第六讲：一阶隐式微分方程ppt课件

1、 若能从若能从(1)解出解出 y 的一阶导数，那么会得到一的一阶导数，那么会得到一个或几个显式方程，用前面的办法求解。个或几个显式方程，用前面的办法求解。 前面讨论的方程都是可解出一阶导数的前面讨论的方程都是可解出一阶导数的微分方程，即显式方程（微分方程，即显式方程（ ）/( , )yf x y一阶隐式微分方程是指一阶隐式微分方程是指/( , ,)0(1)F x y y第六讲第六讲 一阶隐式方程的解法一阶隐式方程的解法2(3) 30.yxy yxy例例1: 试求解微分方程：试求解微分方程： 本节主要介绍三种类型隐式微分方程本节主要介绍三种类型隐式微分方程的求解方法。的求解方法。 （1不含不含

2、y （或（或 x的方程的方程 （2可解出可解出 x 的方程的方程 （3可解出可解出 y 的方程的方程 若不能从若不能从(1)解出解出 y 的一阶导数，或者即使能解的一阶导数，或者即使能解出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。出，但很难求解，则需要借助于其它办法进行讨论。 1、若方程、若方程1不含不含y，即，即 /( ,)0.F x y/( )( )xttyt,( 为)为参数参数若原方程可表示形式( )( ).ytt dtC/从从而而/( ),( )( )( ),dxt dtdyt dxtt dt那么( )( )( )xttytt dtC/参.( 为参)数数故得原方程形式的解222) (

3、1)0yxx求方程求方程( (的通解.的通解.例例1 1/cos ,cot ,xtyt 设解： 代入原方程sin( ),cos( )sin.,dxt dtdyt dtytC从那么而 cos( )sin( )xttyt dtC参数.( 为参数)故得原方程形式的解/cos( )cot.( )xtyt 为参数原方程可表示形式22()1.xyC参数积上式消去得通 分3330.xyxy求方程的通解例例2 2： 若方程若方程1不含不含 x，即，即 则完全类似求解。则完全类似求解。/( ,)0,F y y22(1-)(2) .yyy求解方程例例3 3： 2、若可从方程、若可从方程1解出解出 x，即，即 /(

4、 ,).(4)xf y y 解法：解法： /( , ).xf y pypyp引入参数, 于是（4）等价于引入参数, 于是（4）等价于/( , )1( , )( , ).ypdpfy pfy pxf ydypyp对关于 求导，得对关于 求导，得 这个方程可化为显式形式，用前面类这个方程可化为显式形式，用前面类似的方法能求出似的方法能求出1的解。的解。 /(ln)1yxy求求方方程程的的通通解解. .例例4 4/1ln.1ln.xyydypxpdxpx由原方程解出 得：即有解解 令, 令, .1dppdyp得得整理2111,dpdppdyp dypy 两两端端关关于于 求求导导得得1lnlnxpp

5、pyppC.( 为参数)参数则则原方程有形式的通解ln,yppC变用分离量法求解上式得 3、若可从方程、若可从方程1解出解出 y，即，即 /( ,).(2)yf x y 解法：解法： /( , ).yf x pypyp引入参数, 于是（2）等价于引入参数, 于是（2）等价于/( , )( , ).( ,xpyf x pxdppfx pfx pdx对对关关于于 求求导导，得得( ,),( , ( ,).pp x Cyf xdpdxp x C从上式解出,若能求得解从上式解出,若能求得解则（2）有通解则（2）有通解这/ 里p = p(x,C)只能代入y = f(x,p),不能代入y= p.53-(

6、) -( ) 50.yyyy解方程例例5 5：( , ,)0,( , )( , ,)0Gp x Cyf x pGpdxxpdCp， 若只能从关于的方程求得通积分若只能从关于的方程求得通积分则可通过联立方程则可通过联立方程再消去 ，得到原方程的通积分。再消去 ，得到原方程的通积分。( ,),( ,)( ( ,), )xp Cxp Cyfdp Cppdx参数.(p为参数) 若只能从关于的方程求得解若只能从关于的方程求得解则则原方程有形式的通解求方程的通解.求方程的通解.222()2xyxyy例例6 6解令,原方程写为解令,原方程写为2/22( ) .2ypxyxpp(12)0,dppxdx（）化简

7、得化简得1.2dppxdx 或者222,dpdpppxxpdxdxx两端关于 求导得两端关于 求导得222( )21-.2xyxpppxyx 将将代入方程得到特解得到特解222211,22112 ()()2221.4dppxCdxxyxxCxCxC xC 为 由方程知于是原方程的通解()()yxyy此方程称为克莱洛方程求求方方程程的的通通解解. .例例7 7/( ).yxpypp（3）解解令令, ,原原方方程程写写为为( )0,dppxdx/（）化化简简得得/( )( )0,( ),pdpdpppxpdxdxppx 若二次可微且(3)两端若二次可微且(3)两端关于 求导得关于 求导得0,().

8、dppCdxyC xC由得到从而有通解/( )0,( )( )( ( ).0( ),pxppp xyxp xp x由于则存在隐函数代入（3）即得到特解 /( )0( )0.( )xpxpyxpp取与（3）联立有()yxyy关莱们于克洛方程，我有().yxCC莱换数为/ （ 1） 克洛方程的通解由原方程的y成 任意常得到，即/( )0.( )xppyxpp莱为参数（ 为参数）（2）克洛方程的特解形式/( )0 xp时这个参数称为积线两关导 此，形式的特解又方程的p分曲。而可直接由（3）端于p求得到。21yxyy解求求方方程程. .例例8 821( )yxyy解求求方方程程. .考虑：考虑：习题选讲习题选讲2ln() .yxyxxyEx1Ex1：2ln(1 ).yyEx2Ex2：222cotyyyxyEx3Ex3：33(1)yxyEx4Ex4：32 10.yyy Ex5Ex5：22()( ) .xyxyy yEx6Ex6：小 结/( , ,)0F x y y （1可解出可解出 y 的方程的方程 （2可解出可解出 x 的方程的方程 （3不含不含 x （或（或 y的方程的方程 * 借助于一些变量代换借助于一些变量代换 ，可将，可将隐式形式的方程化为显式方程。隐式形式的方程化为显式方程。/yp * 借助于一些变量代换，将隐式形式的借助