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1、第十六章第十六章 二次根式二次根式16.1 16.1 二次根式二次根式第第1 1课时课时 二次根式的定义二次根式的定义1知识点知识点二次根式的定义二次根式的定义考虑考虑用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:(1)面积为面积为3的正方形的边长为的正方形的边长为_,面积为,面积为S的正的正 方形的边长为方形的边长为_.(2)一个长方形的围栏,长是宽的一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为倍,面积为130 m2,那那么么 它的宽为它的宽为_m. 知知1 1导导知知1 1导导(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间一个物体从高处自由落下
2、,落到地面所用的时间t (单单 位:位:s)与开始落下时离地面的高度与开始落下时离地面的高度h(单位:单位:m)满足关满足关 系系h=5t2.如果用含有如果用含有h的式子表示的式子表示t,那么,那么t为为_. 上面问题的结果分别是上面问题的结果分别是 ,它们表示一,它们表示一些正数的算术些正数的算术 平方根平方根. 我们知道,一个正数有两个平方根;我们知道,一个正数有两个平方根;0的平方根为的平方根为0;在实数范围内,负数没有平方根在实数范围内,负数没有平方根.因而,在实数范围内开因而,在实数范围内开平方时,被开方数只能是正数或平方时,被开方数只能是正数或0. 一般地,我们把形如一般地,我们把
3、形如 (a0)的式子叫做二次根式的式子叫做二次根式(quadratic radical),“ ”称为二次根号称为二次根号.,hS ,3655a定义:形如定义:形如 (a0)的式子叫做二次根式;其中的式子叫做二次根式;其中“ ”称为称为 二次根号,二次根号,a称为被开方数称为被开方数(式式)要点精析:要点精析:(1)二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的,二次根式的定义是从式子的结构形式上界定的, 必须含有二次根号必须含有二次根号“ ”;“ ”的根指数为的根指数为2,即,即 ,“2” 一般省略不写一般省略不写(2)被开方数被开方数a可以是一个数,也可以是一个含有字母的式子,可以是一个数,也可以
4、是一个含有字母的式子, 但前提是但前提是a必须大于或等于必须大于或等于0.(3)在具体问题中,已知二次根式在具体问题中,已知二次根式 ,就意味着给出了,就意味着给出了a0这这 一条件一条件(4)形如形如b (a0)的式子也是二次根式;的式子也是二次根式;b与与 是相乘的关系,是相乘的关系, 当当b为带分数时,要写成假分数的形式为带分数时,要写成假分数的形式知知1 1讲讲a2aaa导引:判断一个式子是不是二次根式,实质是看它是否具导引:判断一个式子是不是二次根式,实质是看它是否具 备二次根式定义的条件,紧扣定义进行识别备二次根式定义的条件,紧扣定义进行识别解:解:(1) 的根指数是的根指数是3,
5、 不是二次根式不是二次根式 (2)不论不论x为何值,都有为何值,都有x210, 是二次根式是二次根式 (3)当当5a0,即,即a0时,时, 是二次根式;是二次根式; 当当a0时,时,5a0,那么,那么 不是二次根式不是二次根式 不一定是二次根式不一定是二次根式 (4) 1(a0)只能称为含有二次根式的式子,不能称为只能称为含有二次根式的式子,不能称为 二次根式二次根式例例1 判断下列各式是否为二次根式,并说明理由判断下列各式是否为二次根式,并说明理由 (1) ;(2) ;(3) ;(4) 1(a0); (5) ;(6) ;(7) ;(8)知知1 1讲讲364x 21- - a5a()x 213
6、(- )a24xx 222x .364364x 21- - a5- - a5- - a5a知知1 1讲讲(5)当当x3时,时, 无意义,无意义, 也无意义;也无意义; 当当x3时,时, 0, 是二次根式是二次根式 不一定是二次根式不一定是二次根式(6)当当a4时,时,a40, 是二次根式;是二次根式; 当当a4时,时,(a4)20, 不是二次根式不是二次根式 不一定是二次根式不一定是二次根式(7)x22x2x22x11(x1)210, 是二次根式是二次根式(8)|x|0, 是二次根式是二次根式()x 213()x 213()x 213()x 213()x 213(- )a24(- )a24(-
7、 )a24xx 222x总总 结结知知1 1讲讲二次根式的识别方法:二次根式的识别方法:判断一个式子是否为二次根式,一定要紧扣二次根式判断一个式子是否为二次根式,一定要紧扣二次根式的定义,看所给的式子是否同时具备二次根式的两个的定义,看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征:特征:(1)含根号且根指数为含根号且根指数为2(通常省略不写通常省略不写);(2)被开方数被开方数(式式)为非负数为非负数1 下列各式中,一定是二次根式的是(下列各式中,一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 2 下列式子不一定是二次根式的是下列式子不一定是二次根式的是() A. B. C. D.3 下列式子:
8、下列式子: 中,一定是二次根式的有中,一定是二次根式的有() A2个个 B3个个 C4个个 D5个个知知1 1练练 5a 231a2 3a 23ab 210()ab 2, x,m , ab ,a 22721100512知识点知识点二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件知知2 2讲讲(1)式子式子 只有在条件只有在条件a0时才叫二次根式即时才叫二次根式即a0是是 为二次根式的前提条件为二次根式的前提条件.式子式子 就不是二次根就不是二次根 式,但式子式,但式子 却又是二次根式却又是二次根式 (a0实际上就是非负数实际上就是非负数a的算术平方根,既可的算术平方根,既可 表示开方运算表示开方运算,
9、也可表示运算的结果也可表示运算的结果.同时同时 (a0) 也是一个非负数,我们把这个性质叫做二次根式的也是一个非负数,我们把这个性质叫做二次根式的 双重非负性双重非负性.aa 2() 22aa总总 结结知知2 2讲讲1二次根式有意义的条件是被开方数二次根式有意义的条件是被开方数(式式)为非负数;反为非负数;反 之也成立,即:之也成立,即: 有意义有意义a0.2二次根式无意义的条件是被开方数二次根式无意义的条件是被开方数(式式)为负数;反之为负数;反之 也成立,即:也成立,即: 无意义无意义a0.aa知知2 2讲讲例例2 当当x是怎样的实数时,是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?在实数范围内有
10、意义?解:由解:由x-20,得,得x2. 当当x2时,时, 在实数范围内有意义在实数范围内有意义.x 2x 2总总 结结知知2 2讲讲 求式子有意义时字母的取值范围的方法:第一步,求式子有意义时字母的取值范围的方法:第一步,明确式子有意义的条件,对于单个的二次根式,只需满明确式子有意义的条件,对于单个的二次根式,只需满足被开方数为非负数;对于含有多个二次根式的,则必足被开方数为非负数;对于含有多个二次根式的,则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,那须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,那么么必须满足底数不能为零;对于含有分式的,则需满足分必须满足底数不能为零;对于含有分式的
11、,则需满足分母不能为零第二步,利用式子中所有有意义的条件,母不能为零第二步,利用式子中所有有意义的条件,建立不等式或不等式组第三步,求出不等式或不等式建立不等式或不等式组第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围组的解集,即为字母的取值范围1 当当a是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有 意义?意义? (1) (2) (3) (4)知知2 2练练;a 1;a 23;a . .a 5知知2 2练练2 (中考中考巴中巴中)要使式子要使式子 有意义,则有意义,则m的取值的取值 范围是范围是() Am1 Bm1 Cm1且且m1 Dm1且且m1mm 11
12、知知2 2练练3 (2019滨州滨州)如果式子如果式子 有意义,那么有意义,那么x的取值的取值 范围在数轴上表示正确的是范围在数轴上表示正确的是() x 26知知3 3讲讲3知识点知识点二次根式的二次根式的“双重非负性双重非负性a0a0, 0 0) 二次根式的二次根式的“双重非负性双重非负性a0, 0)1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手,当理解二次根式的非负性应从算术平方根入手,当a 0时,时, 表示表示a的算术平方根,因而的算术平方根,因而 0 . 所以所以“二次根式包含有两个二次根式包含有两个“非负即:被开非负即:被开 方数非负:方数非负:a0;二次根式的值非负:;二次根式的值非负
13、: 0.2.假设假设 + =0,那么那么 a=0,b=0.由于二次根式由于二次根式 和和 都是都是 非负数,所以它们的值都为非负数,所以它们的值都为0.aaaaaabab例例3 假设假设 ,则,则x-y 的值为的值为 ( ) A1 B1 C7 D7知知3 3讲讲()xyy 2130分析:根据非负数的性质列式求出分析:根据非负数的性质列式求出x、y的值,然后代入的值,然后代入 代数式进行计算即可得解因为代数式进行计算即可得解因为 + (y+ 3)2=0都是非负数,它们的和为都是非负数,它们的和为0,所以,所以(y+3)2= 0, ,所以,所以y+3=0,x+y-1=0, 解得解得y=-3,x=4,所以,所以x-y=7.故选故选CCxy1xy10总总 结结知知3 3讲讲两个非负数的和为两个非负数的和为0时,这两个非负数都为时,这两个非负数都为01 假设假设 =0,求,求a2019+b2019的值的值2 已知实数已
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