实验一数值定积分求面积

1、实验一：数值定积分求面积200820401015 代云雅一问题叙述用数值积分法求由y=-x2+115,y=0,x=0与x=10围成的图形面积，并讨论步长和积分方法对精度的影响。二问题分析用矩形法和梯形法分别求数值积分并作比较，步长的变化用循环语句实现。设x向量的长度为n，即将积分区间分为n-1段，各段长度为（i=1,2n-1）。算出各点的（i=1,2n+1），则矩形法数值积分公式为梯形法的公式为比较两个公式，它们之间的差别只是0.5（）。三实验程序及注释clf,for dx=2,1,0.5,0.1 %设不同步长x=0:.1:10;y=-x.*x+115; %取较密的函数样本plot(x,y),

2、hold on %画出被积曲线，并保持x1=0:dx:10;y1=-x1.*x1+115; %求取样点上的y1n=length(x1);s=sum(y1(1:n-1)*dx; %用欧拉法求积分，末尾要去掉一点q=trapz(y1)*dx; %用梯形法求积分stairs(x1,y1),plot(x1,y1) %画出欧拉法及梯形法的积分区域dx,s,q,pause(10),hold off %显示步长及两种积分方法所得的面积rsums('115-x.2',0,10) %矩形法积分end四实验数据结果及分析ans =2 910 810ans =1 865 815ans =0.5000

3、 841.2500 816.2500ans =0.1000 821.6500 816.6500 步长dx矩形法解s梯形法解q29108101865815.5841.25816.25.1821.65816.65图1矩形法和梯形法的积分面积图2 矩形法积分的几何演示五实验结论 用解析法求得的精确解为2450/3=816.6666。dx=2时矩形法和梯形法的积分面积如图1。在曲线的切线斜率为负的情况下，矩形法的积分结果一定偏大，梯形法是由各采样点的连线包围的面积，在曲线曲率为负（上凸）时，其积分结果一定偏小，因此精确解在这两者之间。矩阵法积分的演示结果如图2。由此结果也能看出，步长相同时，梯形法的精

4、度比矩形法高。实验二：傅里叶级数200820401015 代云雅一问题叙述编写计算以x=-,为周期的任意函数的傅里叶系数的程序。二问题分析任何周期为2的满足狄利克雷条件的函数f(x)，都可以用欧冠傅里叶级数表示为（-）其中：三实验程序及注释x=linspace(-pi,pi,1001);dx=2*pi/1000; %-pi,pi内长为1001的x数组及步长f=input('输入f=（长度为1001点的数组）'); %用户输入长为1001的f数组n=input('傅里叶系数的阶数n='); %用户给出所需要的阶数a0=trapz(f)/pi*dx %计算傅里叶系数

5、a0for k=1:n a(k)=trapz(f.*cos(k*x)/pi*dx; %计算傅里叶系数a（k） b(k)=trapz(f.*sin(k*x)/pi*dx; %计算傅里叶系数b（k） disp(k,a(k),b(k) %显示系数endpause,f1=a0/2*ones(size(x); %以a0为基础，构造傅里叶级数for k=1:n f1=f1+a(k)*cos(k*x)+b(k)*sin(k*x); %累加各项傅里叶级数endsubplot(1,2,1),plot(x,f),subplot(1,2,2),plot(x,f1) %在两个分图上画出四实验数据结果及分析 在输入f=

6、 x(1:501),zeros(1,500), 阶数n=9后，结果如下：a0 = -1.5708 1.0000 0.6366 1.0000 2.0000 -0.0000 -0.5000 3.0000 0.0707 0.3333 4.0000 -0.0000 -0.2500 5.0000 0.0255 0.2000 6.0000 0.0000 -0.1666 7.0000 0.0130 0.1428 8.0000 0.0000 -0.12509.0000 0.0079 0.1111f= x(1:501),zeros(1,500)ka(k)b(k)0-1.570810.63661.00002-0.0000-0.500030.07070.33334-0.0000-0.250050.02550.200060.0000-0.166670.01300.142880.0000-0.125090.00790.1111表1 函数所对应的傅里叶系数图1 信号的傅里叶变换前