n 2 卄21并且 G = U / 是创中开集.mG < /n/n = =-.而，Gn0J,故m 2"22_ 1mG > /z/0,l = l> = mG11. 设E是测中的不可测集，A是创中的零测集，证明：EflgA不可测.证 若ECeA可测.因为EDAuA,所以m*(EDA)mM = 0.即m * (E fl A) = 0故EQA可测.从而E = (Efl4)U(ECl0A)可测，与E不可测矛质.故不可测.12. 若三是0.1的冬测集，则闭集E足否也是零测集.解：不一定，例如:E是0,1中的有理数的全体.则E = 0,1, 7E = 0,但£ =

11、70.1 = 1.13. 证明：若E是可测集，则Vw>0,存在Gs型集GnE,伫型集FnE,使m(E - F) < £ , m(G - F) <£证(tl P51的定理2,对J：Euir,存在G$型集GnE ,使得mG = mE.由E得可测性,m * E = mE.则，Vf > 0m(G - E) = mG - mE = 0即V>0, m(G-F)<£ .再由定理3,月伫型集F使得F nE 且m(E - F) = mE 一 mF = 0 <s15.证明：右界集E可测当且仅当V>0,存在开集GnE，闭集FnE,使紂 m

12、(G - F) <s.证(U)旳wN,宙已知，存在开集G”nE,闭集FqE使得m(Gn-Fn) <丄.HX1%G = CIG则 G zd E. V/7 g N, /n * (G - E) < m * (Gn - E) <m(Gn - Fn) < gnt0(7? too).所以,m*(G-E) = 0.即G-E 是零测集.从而E = G-(G-E)可测.(二>)设E是有界可测集.因为/£ = uifY | In | JInEt人为开长方体vw.故，X/w>0,存在开长 方体序列人爲，使得U/n EASH«1广毗丈人|5比+彳n=lL另

13、一方面，由E得有界性,存在R"中闭长方体I nE .记S = I-E,则S是ET中 有界可测集.并flmS = ml - mE.由S得有界可测性，存在开集G" z> S有加(G*-S)<-.W为1 a E，故G" D / n S. 因此->/?z(G*n/-S)2= m(G*= m(G* Pl- mE)-mE - (ml -i(G* A /)= mE-m(l -G* Cl)令，F = /-G*n/.则F是一个闭集，并且由G"n/nS = / E,有E n / -G* P)/ =尸.因此加(E-F) =-0 =?E-加(/-G p|/)

14、v# ,从而，存在开集G=)E，闭集FnE.有m(G F) = m(G - E)J(E- F) < m(G - E) +-F) <y + y= £由£的任意性知，/w*(rx0) = 0.即UVx0是零测集.从而，位于or轴上的任意集 £匸展0,因此，E为零测集.16.证明：若Ein c 是单调增加集列(不一定町测)J1C)E,”，则;|=1/n*(U £,)= lim/H*fwH«1ETXX证E=JEm,即，E有界并且u E, u E, uu En u u En=l故in* < tn * E2 < /n* E3 <

15、; -</?/* Efl < 5* E <+oc , B|J ni* Em*=1 单调递增有上界.所以,lim m Ein存在并且lun m * Em <nEm>x川 txF 证：lim m * Em >mE nim->x由于E有界，可作一个开长方体=匸(a厂0J,有Vng N i=iVf >0,因为/n*E =mfV| I u /,>厶为开长方体.故，存在开长方体序列,=1 “】厶使得 Cl 厶=)E, Um * En <m/, = Jl A l<H +>G,r =(U/,)nA,则 G” 为有界开集，HE”uG”uA,

16、nslxm * En < m *Gn h * (U /) </h * En +i-iV/7 e N,又令 £ = CiGr ( = 1,2,).且人=匚力”，则由 E”uAu 知, n=l.i-lE=UE"UUA” = AuAH=1W=1An爲是单调递增的可测序列,由P46的定理4, m * E < mA = tn lim An = limmAn. n>xn>x又由，A” u G”(V/? g N), UmAn <mGn <m* Ea +£.从ifu,lmi mAn < lim m * E+ £28 n n

17、TXn故严EWlim广E” +g由£的任意性,即得/!->«XmAn < liinin*Eft.从而,mAn =?n*(U En) =血】m * En.“T3C加刃 TR17.证明:IT中的Borel集类具有连续势.证 为了叙述方便，我们仅以”为例进行证明：用ab衷示柬上的开区间，用(a,b)农示上的-个点 A衷示劇上的所何开区间的集 合；0表示剩所有闭集；几和$分别表示所有的厂粮集，所勺G$型集.因为 A = a,b | «,/? g R1 - (a,b) a,be< /? c R1 x R1,又因为R1-«,/? |dGrc A.故

18、便= 所以 A = C.5Al题及参考解答又因为AqO存在可数个开区间人,有O =门厶所以7<6.又定义映射*=1% T0任意的fl A eAx,有仪fj /,）=U/, e0.故0是一个满射.所以i-i/-I1=1C= A<Q =(p(Ax)<Ax =C故 A =C.又定义:（fOt） = n , r（Y o,） = U o/ ,则为与r都足满射.所以i=imi=imc<e=（ex）<F=c即，§=c.同理，p7=c.记0时柬上的&心/集的全体.因集合的“差”运算可以化成“交”运算，例如： A-B = ArBc 因此，0中的每个元都是几U9$中

19、可数元的并，交后而成.故 c = U<fl<（pa）x = c 从而，B=C.即，Borel集的全体的势为C.18 证明对任意的闭集F,都可找到完备集FuF ,使得mF严mF19.证明：只耍 mE > 0 ,就-定可以找到 xwE,使对 V5>0, Yj' /n（EriO（x,S）> 0.证 改EuIT, mE >0.0-先将IT划分成吋数边氏为丄的左幵右闭的“维氏方体2£（牛驾 -）mt e Z.则 A = 的口（牛，咛 ）| nr e Z互不相交II至多可数.不 i=i L Lm /妨记为0严&"心，A uN.因 &#

20、163; = U0=U/F，则IE = YmEk（l）>0做 mkfN ,有F>0.又因k" >ii >>i_i_ 10厂础nil（朮，忙）M WZ互不相交且至多可数故町记0厂，其屮1=1 L 上人uN,又由，础=1102=11减故加醐=£> 0,所以,I改 w 4 u N,有 mE严 > 0.这样卜去得一个单调递减的可测集列£ = £；?胡？胡？二,其中：巧N,超=冈心(笋罗)=盯£(牛罗)记帀【口(笋罗小1-1 z z <»1 z 2 1-1 z z 故闭集列©二单调递减且

21、巧N , 0 5(EJ )<*_=(善F tO(Jt+s).由闭集套定理，3x60.1 . 1 .对PV5>0,因,nF.<() 取人N,使() <SM“ a%l 1»|1 IxeFJo =EC U (比,-y) u 0(x, 5)仃 E故 m(E Pl O(x, 5) n mFj。> 0.20.如JCEuIR"可测，a>0,记aE = (a,ai”)|(X,x”)w E.证明：述也 可测，且 maE) = an -mE.证(1)先证：m*(aE) = a11 E因为/n*(zE) = iiifJ|/| |UA o.厶为开长方体，对J开长

22、方体序列/”二，» ®1 ®1 x 1 若U厶二庞，则UIqE, U-A =>£也是开长方体序列，且/?7*£<y|-/.|= 冋ia= aa i«i/»ian mE<mfy I, |Cl厶 naE ,厶为开长方体另一方而0£>0因为/?/*£ = infy| /.|厶为开长方体故存在开XQQ长方体序列A j < 广E +缶.所以L) al：二处故m*(aE) = aI* =an 1* <an m*E+e <=1 /=!由£得任意性,Jnm*(o£)<a" m*E.从ifij,/n*(aE) = an m*E.(2)再证：处可测事实上,VTcR", -TcR",由E得可测性,am(T)=m (lr nr)4- /w*( Irn CE)aaa故，亠 KT)=亠加 * (T n 庞)+ 丄广(T n aCE) aaa内此，/n*r= m *(rn aE) + tn (T D ctCE). aE 可测.因此，半E可测时，ni *aE = a" mE.卜而是外测度的平移不变性定理.定理(平移不变性)KiEuIT,记E + x° = x + Xo|x