圆中典型计算题(一)

1、圆中典型计算题 例1. 如图所示，OC为圆O的半径，M是OC的中点，弦ABOC于M，如果OC=4，求AB的长。    分析：由于这是弦与半径互相垂直的计算问题，可联想到垂径定理的运用。连半径可以出现直角三角形，运用勾股定理即可求得弦AB的长。    解法1：（利用垂径定理和勾股定理）    连接OA，OCAB于M，M为OC的中点，且OC=4        在RtAOM中

2、0;   由勾股定理，得        解法2：（利用垂径定理和锐角三角函数）    连接OA，OCAB于M，M为OC的中点，且OC=4        在RtAOM中，    A=30°    AM=OA·cos30°=   &#

3、160;   说明：在圆中解决弦的问题时，常用到垂径定理、勾股定理或锐角三角函数等知识，经常添加的辅助线是连接半径或过圆心作已知弦的垂线，构造以半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，然后运用垂径定理、勾股定理或锐角三角函数来求解。   例2. 如图所示，在圆O中，弦AB=1.8cm，圆周角ACB=30°，求圆O的直径。    分析：此题要求直径，但图中没有直径，因此可先作出直径，构造直角三角形，并利用圆周角定理的推论，将特殊角转移到直角三角形中，然后运用勾股定理或锐角三角函数等

4、求出直径的长。    解法1：如图所示，作直径AD，连接BD    ABD=90°    ACB=30°    而D与ACB所对的是同一条弧    D=ACB=30°    在RtABD中，ABD=90°，D=30°，AB=1.8cm    AD=2AB=3.6cm&#

5、160;   即圆O的直径为3.6cm    或由，得    解法2：如图所示，连接OA、OB    AOB和ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角    AOB=2ACB=60°    又OA=OB    AOB是等边三角形    OA=OB=AB=1.8cm 

6、60;  圆O的直径为3.6cm    说明：要求直径可先求半径，或作出直径，构造直角三角形，运用勾股定理等求出直径的长。   例3. 如图所示，ABC内接于圆O，AE为圆O的直径，AD为ABC的高，求证：BAE=CAD。    分析：这两个角既可以看做是同一个圆的两个圆周角，又可以看做是两个三角形的对应角，因此，可以添加不同的辅助线，利用圆中角的关系及三角形中角的关系来证明它们相等。    证法1：连接BE，如图（

7、1）所示    AE是圆O的直径，ABE=ADC=90°E=C，BAE=CAD图（1）    证法2：连接EC，如图（2）所示    AE是圆O的直径，ACE=ADB=90°    E=B，BAD=EAC    BADEAD=EACEAD即BAE=CAD图（2）    证法3：如图（3）所示，过点O作ONAB，交AB于M，交圆O于N            ，ADC=AMO=90°    BAE=CAD图（3）    说明：（1）如果已知条件中有关于圆直径的条件，可连接圆上有关的点，以构成直径所对的圆周角，