2016高中自主招生数学模拟试题及答案

1、2014年黄冈中学自主招生数学试题一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为，则这四个实数的积是 2.若实数满足，则的值是 ABCDE3.如图，三角形的面积为，点、分别在边、上，且，则三角形面积的最大值是 4.若关于的方程有四个实数解，则化简的结果是 ACBDFE5.若非零的实数满足等式，则的值是 6.如图，在直角三角形中，是斜边上一动点，垂足分别是，当的长最小时， 7.多项式被除的余式是 8.已和是互不等的实数，三个方程; ;中，有公共根，有公共根，有公共根，则 9.我们有一个结论：对于任何一个正整数，若是偶数，将其减半；若是奇数，将其乘以加，不断

2、重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数，按上述规则变换后，可得一列数：.如果正整数按上述变换后的第个数是（是第个数，可多次出现），则的所有可能值的个数是 10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是 234563579114710131659131721611162126二、解答题（本大题5小题，共70分）yxPABOl11.（本题满分12分）已知点，函数的图象是直线，点在上，满足是钝角，试求的取值范围.12.（本题满分12分）已知关于的函数的图象与轴有交点.（1）求的取值范围；（2）若函数图象与轴有两个不同的交点，且.试求的值，并根据图象指出当时，函数的最大值和最小

3、值.AEBCDF13.（本题满分12分）如图，点是三角形外接圆上一点，的延长线交过点的切线于点.若，求的长.14.（本题满分16分）如图，点在以为直径的上，过点、作圆的切线交于点，点是的中点，求证：.CABPQO15.（本题满分18分）编号为的张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加，乙手中卡片编号的平均数也增加，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 试题及解答一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.四个实数中，每三个数的和分别为，则这四个实数的积是 解：这四个实数的和为，所以这四个数分别是，即，其积

4、是.2.若实数满足，则的值是 解：去分母得，移项得.设，则方程变为，或（舍去）.ABCDE由得，所以.3.如图，三角形的面积为，点、分别在边、上，且，则三角形面积的最大值是 解：，三角形面积的最大值是.4.若关于的方程有四个实数解，则化简的结果是解：显然.若，则方程可变为，方程最多两解，不合题意，所以.方程可化为.当时，方程可化为，有两解，不合题意.当时，,有三解，不合题意.当时，方程有四解，符合题意.故.从而.5.若非零的实数满足等式，则的值是 解：若，则，于是；若，则，于是；若且，则由得；由得，矛盾.故且.于是，可令，所以ACBDFE.6.如图，在直角三角形中，是斜边上一动点，垂足分别是，

5、当的长最小时， 解：连结，则，所以的长最小时即为的长最小，此时,于是，所以.7.多项式被除的余式是 解：，所以余式是.8.已和是互不等的实数，三个方程; ;中，有公共根，有公共根，有公共根，则 解：由，得，.同理，.又互不相等，如，则的公共根，于是，从而，代入有，三式相加得，矛盾.由上述结论可知，的两根为；的两根为；的两根为.由根与系数关系，有，故.9.我们有一个结论：对于任何一个正整数，若是偶数，将其减半；若是奇数，将其乘以加，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数，按上述规则变换后，可得一列数：.如果正整数按上述变换后的第个数是（是第个数，可多次出现），则的所有可能值的个

6、数是 12416812324641081128212031625解：反推的所有可能值的个数是.10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是 234563579114710131659131721611162126解：观察知，表中第行第列的数是.由得，是的正约数，所以有8对，从而在表中出现的次数是.二、解答题（本大题5小题，共70分）11.（本题满分12分）已知点，函数的图象是直线，点在上，满足是钝角，试求的取值范围.解：以为直径作圆，交于点,则点在线段上（不含端点）.4分yxPABOCDl 设点，则6分把（1）代入（2），整理得，8分.故的取值范围是.12分12.（本题满分12分）

7、已知关于的函数的图象与轴有交点.（1）求的取值范围；（2）若函数图象与轴有两个不同的交点，且.试求的值，并根据图象指出当时，函数的最大值和最小值.解：（1）当时，函数为，图象与轴有交点.2分当时，图象与轴有交点的条件是解得.分综上，的取值范围是.4分（2）.5分由得，可化为8分解得，或.10分但时，函数图象与轴仅有一个交点，舍去.时，函数为，画图可知当时，最大值为，最小值为.12分AEBCDF13.（本题满分12分）如图，点是三角形外接圆上一点，的延长线交过点的切线于点.若，求的长.解：是圆的切线，.设，则，解得.3分是圆的切线,.,5分又，四边形是平行四边形,7分.又由得，即，解得.12分14.（本题满分16分）如图，点在以为直径的上，过点、作圆的切线交于点，点是的中点，求证：.CABPQO证明：连接，则点在上.2分,.4分设交于，则.6分,，8分10分又，12分，.16分15.（本题满分18分）编号为的张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加，乙手中卡片编号的平均数也增加，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 解：.2分设乙原来手中有卡片张，平均数为，则原来甲手中有张卡片，平均数为