数值分析上机实践

1、1、分别用牛顿法，及牛顿-Steffensen法 (1) 求ln(x+sinx)=0的根。初值x0分别取0.1, 1,1.5, 2, 4进行计算。(2) 求sinx=0的根。初值x0分别取1，1.4，1.6, 1.8，3进行计算。分析其中遇到的现象与问题。（1）、newton法(1)、对应M文件为newton1如下：function x=newton1(x0) x=x0-(x0+sin(x0)*log(x0+sin(x0)/(1+cos(x0);while (x-x0>0)|(x-x0<0) x0=x; x=x0-(x0+sin(x0)*log(x0+sin(x0)/(1+cos(

2、x0);end>> newton1(0.1)ans = 0.5110>> newton1(1)ans = 0.51101.5、2.4作为初值不适合，计算结果出现复数。 (2)对应M文件为newton2如下：function x=newton2(x0) x=x0-sin(x0)/cos(x0);while (x-x0>0)|(x-x0<0) x0=x; x=x0-sin(x0)/cos(x0);end>> newton2(1)ans = 0>> newton2(1.4)ans = 3.1416>> newton2(1.6)a

3、ns = 31.4159>> newton2(1.8)ans = 6.2832>> newton2(3)ans = 3.1416>> newton2(3.3)ans = 3.1416>> newton2(3.9)ans = 3.1416 初始值取值不同，有可能造成迭代公式发散。计算不出正确值，或是计算得出错误的值。（2）、newton-steffensen加速法(1)、对应的M文件为NS111如下：function x=NS111(x0)y0=x0-(x0+sin(x0)*log(x0+sin(x0)/(1+cos(x0);z0=y0-(y0+s

4、in(y0)*log(y0+sin(y0)/(1+cos(y0);x=x0-(y0-x0)*(y0-z0)/(z0-2*y0+x0);while (abs(x-x0)>0.00001) x0=x;y0=x0-(x0+sin(x0)*log(x0+sin(x0)/(1+cos(x0);z0=y0-(y0+sin(y0)*log(y0+sin(y0)/(1+cos(y0); x=x0-(y0-x0)*(y0-z0)/(z0-2*y0+x0);endx=x0 >> NS111(0.1)x = -10.7295 - 3.1908ians = -10.7295 - 3.1908i>

5、;> NS111(1)x = 0.5140ans = 0.5140>> NS111(1.5)x = 0.5140 - 0.0000ians = 0.5140 - 0.0000i>> NS111(2.4)x = 2.9105e+002 -4.0048e-001ians = 2.9105e+002 -4.0048e-001i （2）、对应M文件为NS2如下：function x=NS2(x0)y0=x0-sin(x0)/cos(x0);z0=y0-sin(y0)/cos(y0);x=x0-(y0-x0)*(y0-z0)/(z0-2*y0+x0);while (abs(

6、x-x0)>0.00001) x0=x;y0=x0-sin(x0)/cos(x0);z0=y0-sin(y0)/cos(y0); x=x0-(y0-x0)*(y0-z0)/(z0-2*y0+x0);end x=x0 >> NS2(1)x = 0.0311ans = 0.0311>> NS2(1.4)x = -0.0311ans = -0.0311>> NS2(1.6)x = 3.1727ans = 3.1727>> NS2(1.8)x = 9.3937ans = 9.3937>> NS2(3)x = 3.1105ans = 3.

7、1105>> NS2(3.3)x = 3.1727ans = 3.1727两种算法算出的X值有略微的差别，说明两者的计算精度不同.2 松弛因子对SOR法收敛速度的影响。用SOR法求解方程组Ax=b,其中要求程序中不存系数矩阵A,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, .,1.9进行迭代，记录近似解x(k)达到|x(k)-x(k-1)|<10-6时所用的迭代次数k，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w<=0或w>=2会有什么影响？解：本题的主要目的为分析松弛因子对收敛速度的影响,在编写程序是需要输出迭代次数,程序能够接受不同的松弛因子w,而且可以算出方程的解.

8、 本题方程组很特殊,无论是几阶,其解都是1. 而且无论是几阶,都可以将SOR迭代公式写成下式 : (1in)xik=xik-1-w4-3+4xik-1-xi+1k-1 i=1 xik=xik-1-w4-2-xi-1k+4xik-1-xi+1k-1 2in-1xik=xik-1-w4-3+4xik-1-xi-1k i=n 使用上式不难编出程序,本程序可以输入方程阶数和w值,可以求出迭代次数和解向量,程序的初始值设置为0向量,程序中设置迭代终止条件|x(k+1)-x(k)|1<10-6 ,本程序只适于上式,不具普遍性.由于本题方程组很特殊,所以程序既没有存系数矩阵,也没有用向量存系

9、数.源代码见附录A .表8 迭代次数计算汇总 方程阶数 W567891.1991011121.212121314141.314151616171.414151616171.525252525251.632323334341.745454747461.871737375741.9151151151153155从上面的结果可以看出,对于本方程组,随着w的增大,大大地降低了迭代速度,方程阶数的提高也有增大迭代次数的趋势.下面分析w<=0 的情况.还是取5到9阶的方程,w分别取为-0.1 -0.5 -1.0 -2.0 四个值,结果均不收敛.下面分析w>=2 的情况. 还是取5到9阶的方程,

10、w分别取为2.0 2.1 2.5 3 四个值,结果均不收敛.从书上的理论可知,SOR迭代法收敛的一个必要条件是0<w<2 ,程序验算的结果证明了这个理论.总结与分析1. SOR迭代法的关键还是写出收敛的迭代格式,C+程序只负责迭代计算.2. 从本题来看w取为1.1时迭代速度最快,取为1.9时收敛速度最慢.3. SOR方法是求解大型稀疏矩阵方程组的有效方法之一,如果遇到系数矩阵是稀疏矩阵,那么应该想到这种方法.4. 对本题这种三对角方程组,追赶法更加适宜. SOR迭代法程序（C+）#include<iostream>#include<cmath>#includ

11、e<iomanip>#include<vector>using namespace std;double norm1(const vector<double>& v1,const vector<double>& v2)int i;double ans=0.0;for(i=0;i<=v1.size()-1;i+)ans+=fabs(v1i-v2i);return ans;int main()int i,n,js=0;double w;cin>>n;cin>>w;vector<double> x1(n),x2(n);fill(x1.begin(),x1.end(),0.0);fill(x2.begin(),x2.end(),0.0);while(1)x20+=(-(w/4)*(-3-x21+4*x20);for(i=1;i<=x2.size()-2;i+)x2i+=(-(w/4)*(-2-x2i-1+4*x2i-x2i+1);x2x2.size()-1+=(-(w/4)*(-3+4*x2x2.size()-1-x2x2.size()-2);js+;if(norm1(x1,x2)<1e-6) break;else x1=x2;cout<