-第18讲函数的微分ppt课件

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第四章 一元函数的导数与微分本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 理解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握

2、罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。 第四节 函数的微分第四章 一元函数的导数与微分一. 函数的微分三. 二阶微分微分的运算法则 四. 微分在近似计算中的应用五.微分在误差估计中的应用)(o)(0 xxxfy假设 y = f (x) 在点 x0 处有(有限)导数, 那么xxfy)(0现在反过来想一想：若在 x0 点处 y = f (x) 的增量 y 可以表示为 一个线性函数与一个高级无穷小量之和的形式 )0 ( )o( xxxAy那么, 我们自然要问 A = ?xxAxy )(o xy Ax0lim )(0 xf 就是说, 在点 x0 处若可用关于自变量的增量 x 的线性函数逼近函数

3、的增量 y 时, 其关系式一定是 y = f (x0)x + o(x) 我们称 f (x0)x (或 Ax) 为函数在点 x0 处增量的线性主部, 通常将它记为 dy = f (x0)x ( dy =Ax ). 微分一. 函数的微分将以上的讨论归纳一下, 可得出什么结论 ?1.微分的概念y =Ax + o(x)此时, 称 f (x) 在点 x0 处可微 。设 y = f (x) 在 U(x0) 有定义, 给 x0 以增量x , 且 x0+x U(x0) 。如果函数相应的增量可表示为则称 y 的线性主部为 f (x)在点 x0 处的微分,记为 d y =Ax , 其中, A 叫微分系数 。2.可

4、微与可导的关系定理 ).( , )( )(000 xfAxxfxxf且处可导在点处可微在点y = f (x0)x + o(x)dy = f (x0)x 也就是说 , f (x) 在点 x0 处的可微性与可导性是等价的 , 且 f (x) 在点 x0 处可微 , 那么解解.d , yxy求什么意思？例例1 1自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:该例说明:xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或此外, 当 x 为自变量时, 还可记. )( d , d22等Znxxxxnn ,1)(dxxxxy , 故得由于xy .ddxxy. dd)( , d)(d xyxfxxfy有时当即

5、函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也可称为微商.哈哈！除法, 这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.3. 微分的几何意义Oxyyydxxdxxx)(xfy ddtan xy 几何上, 函数 y = f (x) 在点 x 处的微分表示为: 相应于自变量 x 的改变量 x, 曲线y = f (x) 在点 P(x, y) 的切线上纵坐标的改变量.微分的运算法则 1.微分的基本公式可微 可导 微分的基本公式与导数的基本公式相似 微分公式一目了然, 不必讲了. 一阶微分形式不变性 ( 复合函数微分法则 ) )( )( 可构

6、成复合函数与设xuufy).(xfy而处可微在点若 , )(0 xxu , )( )(00且处可微在相应点xuufy)( , )U( )(0 xfyxxf则内有定义在在点 x0 处可微.按微分的定义但故xxfxxyyd)(ddddxxxfd)()(xxud)(d d)(d)()(duufxxufy)( 为中间变量u 说明什么问题？ 我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为函数的一阶微分形式不变性 .解解xxxxyd3d)(d231 . 0221 . 02d3dxxxxxxy)d(

7、2 . 11 . 0232xx 故xxxyxxd12d3d222 . 2 , 1 . 0 , 2 3处的微分在时以及当处的微分在求xxxxy例例2 2 由一阶微分形式不变性, 再来看复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就会有另一种感觉：)(1dd1dd)( xfxyyxy反函数的导数)()(d)(d)(dd txtyttxttyxy参数方程的导数 , dddddd xuuyxy复合函数的导数例例3 3.dd ,4 2xyyyx求设解解yyxd)42(d )2( 421dd yyxy) 42dd (yyx或例例4 4三. 二阶微分其二阶微分为设函数 y = f (x) 二阶可导, 当 x 为自

8、变量时,)d)(d()d(dd2xxfyy2d)(d)(d(xxfxxf 由此看出, 当 x 为自变量时,22dd)(xyxf d 22xx 除法xxd类似可定义 n 阶微分:nnnnnnxxfxxfyyd)()d)(d()d(dd)(1)1(1nnnxyxfdd)( )(且有 注意这里 x 是自变量 以及一阶微分由高阶导数 dd)( )(nnnxyxf , 分是否也我们自然会想到高阶微形式不变性具有这种不变性？看一下二阶微分的情形：性, 且可构成复合函数 y = f ( (t) , 那么tttxftxfdd)()()()(2 xxfxxf22d)(d)( 设函数 y = f (x), x =

9、 (t) 都具有相应的可微)d)()(d()d(dd2ttxfyy d tt, d)(d , 22ttx 其中2222d)()d)(dttttx 就是说, 二阶微分不具备微分形式不变性.高阶微分不具备微分形式不变性.三. 微分在近似计算中的应用)(o)( xxxfy由函数增量的近似值：, | , 0)( 0很小时当xxfxxfxfxxfy)()()(000函数值的近似值：xxfxfxxf)()()(000)( )()()(000 xxxfxfxf将半径为 R的球加热. 如果球的半径, R估计球的体积的增量.伸长解解3334)(34RRRVRR)34(3RR 24, 343RV那么由所以, 球的

10、体积增量大约为.42RR 例例5 5. 3030sin 的近似值利用微分求, sin)( xxf设. 36063030 又, 360 , 6 0 xx取xxfxfxxf)()()( 000由 , 236cos)( 0 xf而3606cos6sin)3606sin(5076. 0得3602321解解例例6 6四.微分在误差估计中的应用设某个量的精确值为 A, 它的近似值为 a,|aaA为 a 的相对误差. A 为测量 A 的绝对误差限, 简称 A 的绝对误差.|a|A 为测量 A 的相对误差限, 简称 A 的相对误差.则称:| A a | 为 a 的绝对误差;, | AaA若已知则称:设测得圆钢截面的直径 D = 60.03 mm ,丈量 D 的绝对误差限 D0.05 mm ,试估计计算圆钢的截面积时的面积误差解解设测量值为 D , 精确值为, DD那么224)(4DDDADAAddDD 2 4 2DA由于D 的绝对误差限 D0.05 mm, 所以05. 0|DD例例7 7而因而 , A 的绝对误差限约为)(715.42mmA 的相对误差限约为242DDADA