MINITAB统计基础

1、MINITAB统计基础1. 正态总体的抽样分布1) 样本均值 X 的分布标准正态分布及T分布样本标准差计算公式：u T分布的定义：Student t distribution，如果X服从标准正态分布，S2服从个自由度的卡方分布，且它们相互独立，那么随机量所服从的分布称为 个自由度的t分布。其分布密度函数为：当 时的极限分布即是标准正态分布，当 =1 时就是Cauchy分布。T分布只包含1个参数。数学期望和方差分别为0，-2（1时期望不存在，2方差不存在）。我们常常用 t 表示 个自由度的t分布。MINITAB对于更一般的t分布还增加了一个“非中心参数”，当非中心参数为0时，就得到了我们现在所说

2、的t分布。在用MINITAB计算时，只要注意这一点就行了。自由度：可以简单理解为在研究问题中，可以自由独立取值的数据或变量的个数。范例：² ZN(0，1)，求Z=1.98时的概率密度。计算->概率分布->正态分布->概率密度->输入常数1.98->确定概率密度函数 正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1 x f( x )1.98 0.0561831² ZN0，1，求PZ<2.4。计算->概率分布->正态分布->累积概率->输入常数2.4->确定累积分布函数 正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1 x P(

3、 X <= x )2.4 0.991802² ZN(0，1)，求使得P(Z<x)=0.95成立的x值，即Z的0.95分位数。计算->概率分布->正态分布->逆累积概率->输入常数0.95->确定逆累积分布函数 正态分布，均值 = 0 和标准差 = 1P( X <= x ) x 0.95 1.64485² 自由度=12，求使得PZ<x=0.95成立的x值。计算->概率分布->t分布->逆累积概率->输入自由度12->输入常数0.95->确定逆累积分布函数 学生 t 分布，12 自由度P(

4、 X <= x ) x 0.95 1.7822² 自由度=12，求使得Pt3。计算->概率分布->t分布->累积概率->输入自由度12->输入常数3->确定累积分布函数 学生 t 分布，12 自由度x P( X <= x )3 0.9944672) 双样本均值差的分布3) 正态样本正态样本方差S2的分布卡房卡方分布若X1，X2，,Xn是从正态总体N，2中抽出的一组样本量为n的独立随机样本，记则当 已知时：当未知时，用 X 替 后可以得到其概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。u 卡方分布的定义：把n个相互独立的标准正态随机变量的平方和称为

5、自由度为n的卡方分布。它的密度表达式为：参数 1 称为自由度。卡方分布有向右的偏斜，特别在较小自由度情况下（ 越小，分布越偏斜）。我们常用 2 表达自由度为 的卡方分布。卡方分布有很多用途，其中一项就是用来分析单个正态总体样本方差的状况；还可以用来进行分布的拟合优度检验，即检验资料是否符合某种特定分布；对于离散数据构成的列联表，也可以用来分析两个离散型因子间是否独立等。u 卡方分布的性质a) 卡方分布的加法性：设X和Y彼此独立，且都服从卡方分布，其自由度分别为n1，n2。若令Z=X+Y，则Z服从自由度为n1+n2的卡方分布。b) 若 X2n ，则 EX=n ，VX=2n 。计算下列各卡方分布的

6、相关数值：² 自由度=10，求使得 P2<x=0.95 成立的 x 值。计算 -> 概率分布 -> 卡方分布 -> 逆累积概率 -> 自由度=10 -> 常数=0.95 -> 确定逆累积分布函数 卡方分布，10 自由度P( X <= x ) x 0.95 18.307² 自由度=10，求 P228 。计算 -> 概率分布 -> 卡方分布 -> 累积概率 -> 自由度=10 -> 常数=28 -> 确定累积分布函数 卡方分布，10 自由度 x P( X <= x )28 0.998195

7、4) 两个独立的正态样本方差之比的分布F分布两个独立的正态样本方差之比的分布是F分布。设有两个独立的正态总体 N(1，2) 和 N(2，2) ，它们的方差相等。又设X1，X2，Xn是来自N(1，2)的一个样本Y1，Y2，Yn是来自N(2，2) 的一个样本，这两样相互独立。它们的样本方差之比是自由度为n-1和m-1的F分布：n-1称为分子自由度；m-1为分母自由度；F分布的概率密度函数在正半轴上呈正偏态分布。实际上，F统计量就是由两个卡方随机变量相除所构成的，如果 21 ，Y22 ，且二者相互独立，则称二者比值的分布为F分布，即其密度函数是：F分布的应用非常广泛，尤其是在判断两正态总体方差是否相

8、等以及方差分析（ANOVA）等问题上面。² 计算F0.95（8，,18）的数值。计算 -> 概率分布 -> F分布 -> 逆累积概率 -> 分子自由度=8 -> 分母自由度=18 ->常数=0.95 ->确定逆累积分布函数 F 分布，8 分子自由度和 18 分母自由度P( X <= x ) x 0.95 2.510162. 参数的点估计1) 点估计的概念用单个数值对于总体参数给出估计的方法称为点估计。设是总体的一个未知参数，X1，X2，Xn是从总体中抽取的样本量为n的一个随机样本，那么用来估计未知参数的统计量 （X1，X2，Xn）称为的

9、估计量，或称为的点估计。我们总是在参数上方画一个帽子“”表示该参数的估计量。在工程中经常出现的点估计问题之最好结果是：Ø 对于总体均值 ， =X ；Ø 对于总体方差 2 ， 2 =S2 ；Ø 对于比率p ， p =Xn ，X是样本量为n的随机样本中我们感兴趣的那类出现的次数；Ø 对于 1 - 2 ，1 - 2 = X1-X2（两个独立随机样本均值之差）；Ø 对于p1 - p2，估计为 P1 -P2（两个独立随机样本比率之差）；2) 点估计的评选标准3. 参数的区间估计设是总体的一个待估参数，从总体中获得样本量为n 的样本是X

10、1，X2，Xn，对给定的显著性水平（01），有统计量：L= L（X1，X2，Xn）与U= U（X1，X2，Xn），若对于任意有P（LU）= 1 - ，则称随机区间L，U是的置信水平为1-的置信区间，L与U分别称为置信下限和置信上限。置信区间的大小表达了区间估计的精确性，置信水平表达了区间估计的可靠性， 1 - 是区间估计的可靠程度，而 表达了区间估计的不可靠程度。在进行区间估计时，必须同时考虑置信水平与置信区间两个方面。对于置信区间的选取，一定要注意，决不能认为置信水平越大的置信区间就越好。实际上，置信水平定的越大，则置信区间相应也一定越宽，当置信水平太大时，则置信区间会宽得没有实际意义了。这

11、两者要结合在一起考虑，才更为实际。通常我们取置信水平为0.95，极个别情况下可取0.99或0.90，一般不取其他的置信水平。1) 单正态总体均值的置信区间当 X N(，2)时，正态总体均值的置信区间有以下三种情况：a) 当总体方差 2 已知时，正态总体均值 的 1 置信区间为：式中，Z1-2是标准正态分布的 1-2 分位数，也就是双侧 分位数。例如=0.05时，Z0.975=1.96。在MINITAB中，我们通过：统计 -> 基本统计量 -> 单样本Z 来实现的。由于实际情况中，已知标准差的情况很少见，因此我们这里重点关注的是标准差位置时的情况。b) 当总体方差 2 未知时， 用样

12、本标准差S代替，此时正态总体均值 的 1 置信区间为：式中，t1-2n-1 表示自由度为n 1的 t 分布的 1-2 分位数，也就是t分布的双侧 分位数。例如=0.05时，样本量n = 16时，t0.97515=2.131，其值略大于Z0.975=1.96。在MINITAB中，我们通过：统计 -> 基本统计量 -> 单样本t 来实现的。² 某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据：17421827168117421676168017921735168718521861177817471678175417991697166418041707

13、假设运输费用是服从正态分布的，求运输费用均值的95%置信区间。统计 -> 基本统计量 -> 单样本t -> 样本所在列 = 运输费用 -> 选项 -> 置信水平 = 95 -> 确定。单样本 T: 运输费用 均值标变量 N 均值 标准差 准误 95% 置信区间运输费用 20 1745.2 61.9 13.8 (1716.2, 1774.2)c) 前两种情况讨论的是当总体为正态分布时， 的区间估计，然而当总体不是正态分布时，如果样本量n 超过30，则可根据中心极限定理知道：X 仍近似服从正态分布，因而仍可用正态分布总提示的均值 的区间估计方法，而且可以直接用样

14、本标准差代替总体标准差，即采用公式：在MINITAB中，通常直接采用：统计 -> 基本统计量 -> 图形化汇总 中得到总体均值的置信区间结果。只不过要注意的是：总体非正态时，在小样本情况下此结果并不可信，只有当样本量超过30后，由于中心极限定理的保证，此结果才是可信的。2) 单正态总体方差和标准差的置信区间当 X N(，2)时，正态总体方差的置信区间是：式中，1-22n-1和22n-1分别是 1-2 分位数与 2 分位数。当 X N(，2)时，正态总体标准差的置信区间是：² 某集团公司正推进节省运输费用活动，下表为20个月使用的运输费用调查结果数据/p>

15、117421676168017921735168718521861177817471678175417991697166418041707假设运输费用是服从正态分布的，求运输费用方差和标准差的95%置信区间。统计 -> 基本统计量 -> 单方差 -> 样本所在列 = 运输费用 -> 选项 -> 置信水平 = 95 -> 确定。单方差检验和置信区间: 运输费用 方法卡方方法仅适用于正态分布。Bonett 方法适用于任何连续分布。统计量变量 N 标准差 方差运输费用 20 61.9 383095% 置信区间 标准差置信 方差置信区变量 方法 区间 间运输费用 卡

16、方 (47.1, 90.4) (2215, 8170) Bonett (49.0, 86.6) (2401, 7507)求总体标准差置信区间另一种方法：统计->基本统计量->图形化汇总->变量：运输费用->置信水平：95 ->确定3) 单总体比率的置信区间当 X b(1，p)时，也就是X取“非0则1”的0-1分布，我们常需要估计总体中感觉的那类比率的置信区间，比如，一批产品中，不合格品率的大致范围；顾客满意度调查中，有抱怨顾客的比率范围等。这里我们记总体比率为p，样本比率为 p 。可以证明，当样本量足够大时（要求np>5及np（1-p）>5），且p值适

17、中（0.1<p<0.9），则可用正态分布去近似二项分布，因而近似有： p N(p，p1-pn)。因此，由 p 服从的正态分布构造总体比率p的置信区间为：² 一电视台为了调查新节目收视率，在节目放映时间内进行了电话调查。在接受调查的2000名被调查者中有1230名正在收看本节目。求此节目收视率的95%置信区间。统计->基本统计量->单比率->汇总数据：事件数=1230，实验数=2000->选项->置信水平：95 ；勾选使用正态分布的检验和区间->确定由于np>5及np（1-p）>5，可用于正态分布近似二项分布，故可以勾选使用基

18、于正态分布的检验和区间。单比率检验和置信区间 样本 X N 样本 p 95% 置信区间1 1230 2000 0.615000 (0.593674, 0.636326)使用正态近似。4) 双总体均值差的置信区间设有两个总体X N(1，12)，Y N(2，22)，从总体X中抽取的样本X1，X2，Xn，样本均值为 X ，样本方差为 SX2 ，样本标准差为 SX ，从总体Y中抽取的样本Y1，Y2，Yn，样本均值为 Y ，样本方差为 SY2 ，样本标准差为 SY 。对两总体均值差异 1-2 的区间估计常有以下三种情况：a) 两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差 12，22 都已知时，两总体均值差异

19、 1 - 2 的1- 置信水平下的置信区间为：只要样本量足够大，无论两总体的方差是否相等，上式都成立。b) 两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差 12=22 均未知时，两总体均值差异 1 - 2 的1- 置信水平下的置信区间为：式中，² 一家冶金公司需要减少其排放到废水中的生物氧需求量含量。用于废水处理的活化泥供应商建议，用纯氧取代空气吹入活化泥以改善生物氧需求量含量（此数值越小越好）。从两种处理的废水中分别抽取10个和9个样品，数据如下：空气184194158218186218165172191179氧气163185178183171140155179175已知生物氧需求量含量

20、服从正态分布，试确定：该公司采用空气和采用纯氧减少生物氧需求量含量均值之差的95%置信区间。求两总体1 - 2 的置信区间：统计->基本统计量->双样本t->样本在不同列中：第一=空气，第二=氧气->勾选假定等方差->选项：置信水平=95，备择=不等于->确定。双样本 T 检验和置信区间: 空气, 氧气 空气 与 氧气 的双样本 T 均值标 N 均值 标准差 准误空气 10 186.5 20.0 6.3氧气 9 169.9 14.7 4.9差值 = mu (空气) - mu (氧气)差值估计值: 16.61差值的 95% 置信区间: (-0.58, 33.8

21、0)差值 = 0 (与 ) 的 T 检验: T 值 = 2.04 P 值 = 0.057 自由度 = 17两者都使用合并标准差 = 17.7356c) 当两个总体均服从正态分布，且两个总体的方差 1222 均未知时，两总体均值差异 1 - 2 的1- 置信水平下的置信区间为：式中，自由度的计算公式为：² 假定A，B两名工人生产相同规格的轴棒，关键尺寸是轴棒的直径。由于A使用的是老式车床，B使用的是新式车床，二者精度可能有差异。经检验，他们的直径数据确实来自两个方差不等的正态分布。现他们各测定13根轴棒直径，数据如下：12345678910111213A14.7614.2114.021

22、5.0810.6512.1816.6718.2012.2411.2116.6713.4516.85B12.3710.2813.1813.2613.8010.9610.5712.8311.6713.5412.4213.2412.52试确定A，B生产的轴棒直径差异的95%置信区间。求两总体1 - 2的置信区间：统计->基本统计量->双样本t->样本在不同列中：第一=空气，第二=氧气->选项：置信水平=95，备择=不等于->确定。双样本 T 检验和置信区间: A工人, B工人 A工人 与 B工人 的双样本 T 均值标 N 均值 标准差 准误A工人 13 14.32 2.

23、35 0.65B工人 13 12.36 1.15 0.32差值 = mu (A工人) - mu (B工人)差值估计值: 1.965差值的 95% 置信区间: (0.435, 3.496)差值 = 0 (与 ) 的 T 检验: T 值 = 2.71 P 值 = 0.015 自由度 = 17² 独立随机样本取自均值1， 2 未知，标准差未知的两个正态分布总体，若第一个总体样本标准差S1=0.73,样本量n=25，X=6.9，第二个总体样本标准差S2=0.89,样本量n=20，Y=6.7。求1- 2的95%置信区间。统计->基本统计量->双样本t->汇总数据：第一（样本数量=25