实践与探索（2）

1、二次函数解析式的几种表达式二次函数解析式的几种表达式1、一般式：cbxaxy2)0(a2、顶点式：khxay2)-()0(a3、交点式：)(21xxxxay)0(a其中，抛物线与x轴的两个交点坐标为)0,(1x)0 ,(2x（1）你能说出上列的函数的图象对应是下面哪个的函数的）你能说出上列的函数的图象对应是下面哪个的函数的解析式？解析式？ y=ax2+c y=ax2 y=a（x+m）2+k y=a（x+m）2 y=ax2+bx A B C D（2）抛物线顶点在）抛物线顶点在 x 轴上轴上 顶点在顶点在 y 轴上（对称轴是轴上（对称轴是 y 轴）轴）图象经过原点图象经过原点 图象的顶点在原点图象

2、的顶点在原点=0C=0直线直线x=0y=ax2+cy=a（x+m）2y=ax2+bx y=ax2y=a（x+m）2y=ax2+cy=ax2+bx y=ax2用数学的眼睛观察世界用数学的眼睛观察世界 1、如图所示是一学生推铅球时，铅、如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度球行进高度y(m)与水平距离与水平距离x(m)的函数的函数关系式关系式 。问：此学生把铅球推出多远？。问：此学生把铅球推出多远？。35321212xxyoyx分析：此题实际上求抛物线与分析：此题实际上求抛物线与x轴的交点轴的交点此同学把铅球推出了10米02082xx0)2)(10(xx101x22x0y035321212xx(舍

3、去) 2 2、一个涵洞截面成抛物线形，如图、一个涵洞截面成抛物线形，如图26.3.2现测得，现测得，当水面宽当水面宽AB1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为时，涵洞顶点与水面的距离为OC=OC=2.4 m这时，离开水面这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽处，涵洞宽ED是多少？是否会超过是多少？是否会超过1 m？ 图 26.3.2 由图象知，点由图象知，点B(0.8,-2.4)在抛物线上，在抛物线上，2axy解：如图建立平面直角坐标系，解：如图建立平面直角坐标系，设涵洞所成的抛物线的解析式为：设涵洞所成的抛物线的解析式为：（-0.8,-2.4）（0.8,-2.4） 0.82a= 2.4,解得：解得

4、：415a2415yx 抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：当当y=-(2.4-1.5)=-0.9时时,24150.9-x56x,5621x解得：)9 .0,56(),9 .0,56(ED点点DE5 56 62 21 m 0.98（m）答：离开水面答：离开水面1.5 m处，涵洞宽处，涵洞宽ED约是约是0.98m， 不会超过不会超过1 m上题，还可以有其它方式建立平面直角坐标系上题，还可以有其它方式建立平面直角坐标系吗？吗？学生思考学生思考：AyBxO(A)BxOy(B)AyOx这样，我们在设函数关系式时，这样，我们在设函数关系式时，将会随之改变。将会随之改变。ABoyxc 3 3、如图，、如图

5、，一名运动员一名运动员在距离篮下在距离篮下4 4米处跳起投篮米处跳起投篮, ,篮球运行的路线篮球运行的路线是抛物线是抛物线, ,当球运行的水平距离为当球运行的水平距离为2.52.5米时米时, ,达到最高度达到最高度3.53.5米米, ,然后准确落入然后准确落入篮筐篮筐. .已知篮筐中心到地面距离为已知篮筐中心到地面距离为3.053.05米米. .（1 1）求篮球运行路线的抛物线的函数关系式。）求篮球运行路线的抛物线的函数关系式。（2 2）如果他的身高为）如果他的身高为1.91.9米米, ,在这次跳投中在这次跳投中, ,球在头顶上方球在头顶上方0.150.15米处出手米处出手, ,问问求出手时求

6、出手时, ,他跳离地面的高度是多少他跳离地面的高度是多少? ?xy（0，3.5）（1.5，3.05）解：解：（1 1）建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系, ,则则, ,顶点顶点A(0, 3.5)A(0, 3.5)，B B（1.51.5，3.053.05）y=ax3.5设所求的抛物线为：设所求的抛物线为： 抛物线经过点抛物线经过点B（1.5，3.05），）， 3.05=1.52a+3.5a=a=0.20.2抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：y=y=0.2x0.2x3.5 3.5 （2）(-2.5,?)当当x=2.5时时,=2.25y=-0.2(-2.5)2+3.5他跳离地面的高度

7、为：他跳离地面的高度为： 2.25-1.9-0.15=0.2m1 1、如图，拱桥是抛物线形，其函数解析式为、如图，拱桥是抛物线形，其函数解析式为 ，当水位线在，当水位线在ABAB位置时，水面宽位置时，水面宽为为12m12m，这时水面离桥顶的高度，这时水面离桥顶的高度h h是是 ( ) ( ) A.3m B. m C. m D.9mA.3m B. m C. m D.9m 62342x41y D 2、某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)，如图所示，如果抛物线的最高点M离墙l米，离地面 米，则水流落地点B离墙的距离OB是 ( )A2米 B3米

8、C4米 D5米340Bxy（0，10），（3401 你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到 最高处的形状可近似的看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 4米，距地面均为1 1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1 1米、2 2.5 5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1 1.5 5米，请你算一算学生丁的身高。 1m2.5m4m1m甲乙丙丁xyo(0,1)(0,1)(4,1)(4,1)(1,1(1,1.5)5) 3. 3.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子于水面竖一根柱子

9、OAOA，柱高为，柱高为1.25 m水流在各个方向上沿形水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，要求设计成水流在离状相同的抛物线路径落下，要求设计成水流在离OA距离为距离为1 1 m处达到距水面最大高度处达到距水面最大高度2.25m2.25m。如图（。如图（1）所示）所示请回答下列问题：请回答下列问题：(1)(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时才能如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时才能 使喷出的水流都落在水池内？使喷出的水流都落在水池内？(2)若水流喷出的抛物线形状与（若水流喷出的抛物线形状与（1 1）相同，水池半径为）相同，水池半径为 3.5m3.5m，只要使水流

10、不落到池外，此时水流的最大高度约，只要使水流不落到池外，此时水流的最大高度约 为多少米？（精确到为多少米？（精确到0.1m) 0.1m) 12.25（0，1.25）c（1，2.25）12.25（0，1.25）c（1，2.25）A（0，1.25），C（1，2.25）设抛物线的解析式为：25. 2) 1(2xay将A（0，1.25）代入上式得：25. 125. 2a解之得：1a抛物线的解析式为：25. 2) 1(2xy当y=0时，025. 2) 1(2 x25.2)1(2x5.21x5 . 02x（舍去）答：至少2.5m解:(1)以O为原点，OA为y轴建立 平面直角坐标系,则水流最大高度可达3.7

11、m。（0，1.25）(2) 抛物线的形状与（1）相同，(3.5,0) 设抛物线的解析式为：khxy2)(抛物线过A（0，1.25）,B（3.5，0）代入解析式得：25. 12kh0)5 . 3(2kh解之得：7 .36 .1kh抛物线的解析式为：7 . 3)6 . 1(2xy7 . 3最大y用二次函数解析式解决实际问题时，关用二次函数解析式解决实际问题时，关键是要把实际问题中的抛物线放在平面键是要把实际问题中的抛物线放在平面直角坐标系中，解设适当的二次函数解直角坐标系中，解设适当的二次函数解析式来求解。这就是数学中的建模问题。析式来求解。这就是数学中的建模问题。对于我们来说就是要选择合适的直角

12、坐对于我们来说就是要选择合适的直角坐标系建立数学模型。标系建立数学模型。谈谈这节课，你的收获：谈谈这节课，你的收获：27.3.3 27.3.3 实践与探索实践与探索 抛物线上的面积问题抛物线上的面积问题例例1、已、已知二次函数知二次函数 与与x轴交于轴交于A、B两两点（点（A在在B的左边），与的左边），与y轴交于点轴交于点C.(1)求出点求出点A、B、C的坐标的坐标 及及A、B的距离的距离（2）求）求SABC（3）在抛物线上（除点）在抛物线上（除点C外），外）， 是否存在点是否存在点N，使得，使得 SNAB = SABC， 若若存在，求出点存在，求出点N的坐标，的坐标， 若若不不 存在，请说明

13、理由。存在，请说明理由。xABOCy.N1.N2.N3y=x2-2x-3 抛物线上的面积问题抛物线上的面积问题例例1 1、已已知二次函数知二次函数 与与x轴交于轴交于A、B两点（两点（A在在B的左边），与的左边），与y轴交于点轴交于点C.（4 4）若点）若点P P是抛物线的顶点是抛物线的顶点, ,求四边形求四边形ACPBACPB的面积的面积. .（5）设）设M（a，b）（其中）（其中0a0)+bx+c(a0)与与x x轴交于轴交于A A（1 1，0 0）、）、B B（5 5，0 0）两点，与）两点，与y y轴交于点轴交于点M M。抛物线。抛物线的顶点为的顶点为P P，且，且PB=2 PB=2

14、。（1 1）求这条抛物线的解析式与顶点）求这条抛物线的解析式与顶点P P的坐标；的坐标；（2 2）求）求POMPOM（O O为坐标原点）的面积。为坐标原点）的面积。5 7 7、如、如图、等腰直角三角形的腰长和正方形的边长为图、等腰直角三角形的腰长和正方形的边长为4 4，等腰三角形以等腰三角形以2 2米米/ /秒的速度沿直线向正方形移动，直到秒的速度沿直线向正方形移动，直到ABAB与与CDCD重合。设重合。设x x秒时，三角形与正方形重叠部分的面秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为积为y y平方米平方米. .(1)(1)写出写出y y与与x x的函数关系式及自变量的取值范围的函数关系式及自变量的

15、取值范围(2)(2)当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时, ,三角形三角形移动了多长时间移动了多长时间? ?lDCBAElDCBA思考思考:如果继续向前移动如果继续向前移动,则重叠部分面积又会如何变化则重叠部分面积又会如何变化? 8、如图所示，已知抛物线如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与与x轴相交轴相交 于两点于两点A（x1，0） B（x2，0）（）（x1x2）与）与y轴负半轴负半 轴相交于点轴相交于点C，若抛物线顶点，若抛物线顶点P的横坐标是的横坐标是1，A、B 两点间的距离为两点间的距离为4，且，且ABC的面积为的面积为6。（1）求点

16、）求点A和和B的坐标的坐标（2）求此抛物线的解析式）求此抛物线的解析式（3）求四边形）求四边形ACPB的面积的面积xABOCyP（4）设）设M（x，y）（其中）（其中0 x3） 是抛物线上的一个动点，试求是抛物线上的一个动点，试求 四边形四边形OCMB的最大值，的最大值， 及此时点及此时点M的坐标。的坐标。.MNQ课本第课本第27页页习习题27.3第1题练习册第练习册第25-26页页（二）例题（二）例题 如图，二次函数如图，二次函数y=x2 2-4x+3的图象交的图象交x轴于轴于A、B两点，交两点，交y轴于点轴于点C，设抛物线，设抛物线的顶点为的顶点为P（1 1）求）求ABCABC、COBCO

17、B的面积的面积（2 2）求）求四边形四边形CAPBCAPB的面积的面积COABxyP解解： y=x2-4x+3=(x-2)2-1 顶点坐标是顶点坐标是(2，-1) y=x2-4x+3=0时，时， x1=1，x2=3 A (1，0) , B(3，0) 二次函数二次函数y=x2-4x+3与与y轴的交点是轴的交点是C（0，3） AB=3-1 = 2 ，OB=3-0 =3 ABC的高的高=3=3 ， ABP的高的高=-1=1 SABC=232=3 SCOB=332=4.5 SABP=212=1 S四边形四边形CAPB= SABC +S ABP=3+1=4xyCOABP（三）练习题：（三）练习题：1、如

18、图，抛物线的对称轴是直线如图，抛物线的对称轴是直线x=1x=1，它与，它与x x轴交轴交于于A A、B B两点，于两点，于y y轴交于轴交于C C点。点点。点A A、C C的坐标分别是的坐标分别是（-1-1，0 0），（），（0 0，3/23/2）。）。 (1)(1)求此抛物线对应的函数解析式。求此抛物线对应的函数解析式。 (2)(2)若点若点P P是抛物线上位于是抛物线上位于x x轴上方轴上方的一个动点，求的一个动点，求APBAPB面积的最大值。面积的最大值。 2、已知函数已知函数y=xy=x2 2+kx-3+kx-3的图象的顶点坐标为的图象的顶点坐标为C C，并与，并与x x轴相交于两点轴

19、相交于两点A A、B B，且，且AB=4AB=4。(1)(1)求实数求实数k k的值。的值。(2)(2)若若P P为抛物线上的一个动点（除点为抛物线上的一个动点（除点C C外），外），求使求使S SABPABP=S=SABCABC成立的点成立的点P P的坐标。的坐标。xy0ACB(1).(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xcmAB=xcm, ,那么那么ADAD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ymym2 2, ,当当x x取何取何值时值时,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?何时面积最大 如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个

20、直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中，其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .MN40cm30cmABCD(1)(1)设矩形的一边设矩形的一边AB=xcmAB=xcm, ,那么那么ADAD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2)(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ymym2 2, ,当当x x取何值时取何值时,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?何时面积最大 如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .ABCDMN : 1 .,330.4A

21、Dbcmbx 解设易得40cm30cm xxxxxby30433043.22.30020432x.30044,202:2abacyabx最大值时当或用公式xcmbcm(1)(1)如果设矩形的一边如果设矩形的一边AD=xcmAD=xcm, ,那么那么ABAB边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2)(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ymym2 2, ,当当x x取何值时取何值时,y,y的最大值是多少的最大值是多少? ?何时面积最大 如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .ABCDMN40cm30cmbcmxcm .4034,.1:xbbcmAB易得设解 xxxxxby40344034.22.30015342x24:15,300.24bac