数学必修4知识点归纳总结

1、数学必修4知识点归纳总结第一章 三角函数 周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(xT)f(x)。练习:（1）已知函数f(x)对定义域内的任意x满足：存在非零常数T，使得f(xT)f(x)恒成立。求：f(x2T) ，f(x3T)解：f(x2T)f(xT)Tf(xT)f(x)， f(x3T)f(x2T)Tf(x2T)f(x)(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)2005,求f(11)解：f(11)f(65)f(6)f(15)f(1)2005(3)已知函数f(x)是R上的奇函数，且f(1)2，f(x3)f(x)，

2、求f(8)解：f(8)f(22×3)f(2)f(13)f(1)f(1)2 角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向(或顺时针方向)旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。 规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果是零角，那么0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。过去我们研究了0°360°（）范围的角。如果我们将角=的终边OB继续按逆时针

3、方向旋转一周、两周而形成的角分别得到390°，750°的角。 角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角2象限角、坐标轴上的角的概念由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角 300°、60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限，这时称这个角为象限界角或轴线角。例如、等等都是轴线角。3终边相同的角的表示方法如果将终边O

4、B按逆时针方向旋转一圈、两圈，分别得到390°，750°的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°30°十360°，750°30°十2×360°由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为)，都可以表示成一个0°360°的角与k(kZ)个周角的和，即：30°十k·360°(kZ)如果我们记集合S|30°十k·360°， kZ，容易看出：所有与30

5、6;角终边相同的角，连同30°角(k0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S中的任何一个元素显然都与30°角的终边相同。一般的，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任意一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。巩固深化，发展思维例1.判断下列各角是第几象限角. (1)60°； (2)585°； (3)950°12例2在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°360°的角表示）.例3写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360°270°

6、;的元素写出来. 弧度制11弧度的角的定义我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角。弧AB的长等于半径r，则弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad。2弧度制的定义： 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值|，其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制 3角度制与弧度制的换算 现在我们知道：1周角360°r，所以，360°2rad，由此可以得到180°rad，1°001745rad，1rad（）°57.30

7、76;57°18。说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°rad这一关系式 巩固深化，发展思维1 例题剖析： 例1把45°化成弧度。 例2把rad化成度。 例3利用弧度制证明扇形面积公式Slr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。2 课堂练习：3 （1）填表度0°45°60°180°360°弧度说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算 （2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。练习1：1、已知锐角终边上一点（3，4），求角的正弦值。2、已知是角终边上一点，求的值。3、已知角的

8、终边落在直线上，求的值。练习21下列角中终边与330°相同的角是（ ）A.30° B.-30° C.630° D.-630°2下列命题正确的是（ ）A.终边相同角一定相等 B.第一象限的角都是锐角C.锐角都是第一象限的角 D.小于的角都是锐角3如果一扇形的弧长为，半径等于，则扇形所对圆心角为（）ABCD4.若是第四象限角，则180°+一定是（ ）A.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角5一个半径为的扇形，它的周长为，则这个扇形所含弓形的面积为（）AB CD6若角的终边落在第三或第四象限，则的终边落在（ ）A第

9、一或第三象限B第二或第四象限 C第一或第四象限 D第三或第四象限二、填空题7若三角形的三个内角的比等于，则各内角的弧度数分别为 8将时钟拨快了10分钟，则时针转了度，分针转了弧度9若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为_10已知是第二象限角，且则的范围是 . 三、解答题11. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1） （2） （3）12写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界） （1） （2） （3）13单位圆上两个动点，同时从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向旋转弧度秒，点按顺时针方向旋转弧度秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度14如

10、图，圆上一点以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点每分钟转过角（），经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来位置，求的大小15在扇形中，弧的长为，求此扇形内切圆的面积单位圆与正弦函数在初中，我们学习了锐角的正弦函数值：如图，在直角三角形中sin，如图：sinA，由于a是直角边，c是斜边，所sinA(0，1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？在直角坐标系中，（如图所示），设角（0，）的终边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角的正弦值是：sin.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角，都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r1(即为单位圆)，那么sinb，也

11、就是说，若角的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角的正弦函数。 直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义你认为该如何定义任意角的正弦函数?一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角，它的终边与单位圆交于点P（a，b），我们可以唯一确定点P（a，b）的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角的函数，称为正弦函数，记作ysin(R)。通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为ysinx.正弦函数值有时也叫正弦值.终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2k)sin (kZ)，说明对于任意一个角，每增加2的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化

12、而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2k（kZ，k0）为正弦函数的周期。2是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。注意：有些周期函数没有最小正周期。例如(C为常数)是周期函数，其周期TR（T0）没有最小正周期。例1若点P(3，y)是终边上一点，且sin，求y值 例2若角的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y3x (x0)的图像上，则sin 。1.4.2正弦函数ysinx的图像 1、正弦函数线MP正弦函数的一种几何表示如右图所示，MP是带有方向的线段，这样的线段

13、叫有向线段MP是从MP，MP与y轴正向相同为正数，反之为负数。依正弦定义，有sinMPy，我们把MP叫做的正弦线3、五点作图法：由上图我们不难发现，在函数y=sinx，xÎ0,2p的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点： (0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)。描出这五个点后，函数y=sinx，xÎ0,2p的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。巩固深化，发展思维 1例题剖析 例1用“五点法”画出下列函数在区间0，2上

14、的简图。 （1）ysinx （2）y1sinx 解：（1）列表x02ysinx0-10+10y=-sinx 描点得ysinx 的图像：（略，见教材P22）yxo正弦函数诱导公式1、（公式1）sin(360°k+a) = sina2、对于任一0°到360°的角，有四种可能（其中a为不大于90°的非负角）xyoP(x,-y)P(x,y)M （以下设a为任意角）xyoP (x,y)P ，(-x,-y)3、公式2：设a的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180°+a终边与单位圆交于点P(-x,-y)，由正弦线可知： sin(180°+a) =

15、 -sina4公式3：如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：sin(-a) = -sina, 5、公式4：由公式2和公式3可得：sin(180°-a) = sin180°+(-a) = -sin(-a) = sina, 同理可得： sin(180°-a) = sina, 6公式5：sin(360°-a) = -sina巩固深化，发展思维1、例题剖析例1 求下列函数值（1）sin(1650°)； （2）sin(150°15)； (3)sin() 例2化简：正弦函数的性质归纳得出结论：1 定义域：y=sinx的定义域为R2 值域：引导

16、回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|1（有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以ysinx的值域为-1，13最值：1°对于ysinx 当且仅当x2kp ,kÎZ时 ymax1当且仅当时x2kp, kÎZ时 ymin12°当2kpx(2k+1)p (kÎZ)时 ysinx0当(2k-1)px2kp (kÎZ)时 ysinx04周期性：（观察图象） 1°正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2°规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kÎZ重复出现）3°这个规律由诱导公式s

17、in(2kpx)sinx也可以说明结论：ysinx的最小正周期为2p 5.奇偶性 sin(x)sinx (xR) ysinx (xR)是奇函数 6单调性x0sinx10101增区间为2k， 2k（kZ），其值从1增至1；减区间为2k， 2k（kZ），其值从1减至1。例、利用五点法画出函数ysinx1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。练习：1、若，则= 。2、若是方程的根，求的值。3、化简：。4、已知A、B、C是的内角，求证：。5、若点P在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（）ABCD6、若是三角形的内角，且，则等于（）AB或CD或7、下列函数中，最小值为1的是（）ABCD8、将函数的图

18、象向左平移个单位，得到的图象，则等于()ABCD9、下列四个命题中，正确的是()A 第一象限的角必是锐角B锐角必是第一象限的角C终边相同的角必相等D第二象限的角必大于第一象限的角10、用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )ABC D11. 12.函数取最大值时的集合是 13.函数的周期是 ；值域是 14.函数的周期是，则常数= 15.函数的递增区间是 ；递减区间是 16.函数的递增区间是 ；递减区间是 17.函数的递增区间是 18.函数的递增区间是 （注意7，8两题的区别）19.下列函数中，奇函数是 偶函数是 非奇非偶函数是 （1）； （2）； （3）； （4）（5）； （6

19、）； （7） 余弦函数的概念和诱导公式y1余弦函数的定义：在直角坐标系中，设任意角与单位圆交于点P（a，b）, rP(a，b)那么点P的横坐标a叫做角余弦函数，记作：acos(R).通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示MxO为ycosx(xR). 如图，有向线段OM称为角的余弦线。其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则角的正弦和余弦分别为：sin，cos. y2余弦函数的诱导公式从右图不难看出，角和角2，2，（）的终边 x 与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；角和角，的终边与单位圆的交

20、点的横坐标是相反数，所以，它们的余弦函数值互为相反数。xyoPP(x,y)MMM由此归纳出公式： cos(2)cos cos() cos cos(2) cos cos() cos cos() cos 观察右图，角与角的正弦、余弦函数值可以得到： sin()cos cos()siny以上公式统称为诱导公式，其中可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。x2巩固深化，发展思维1、例题剖析4例1已知角的终边经过点P（2，4）(如图)，求角的余弦P函数值。解：x2，y4 ， r|OP|2 cos例2如果将例1中点P的坐标改为（2t，4t）(t0)，那么怎样

21、求角的余弦函数值。解：(提示：在r|OP|2|t|中，分t0和t0两种情况）例3求值：（1）cos （2）cos （3）cos() 例4化简：。余弦函数的图像与性质探究新知1余弦函数ycosx的图像（1）ycosx, xÎR与函数ysin(x) xÎR的图象相同（2）将ysinx的图象向左平移即得ycosx的图象yxo1-1（3）也同样可用五点法作图：ycosx xÎ0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质ycosx xÎ2kp,2(k+1)p kÎZ,k¹

22、;0的图像与 ycosx xÎ0,2p 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2个单位长度）2余弦函数ycosx的性质观察上图可以得到余弦函数ycosx有以下性质：（1）定义域：y=cosx的定义域为R（2）值域： y=cosx的值域为1,1，即有 |cosx|1（有界性） (3)最值：对于ycosx 当且仅当x2kp,kÎZ时 ymax1当且仅当时x2kp, kÎZ时 ymin1当2kp-<x<2kp+ (kÎZ)时 y=cosx>0当2kp+<x<2kp+ (kÎZ)时 y=cosx<0(4)周期性：y

23、cosx的最小正周期为2p (5)奇偶性 cos(x)cosx (xR) ycosx (xR)是偶函数 (6)单调性增区间为（2k1）， 2k（kZ），其值从1增至1；减区间为2k，（2k1）（kZ），其值从1减至1。巩固深化，发展思维例请画出函数ycosx 1的简图，并根据图像讨论函数的性质。练习1、 在下列各区间上，函数单调递减的区间是 ABCD2、（1）函数的单调增区间是_；3、函数图象的一条对称轴是（ ）A轴B轴C直线D直线4、不等式的解集为（ ）ABCD5、已知，下面结论错误的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图像关于对称 D. 函数是奇函数

24、6、 , 当x=_时，；当x=_时， ； 正切函数的定义、图像及性质1、正切函数的定义：在直角坐标系中，如果角满足：R，k(kZ)，那么，角的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan，其中R，k，kZ.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan (R，k，kZ).xyoTA210°30°P由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角的终边与单位圆交于点P，过点A（1

25、 ,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：当角位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。分析可以得知，不论角的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角的正切值与有向线段AT的值相等。因此，我们称有向线段AT为角的正切线。2正切函数的图象（1）首先考虑定义域：（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期： 的周期为（最小正周期）（3）因此我们可选择的区间作出它的图象。0yx根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线xk(kZ)隔开

26、的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。3正切函数ytanx的性质（1）定义域：，（2）值域：R 观察：当从小于，时， 当从大于，时，。（3）周期性：（4）奇偶性：奇函数。（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。例2、解：值域 : R正切函数的诱导公式0yx观察下图，角与角2，2，的正切函数值有何关系？我们可以归纳出以下公式：， tan(2)tan tan()tan tan(2)tan tan()tan tan()tan巩固深化，发展思维 例化简： 2学生课堂练习2、 性质: 定义域； 值域：R； 周期性：； 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。(5) 对称性：对称中心：，无对称

27、轴；(6)单调性：在每一个开区间 内都是增函数。(7)渐近线方程： 练习1、在定义域上的单调性为（ ）.A在整个定义域上为增函数 B在整个定义域上为减函数C在每一个开区间上为增函数 D在每一个开区间上为增函数2、下列各式正确的是（ ）.A B C D大小关系不确定3、若,则（ ）.A B C D4、函数的定义域为（ ）.A 且 B 且 C 且 D 且 5、直线(a为常数)与正切曲线为常数，且相交的两相邻点间的距离为（ ）.A B C D与a值有关6、函数的定义域是（ ）.A BC D8、函数的周期为（ ）.A B C D9、下列函数不等式中正确的是（ ）.A B C D10、在下列函数中，同时

28、满足：在上递增；以为周期；是奇函数的是（ ）.A B C Dysinx和yAsinx的图像， ysinx和 ysin（x）的图像例1、画出函数y=2sinx xÎR；y=sinx xÎR的图象（简图）。 解：由于周期T=2p 不妨在0,2p上作图，列表：x0p2p sinx 0 1 0 -1 0 2sinx 0 2 0 -20 sinx00-0xyOp2p12-2-112-2-12ppy=2sinxy=sinxy=sinx作图：结论：1y=Asinx，xÎR(A>0且A¹1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0&

29、lt;A<1)到原来的A倍得到的。2若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性。 变化的有值域、最值、由上例和练习可以看出：在函数yAsinx（A0）中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅。例2、画出函数y=sin(x+) (xÎR)和y=sin(x-) (xÎR)的图像（简图）。 解：由于周期T=2p 不妨在0,2p上作图，列表：X+0p2p x-sin(x+) 01 0-10y=sinx1p4p3p2p-1pOxy=sin(x-)y=sin(x+)结论：y

30、=sin（x），xÎR(¹0)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移(>0)个单位或向右平移个单位(0得到的。性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期。 变化的有奇偶性、单调区间与单调性由上例和练习可以看出：在函数y=sin（x），xÎR(¹0)中，决定了x0时的函数，通常称为初相，x为相位。1、作函数y=Asin(wx+j) 的图象：（1）用“五点法”作图。（2）利用变换关系作图。2、函数 y = sinx 的图象与函数 y=Asin(wx+j)的图象间的变换关系。3、函数y=Asin(wx+j)中A、w、j的物理意义。4、函数 y=Sin

31、x向左或右平移| j |个单位y=Sin(x+ j ) 的图象横坐标缩短或伸长原来的 y=Sin(w x+ j ) 的图象纵坐标伸长或缩短到原来的A倍y=ASin(wx+ j )的图象。5、函数Y=3sin(3X-/3) 振幅3, 周期2/3,频率3/2,初相-/3练习1、已知函数y=3sin(x+/5)xR的图象为C. (1)为了得到函数y=3sin(x-/5)xR的图象，只需把C上所有的点( ) (A)向左平行移动/5个单位长度 (B)向右平行移动/5个单位长度 (C)向左平行移动2/5个单位长度 (D)向右平行移动2/5个单位长度2、为了得到函数y=3sin(2x+/5)，xR的图象，只

32、需把C上所有的点( ) (A)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1/2倍，纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 (D)纵坐标伸长到原来的1/2倍，横坐标不变3、为了得到函数y=4sin(x+/5)，xR的图象，只需把C上所有的点( ) (A)横坐标伸长到原来的4/3倍，纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的3/4倍，纵坐标不变 (C)纵坐标伸长到原来的4/3倍，横坐标不变 (D)纵坐标伸长到原来的3/4倍，横坐标不变4、 用五点法作出函数的图象并说明这个图象可由余弦函数的图象经过如何变换得到？ 函数yAsin(x)的性质函数的物理意义：函数表示一个振动量

33、时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”T：往复振动一次所需的时间，称为“周期”f：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”；：称为相位；：x = 0时的相位，称为“初相”例1、函数的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3p，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。 解：易知：A = 2 半周期 T = 6p 即 从而： 设： 令x = 0 有又： 所求函数解析式为例2、求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合。（1）ysinx2 (2)ysinx (3)ycos(3x)解：（1）当x2k(kZ)时，sinx取最大值1，此时函数ysinx2取最大值1；当

34、x2k(kZ)时，sinx取最小值1，此时函数ysinx2取最小值3；（2）、（3）略，见教材P59例3、（1）求函数y2sin(x)的递增区间；（2）求函数ycos(4x)的递减区间。同角的两个重要公式 三角函数 全章 知识综合总结2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、

35、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：，8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正Pvx y A O M T 11、三角函数线：，12、同角三角函数的基本关系：；13、三角函数的诱导公式：，口诀：函数名称不变，符号看象限，口诀：正余弦互换，符号看象限14、函数的图象

36、上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象函数的性质：振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：数函质性

37、 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数 全章综合测试一选择题（每小题5分，共计60分）1，则的终边在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2把角化成的形式，其中，正确的是（ ）A B C D3角的终边过，则下列结论正确的是（ ）A B C D4若，则的终边在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5是定义在上的奇函数，且，则（ ）A5 B C0 D6函数的值域为（ ）A B C

38、D7函数的对称轴方程为（ ）A B C D8若的终边关于轴对称，则必有（ ）A BC D9下列关系式中，不正确的是（ ）A B C D10函数为增函数的区间是（ ）ABC D11若，且，则（ ）A B C D12若，则的取值范围是（ ）A B C D 二填空题（每小题5分，共计25分）13与角终边相同的最大负角是 14已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 15若函数的最小正周期为，则正数 16已知的终边经过点，且，则的取值范围是_17关于函数，有下列命题： 由可得必是的整数倍； 的表达式可改写为； 的图象关于点对称； 的图象关于直线对称其中正确的命题的序号是（注：把你认为正确的命题的序

39、号都填上）三解答题 （65分）18（12分）已知，求的值19（13分）已知，且，求和的值20（12分）求函数的最大值21（14分）已知函数 求该函数的递增区间 求该函数的最小值，并给出此时的取值集合22（14分）已知函数， 当有实数解时，求的取值范围； 若，有，求的取值范围第二章 平面向量基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.例下列物理量中，不能称为向量的是 （ ） A质量 B速度 C位移 D力2.向量的表示方法：用有向线段表示-(几何表示法)；用字母、等表示(字母表示法)；平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为

40、基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，。；若，则，3.零向量、单位向量：长度为0的向量叫零向量，记为； 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行.向量、平行，记作.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：是唯一） （其中 ）5.相等向量和垂直向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.垂直向量两向量的夹角为性质： （其中 ）6.向量的加法、减法：求两个向量和的运算，叫做向量的加

41、法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则： （起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）三角形法则加法法则的推广： 即个向量首尾相连成一个封闭图形，则有向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即： -= + (-)；差向量的意义： = , =, 则=- 平面向量的坐标运算：若，则，。向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+)常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）或G是ABC的重心，则7向量的模：1、定义：向量的大小，记为 | 或 |2、模的求法：若 ，则 |若， 则 |3、性质：（1）； （实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（

42、4） （当且仅当共线时取“=”）即当同向时 ，； 即当同反向时 ，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即8实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）>0时与方向相同；<0时与方向相反；=0时=；（3）运算定律 ()=()，(+)=+，(+)=+交换律：;分配律： ()·=(·)=·();不满足结合律：即向量没有除法运算。如：，都是错误的（4）已知两个非零向量，它们的夹角为，则 =坐标运算：，则（5）向量在轴上的投影为：， （为的夹角，为的方向向量）其投影的长为 （为的单位向量）（6）的夹角和的关系： （1）当时

43、，同向；当时，反向 （2）为锐角时，则有； 为钝角时，则有9向量共线定理：向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=10平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. 1，2是被，唯一确定的数量。向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐

44、标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)11. 向量和的数量积：·=| |·|cos，其中0，为和的夹角。|cos称为在的方向上的投影。·的几何意义是：的长度|在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。若 =（，）, =（x2，）, 则运算律：a· b=b·a, (a)· b=a·(b)=（a·b）， （a+b）·c=a·c+b·c。和的夹角公式：cos=|2=x2+y2，或|=| a·b

45、| a |·| b |。12.两个向量平行的充要条件：符号语言：若，则=坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在这里，实数是唯一存在的，当与同向时，>0；当与异向时，<0。|=，的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中的几何意义。13.两个向量垂直的充要条件：符号语言：·=0坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则x1x2+y1y2=平面向量基础练习11）在四边形中，若，则四边形的形状一定是 ( )(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形2）如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）(A) (B) (C) (D) 3）（ ） A、 B、 C、 D、4）已知正方形的边长为1， 则等于 ( ) (A) 0 (B) 3 (C) (D)5）下列各组的两个向量，平行的是A、， B、， C、， D、，6）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2），（5，7），（3，4），则第4个顶点的坐标不可能是(A)（12，5） (B)（-2，9） (C) （3，7） (D) （-4，-1）7）点 ，按向量平移后的对应点的坐标是，则向量是（ ） A、