第八章简单超静定问题ppt课件

1、第八章第八章简单超静定问题简单超静定问题8-1 概述概述8-2 拉压超静定问题拉压超静定问题目目 录录8-3 装配应力和温度应力装配应力和温度应力8-4 扭转超静定问题扭转超静定问题8-5 简单超静定梁简单超静定梁8-1 8-1 概述概述ABCF 12CFN 1FN 3FN 2FCF1NF2NF 未知力数：未知力数：2个个独立方程数：独立方程数：2个个仅靠静力平衡方程就能把结构的约仅靠静力平衡方程就能把结构的约束反力和内力解出的问题称为静定束反力和内力解出的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。问题，相应的结构称为静定结构。12 NNFF、DABCF312 未知力数：未知力数：3个个独立方

2、程数：独立方程数：2个个求不出求不出123 NNNFFF、仅靠静力平衡方程不能求出全部仅靠静力平衡方程不能求出全部约束反力和内力的问题称为超静约束反力和内力的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定定问题，相应的结构称为超静定结构。结构。DABCF312 多余约束多余约束CFN 1FN 3FN 2F多余未知力冗力）多余未知力冗力）超静定次数：未知力数与方程数之差多余约束或多余未超静定次数：未知力数与方程数之差多余约束或多余未 知力的数目）知力的数目）321n DACFBFDABAyFAxF2NF1NF431n DABCF312 超静定解法超静定解法CFN 1FN 3FN 2F平衡方程平衡方程

3、+ 补充方程补充方程建立补充方程的关键：根据变形协调条件建立变形几何建立补充方程的关键：根据变形协调条件建立变形几何方程变形协调方程），再由物理方程胡克定律），方程变形协调方程），再由物理方程胡克定律），最后得到补充方程。最后得到补充方程。为了求出超静定结构的全部未知力，为了求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。等于多余未知力的数目。超静定解法：超静定解法：例例8-1 设杆系结构如图，知：各杆长为：设杆系结构如图，知：各杆长为：l1=l2 =l 、 l3 ；各杆面

4、；各杆面积为积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力。外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。沿铅垂方向，求各杆的轴力。CFABD123FAFN1FN3FN2解： 平衡方程120 sinsin0 xNNFFF1230 coscos0yNNNFFFFF（1）（2）8-2 拉压超静定问题1 1111NFllE A3 3333NFllE A几何方程绘变形图）物理方程胡克定律补充方程：由几何方程和物理方程得。（1）（2）（3联立求解得:13cosll 1 13 31133cosNNFlFlE AE A1233211 2coscosNNFFFE AE ACABD1

5、23A11l2l3l（3）33113312cosNFFE AE ACFABD1231233211 2coscosNNFFFE AE A33113312cosNFFE AE A讨论：讨论：（1在超静定杆系中，各杆的轴力和该杆的拉压刚度与其他在超静定杆系中，各杆的轴力和该杆的拉压刚度与其他杆的拉压刚度的比值有关。杆的拉压刚度的比值有关。（2若若E1 A1，则，则FN1 ；若；若E3 A3，则，则FN3 。即杆系中任一。即杆系中任一杆的拉压刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。杆的拉压刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。（3以上两个特点在超静定杆系存在，静定杆系中是不存在的。以上两个特点在超静

6、定杆系存在，静定杆系中是不存在的。解超静定杆系的步骤解超静定杆系的步骤（1根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程。根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程。（2根据变形协调条件，建立变形几何方程。根据变形协调条件，建立变形几何方程。（3利用胡克定律，将变形几何方程改写成补充方程。利用胡克定律，将变形几何方程改写成补充方程。（4将补充方程与平衡方程联立求解。将补充方程与平衡方程联立求解。ABCFaa2CBBFAFAFC例例 8-2知：知：F， A ，E 。求：求：A、B两端的支座反力。两端的支座反力。解：解： （1列平衡方程列平衡方程（2变形几何方程变形几何方程lllBCAC只有一个平衡方程，

7、一次超静定只有一个平衡方程，一次超静定y0yF 0ABFFF(1)（3物理方程胡克定律）物理方程胡克定律）EAaFlAAC2BBCFalEA（4建立补充方程，解出约束反力建立补充方程，解出约束反力EAaFEAaFBA2BAFF 2(2)由由(1)和和2联立可得：联立可得：2 , 33ABFFFFlABCFaa2BF另解：另解：ABCFaa2设想将设想将B端的约束解除，代之端的约束解除，代之以反力以反力FB，原结构就变成，原结构就变成A端端固定、固定、B端自由、受端自由、受F和和FB共共同作用的静定结构原结构的同作用的静定结构原结构的相当结构）。相当结构）。位移限制条件：位移限制条件：0B 即：

8、即：0BBFF 2FFaEA3BBFFaEA解得：解得：3AFF 23BFF AF 如图所示杆系结构中如图所示杆系结构中AB杆为刚杆为刚性杆，性杆，1、2杆刚度为杆刚度为EA，载荷为，载荷为F，求，求1、2杆的轴力。杆的轴力。例例 8-3解：（解：（1 1静力平衡方程静力平衡方程1223NNFFF（2变形几何方程及物理方程变形几何方程及物理方程 122 llFBACD1NF2NFFAxFAy11NF llEA22NF llEA135NFF265NFF（3补充方程补充方程FBAl12CDaaa1l2lCDB0AM12230NNFaFaFa得得（1）212NNFF（2）（4联立联立1）（）（2求解

9、求解 如图所示杆系结构中如图所示杆系结构中AC杆为刚杆为刚性杆，性杆，1、2、3杆刚度为杆刚度为EA，载荷为，载荷为F，求求1、2、3杆的轴力。杆的轴力。例例 8-4解：（解：（1 1静力平衡方程静力平衡方程（2变形几何方程及物理方程变形几何方程及物理方程 （4联立求解联立求解0 yF FBAl12Caaa/23DFBAC1NF2NF3NFD0 DM1322lll 11NF llEA22NF llEA33NF llEA1322NNNFFF（3补充方程补充方程23NFF112NFF3712NFF1l2l3lABC1230NNNFFFF12330222NNNaaFaFF另解：把力另解：把力F移动到

10、移动到B得到一个力和力偶得到一个力和力偶FBAl12Caaa/23DFBAC1NF2NF3NF20NF 120NFam1314NNFFFFBAl12Caaa/23D2Fam 在力在力F作用下，结构对称，荷载也对作用下，结构对称，荷载也对称，即内力和位移都是对称的。称，即内力和位移都是对称的。12313NNNFFFF由此可以直接得出三杆轴力由此可以直接得出三杆轴力 在力在力m作用下，结构对称，荷载反对作用下，结构对称，荷载反对称，即内力和位移都是反对称的。称，即内力和位移都是反对称的。1l3lmBAC1NF2NF3NF由叠加法得由叠加法得213NFF11113412NFFFF31173412NF

11、FFF例例8-5 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为和木材的许用应力分别为1=160MPa和和2=12MPa，弹性，弹性模量分别为模量分别为E1=200GPa 和和 E2 =10GPa；求许用载荷；求许用载荷F。FF4FN1FN20 yF 12ll 121122NNFFE AE A变形几何方程及物理方程补充方程：解：平衡方程:角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm21111NFllE A2222NFllE A(1)(2)12 40NNFFF 联立求解得:120.07 ; F0.72NNFFF 111 705.4

12、kNNFFA由得求结构的许用载荷 222 1042kNNFFA由得 705.4kNFFF4FN1FN2FBACD1NF2NFFAxFAyFBAl12CDaaa1l2lCD1DB 如图所示杆系结构中如图所示杆系结构中AB杆为刚杆为刚性杆，性杆，1、2杆刚度为杆刚度为EA，载荷为，载荷为F，求，求1、2杆的轴力。杆的轴力。练习练习解：（解：（1 1静力平衡方程静力平衡方程122sin3NNFFF（2变形协调方程变形协调方程 122DDCCl （3物理方程物理方程11NF llEA22sinNF llEA13314sinNFF2233sin14sinNFF联立上面的方程可以求得联立上面的方程可以求得

13、2sinlDD 212sinll 如图所示杆系结构中如图所示杆系结构中AB杆为刚杆为刚性杆，写出结构的变形协调方程。性杆，写出结构的变形协调方程。练习练习FBAl112CDaaal21l2lCD1D分分 析析2DDCC1sinlDD 2sinlCC122sinsinll8.38.3装配应力和温度应力装配应力和温度应力CAB12装配后仅是几何形状略有变化，两杆内装配后仅是几何形状略有变化，两杆内均不会因装配而产生内力和应力。均不会因装配而产生内力和应力。杆的实际长度尺寸和设计尺寸间可能杆的实际长度尺寸和设计尺寸间可能存在误差。如图所示的静定杆系中，存在误差。如图所示的静定杆系中，AC杆的长度比设

14、计尺寸短了杆的长度比设计尺寸短了。Ale但在超静定杆系中，由于多余约束的存但在超静定杆系中，由于多余约束的存在，长度尺寸上的误差使得装配发生困在，长度尺寸上的误差使得装配发生困难，装配后将使杆内产生内力和应力。难，装配后将使杆内产生内力和应力。设压力为设压力为FN，那，那么么NeeFlEA NF lEAeNEAFl则压应力为则压应力为NeFEAl这种由于装配而引起的应力，称为这种由于装配而引起的应力，称为装配应力。装配应力。 （初应力）（初应力）*AAFN1FN3FN20 xF 0 yF （1）（2）30/1000el 123elA12sinsin0NNFF312 coscos0NNNFFFA

15、123el3lA1l13cosell 11cosNF llEA 33NF llEA132cosNNeF lF lEAEA （3）2123cos12coseNNEAFFl(压力压力)3332cos12coseNEAFl(拉力拉力)21265.2NaFMPA(压应力压应力)33113.0NaFMPA(拉应力拉应力)2, ,bdE112ddd122/dddk 装配时将轮箍加热膨胀后套于轮心上，冷却后二者相互紧压。轮心的刚度远大于轮箍，在假设轮心为一刚体的情况下，求装配后轮箍和轮心间的装配压力p和轮箍径截面上的正应力。轮心轮心1d轮箍轮箍2d1d热套冷却后热套冷却后2dp1dpp2dNFNFy轮箍轮箍

16、2d1d热套冷却后热套冷却后d0yF 20sin202NdpbdF 212NFpbd圆周伸长：12ldd （1）（2）微段伸长NF dsdsEA2/2NFddEb圆周总伸长220/2NFdldEb 2NFdEb（3）令2）=（3）2NEbFd222Epd2NFAd在超静定杆系中，由于多余约束的存在，各杆因温度改变而引起的纵向变形要受到相互制约，在杆内就要产生应力，这种应力称为温度应力或热应力。lABt ABt tl平衡方程：平衡方程：0ABFFABFlBFAF变形几何方程：变形几何方程：0tFll 物理方程线膨胀定律和胡克定律）：物理方程线膨胀定律和胡克定律）：tlltl l（为线膨胀系数）N

17、FF llEA求得：求得：NlFtEA温度应力：温度应力：NlFtEA（压应力）（压应力），ltAFN1FN3FN2 A1l2l3l120 sinsin0 xNNFFF3120 coscos0yNNNFFFF（1）（2）13cosll 11coscosNlF llltEA 123Al33NlF lltlEA 2213cossinNNlFFtEA（3）AFN1FN3FN2 A1l2l3l123Al2123sin12coslNNtEAFF(压力压力)2332sincos12coslNtEAF(压应力压应力)(拉力拉力)212NFA23sin12cosltE33NFA232sincos12coslt

18、E(拉应力拉应力)612.5 10/lC40tC ABC1l2l解：若解除杆下端的刚性支座，则温度上升后杆的伸长变形为lt。当lt 时，下端支座的约束反力FR将使杆产生缩短变形lF。根据变形协调条件得到变形几何方程为tlFlRFtFll 其中：其中：12tllt ll 1212RRFF lF llEAEA21212211241RF ll dE dl d12lt ll21212211241RF ll dE dl d （补充方程）（补充方程）FBAl12CDaaae12CBDCDBAe2l1lBDACF1NF2NF解：本题是求装配和荷载共同作用时1、2杆的轴力，这类问题宜采用综合法求解较简便。平衡

19、方程：0AM12230NNFaFaFa（1）变形几何方程及物理方程：12CBDCDBAe2l1l212ell 11NF llEA 22NF llEA补充方程：212NNeEAFFl（2）联立求解：13455NeEAFFl26255NeEAFFl本题也可用叠加法求解，即分别单独考虑装配时的求解和单独本题也可用叠加法求解，即分别单独考虑装配时的求解和单独考虑外荷载的求解，然后叠加。考虑外荷载的求解，然后叠加。例例8-11 两端固定的圆截面等直两端固定的圆截面等直杆杆AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩Me作用，试求作用，试求:A、B两端的支座两端的支座反力偶。反力偶。0(1)ABeMMM静力

20、平衡方程静力平衡方程0ABACCB变形协调条件变形协调条件0(2)ABppM aM bGIGI即：即：eM解：解：由由(1)、(2)得：得：AeBebaMMMMabab8.4 8.4 扭转超静定问题扭转超静定问题abABCeMAMBMABC例例8-11 两端固定的圆截面等直两端固定的圆截面等直杆杆AB，在截面，在截面C受外力偶矩受外力偶矩Me作用，试求作用，试求:A、B两端的支座两端的支座反力偶。反力偶。0(1)ABeMMM静力平衡方程静力平衡方程()0(2)eBppM aMa bGIGI即：即：另解：另解：由由(1)、(2)得：得：AeBebaMMMMabab8.4 8.4 扭转超静定问题扭

21、转超静定问题BMeMABC设想将设想将B端的约束解除，代之以端的约束解除，代之以反力偶反力偶 ，原结构就变成，原结构就变成A端固端固定、定、B端自由、受端自由、受 和和 共同共同作用的静定结构原结构的相当作用的静定结构原结构的相当结构）。结构）。BMBMeM位移限制条件：位移限制条件：0B例8-12 如图所示组合圆杆，是由材料不同的实心圆杆和空心圆杆牢固地套在一起而组成，左端固定，右端固结于刚性板上，在右端受外力偶矩Me作用。实心圆杆的直径为d，切变模量为G1；空心圆杆的内外径分别为d及D，切变模量为G2。试求两杆横截面上的扭矩。BAeM刚性板eMeM1T2T解： 平衡方程12eTTM由于两杆

22、牢固地套在一起，所以其单位长度扭转角相同，即121111pTG I2222pTG I而补充方程121212ppTTG IG I求解：1121112peppG ITMG IG I2122212peppG ITMG IG I8.5 8.5 简单超静定梁简单超静定梁例8-13 绘图示超静定梁的剪力和弯矩图。已知EI为常量。qlBA解：(1)解除B端约束，得到基本结构；再加上已知的荷载和相应的约束反力FB，得到相当结构。BA基本结构(2) 位移协调方程：0Bw 0Bw BA相当结构BFq(3) 补充方程并求解,0BBB qB Fwww34083BF lqlEIEI38BqlF (4) 返回相当结构，绘剪力、弯矩图0yF AFAM 58Aq