完备性定理与海因定理

1、4完备性定理与海因定理。有 lim ynk=Ax_xolim 目"二 A unj=:lim f ( x) =A二 对定义域内任意x n ,x oXn x o, X . Xo,有 lim f(x n) =Alim xn=A w /g>0,3N ,当 m , n>N 时，x m -x n egnClim f ( x) = A ：二-；0,二心0,使对定义域内任意异于x 0的x1, x 2三O ( x0,'.), xo有 f ( xj-f ( x2)< z这些定理的作用：1. 在不知数列或函数极限的条件下，判定极限的存在性；2. 判定极限不存在，例如，欲证 yn

2、不存在，只要找两个收敛子列 y nk , y nk ,使lim ynk =lim y nk,欲证lim f( x)不存在，只要x 0的去心邻域内找两个收敛子列 k )：k k .： kx oxn' - x0, xn - x0 ( n 使 lim f (Xn)= lim f (x.)；3. 揭示了数列极限与函数极限的关系，lim f(x)=Alim f( Xn)=A ,f (X)单调n_c据此，求数列极限也可用罗必达法则，例如，求1丄ylim n( an -1)( a>0),由于 lim x ( ax -1)= lim* 宁(用罗必达法则)=lim* ay In a= ln a,n

3、x)0+ y0 +丄所以 lim( na)-1 =dnan_ ;：:5. 求极限过程中的变量代换一复合函数极限定理与函数的变形。若 lim ®(t) =x0(®(t)式 x), lim f(x)=Anlim f(®(t)« 丄亠乩 lim f (x) = A,t t0X Hot-t 1X 'xo特别有l i mWf 交换定理，若l mt =(Xo) , f (x)在x°连续=> l i mft( )-l i m xf) x0 =(f )梓 t (同时因为 li(m )f )x.)存在toxjoX-T :与 f (x0)无关，若在

4、x0 的去心邻域内 f (g) = g (x) , x x0，贝U lim f (x) = lim g(x),x 00利用这两点对函数变形，可使许多求极限问题化繁为简。6. 单调有界定理和两个重要极限。若单调且上方有界 =lim yn =SnPyJ存>0n在；、zn f单减且下方有界=lim yn = ln f ：yn f存在；f (x)在x0的邻域内单调 nCnf (Xo - 0)与f(Xo -0)存在，判断Xnf的单调性常用三种方法，验证：yn+1-yn-0(-0 )或 宁一 1(1)或乞0严严一 0是否成立。利用两个重要极限lim 严=1 ,yn丿y yn 丄XT0 Xlim (1

5、 V)n二e, (lim (1 ：)x二e),和(4)巧妙地结合，能简捷地求许多极限。 n厂】x- j:(五)应用微分理论求极限1/ n1.用导数定义求极限，若f (x)存在，贝U lim f(x hh_f(X)二lim 5二f (x)hTn_JqC设数列a n,Pn tx( n t°o),则当 f (x)在 x点连续，或a n<x£pn，或 x£otn<0n，-:nk?有界时，lim 丄:士上=f'(x) n 尸 7)(n书aaa帯)ai例 5.lim n (a 0) = lim -t n n n_Q3.用台劳公式和阶的估计法求极限。a a(

6、n 1)a 1n a a1_= (xa)lim f (x)x_x0用 X； x0 时，f( x)=o(1)-表示=0 ;若 f (X)=o (1), g (x) =o(1),用 f(x)=o(g(x)-表示 limf(X)x H0颐=0 ;用 f(x) : g(x)( XT X。)或 f(x) =g(x)+o(g(x)-表示limXXf (x)市=1 °利用无穷小量的运算性质，和根据劳台公式得出下列函数关系式Sin=x_ 看6x3 - o(x3)2233,Cos= o(x ) , tgx= x * x o(x ),xx22x22aa (a _J) 22e 1 x 亍 o(x ). ln(1x)二 x亍 o(x ) , (1 x) 1 ax 勺 x o(x ),以及易证的命题，"若X ； x0时，f ( X)：g ( x)且 lim f (x) h(x) = A ,则XT 0lim g(x)h(x) =A”。能使求函数极限的运算大大简化。特别是当函数是乘积形式时，各因 Xx 0子可用等价无穷小量代替。例 6.1.lim 黑X _X 1=lim 37= 3 ；x_0ln ( x+e X) + 2Sinx2. lim = limX y J+ 2 X-C