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文档简介

1、平面向量公式设 a= (x, y), b=(x', y')。1、向量的加法向量的加法满足 平行四边形法则 和三角形法则。AB+BC=AC 。a+b=(x+x' , y+y')。a+O=O+a=a 。向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a ;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b, b=-a, a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量,

2、记作入a,且I入=al入I ?al。当入貝)时,入a与a同方向;当入0时,入a与a反方向;当入=(时,入a=0,方向任意。当a=0时,对于任意实数 入,都有入a=0。注:按定义知,如果入a=0,那么入=0或a=0。实数入叫做向量a的系数,乘数向量 入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当I入I1时,表示向量a的有向线段在原方向(入0)或反方向(入 0) 上伸长为原来 的I入I倍;当I入I1时,表示向量a的有向线段在原方向(入0)或反方向(入 0) 上缩短为原来 的I入I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律:(入 a)?b=入(a?b)=(a? 入 b)。向量对于数的 分配律(

3、第一分配律):(入+)a=入a+卩a.数对于向量的分配律(第二分配律):入(a+b)=入a+入b.数乘向量的消去律:如果实数 入工0且入a=入b, 那a=b。 如果a0且入a=卩a,那么入=3。3、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b> 并规定 Ow a,bWn定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cosa,b;若 a、b 共线,则 a?b=+- I a II b I。向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。向量的数量积的

4、运算律a?b=b?a (交换律);(入a)?b=入(a?b)(关于数乘法的结合律(a+b)?c=a?c+b?c (分配律)向量的数量积的性质a?a=|a|的平方。a 丄 b = > a?b=0。|a?b| w |a|?|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、 向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c 丰a?(b?c);例如:(a?b)A2 丰aA2?bA22、 向量的数量积不满足消去律,即:由a?b=a?c (a 丰0),推不出c。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、 由 |a|=|b|,推不出 a=b 或 a=-b。4、向量的向量积定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)

5、是一个向量,记作 ax b。若a、b不共线, 则axb的模是:I ax b I =|a|?|b|?sin a, b> axb的方向是:垂直于 a和b,且a、b和 axb按这个次序构成右手系。若 a、b共线,则ax b=0。向量的向量积性质:I ax b I是以a和b为边的平行四边形面积。a x a=0。a II b < = > a x b=0。向量的向量积运算律ax b=-bx a;(入 a) x b=入(a x b) =a x ;(入 b)(a+b) x c=a x c+b x c.注:向量没有除法,"向量 AB/向量CD'是没有意义的。向量的三角形不等式

6、1、I I a I -I bI IwI a+b IwI a I + I b I;当且仅当a、b反向时,左边取等号;当且仅当a、b同向时,右边取等号。2、I I a I -I bI I w I a-b I w I a I + I b I 。当且仅当a、b同向时,左边取等号;当且仅当a、b反向时,右边取等号。定比分点定比分点公式 (向量pip=入?向1PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是I上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 入,使向 量P1P=入?向量P2,入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若 P1 (x1,y1), P2(x2,y2), P(x,y),则有0P=(0P1+入0P

7、2)(1+入(定比分点向量公式)x=(x1+ 入 x2)/(1+入),y=(y1+入y2)/(1+ (定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若0C=入0A + 0B ,且入+卩=1 ,人则B、C三点共线三角形重心 判断式在厶ABC中,若 GA +GB +GC=0,贝U G ABC的重心编辑本段向量共线的重要条件若b丰0,则a/b的重要条件是存在唯一实数入,使a=入b。a/b的重要条件是 xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。编辑本段向量垂直的充要条件a丄b的充要条件是 a?b=0。a丄b的充要条件是 xx'+yy'

8、=0。零向量0垂直于任何向量.平面向量易错点湖南 周友良周芬在平面向量的复习中, 首先要掌握其基本概念与运算. 如果不能正确理解向量的基础知 识,或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识, 就会造成一些表面看起来正确而实际上错 误的判断,使解题思路走入误区,现例举如下,望同学们引起注意.一、对两向量夹角的定义理解不清而致错uuu uuur umr mu urn uuu例1 在边长为1的正三角形 ABC中,求ABgBC BCgCA CAgAB的值.uum uuu 错解:ABgBCuuu uuu uuu uuuBCgCA CAgABuuuuuiuABBCcos60011132 2 2 2 '

9、分析:两向量夹角的定义的前提是其起点要重合.umr uuuBC CA cos60ouuuuuuuuiuCAABuuiu uuucos60ouuu uuu向量AB与BC , BC与CA , CA与iunAB的夹角通过平移后发现都不是60°,而是120°.这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的.uuu uuur uuu uuu uuu uuu 正解:ABgBC BCgCA CAgABuuu ulutAB BC cos120)uuLii uurBC CA cos12(fuuu uuuCA AB cos12(f11132 2 2 2 注意:向量a与b的夹角为锐角的充要条件是 ag

10、)> 且a与b不共线.这里,a与b不 共线不能忽略.二、对向量的数量积理解不透彻而致错例2向量a、b都是非零向量,且向量 a + 3b与7a b垂直,a 4b与7a b垂 直,求a与b的夹角.错解:由题意,得(a + 3b)g7ab) 0,(ab)g7ab) 0,将、展开并相减,得46agb二b2,1 b ,故 a = b,2将代入,得a2 b2,设a与b夹角为,则cosagoagb|b2b2/ 0o < < 180o,二60o.分析:上面解法表面上是正确的,但却存在着一个理解上的错误,即由得到,错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上.由于向量的数量积不满足消去律,所以

11、即使b,也不能随便约去.正解:设向量a、b的夹角为,由上面解法有 2ag)= b2,代入式、式均可得a2 b2,贝U a b ,agb 1cos-j-j| .adb 2又 0o < <0 ,60o.三、混淆点的坐标与向量的坐标而致错例 3 判断 ABC 的形状:A(1, 2) , B( 3,5) , C( 5,2).错解:/ 1 ( 3) ( 2) 5130,1 ( 5) ( 2) 29 0 , ( 3) ( 5) 5 2 25 0, ABC为钝角三角形.分析: 把点的坐标误认为向量的坐标,得出错误的结论 事实上, 由点的坐标可以确定有关向量的坐标,再通过计算向量的数量积,精确判断出三角形的形状uuuruuur正解: CA(6, 4

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