平面向量公式及易错点

1、平面向量公式设 a= (x, y), b=(x', y')。1、向量的加法向量的加法满足 平行四边形法则 和三角形法则。AB+BC=AC 。a+b=（x+x' ， y+y'）。a+O=O+a=a 。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a ；结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b， b=-a， a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=（x,y） b=（x',y'）则 a-b=（x-x',y-y'）.4、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，

2、记作入a，且I入=al入I ?al。当入貝）时，入a与a同方向；当入0时，入a与a反方向；当入=（时，入a=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数 入，都有入a=0。注：按定义知，如果入a=0，那么入=0或a=0。实数入叫做向量a的系数，乘数向量 入a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当I入I1时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或反方向（入 0） 上伸长为原来 的I入I倍；当I入I1时，表示向量a的有向线段在原方向（入0）或反方向（入 0） 上缩短为原来 的I入I倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（入 a）?b=入（a?b）=（a? 入 b）。向量对于数的 分配律（

3、第一分配律）：（入+）a=入a+卩a.数对于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.数乘向量的消去律：如果实数 入工0且入a=入b, 那a=b。 如果a0且入a=卩a，那么入=3。3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b> 并规定 Ow a,bWn定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cosa,b；若 a、b 共线，则 a?b=+- I a II b I。向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。向量的数量积的

4、运算律a?b=b?a （交换律）；（入a）?b=入（a?b）（关于数乘法的结合律（a+b）?c=a?c+b?c （分配律）向量的数量积的性质a?a=|a|的平方。a 丄 b = > a?b=0。|a?b| w |a|?|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、 向量的数量积不满足结合律，即：（a?b）?c 丰a?（b?c）;例如：（a?b）A2 丰aA2?bA22、 向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c （a 丰0），推不出c。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、 由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b。4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）

5、是一个向量，记作 ax b。若a、b不共线， 则axb的模是：I ax b I =|a|?|b|?sin a, b> axb的方向是：垂直于 a和b,且a、b和 axb按这个次序构成右手系。若 a、b共线，则ax b=0。向量的向量积性质：I ax b I是以a和b为边的平行四边形面积。a x a=0。a II b < = > a x b=0。向量的向量积运算律ax b=-bx a;（入 a） x b=入（a x b） =a x ；（入 b）（a+b） x c=a x c+b x c.注：向量没有除法，"向量 AB/向量CD'是没有意义的。向量的三角形不等式

6、1、I I a I -I bI IwI a+b IwI a I + I b I;当且仅当a、b反向时，左边取等号；当且仅当a、b同向时，右边取等号。2、I I a I -I bI I w I a-b I w I a I + I b I 。当且仅当a、b同向时，左边取等号；当且仅当a、b反向时，右边取等号。定比分点定比分点公式 （向量pip=入？向1PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是I上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 入，使向 量P1P=入？向量P2，入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1）, P2（x2,y2）, P（x,y）,则有0P=（0P1+入0P

7、2）（1+入（定比分点向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+入）,y=（y1+入y2）/（1+ （定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若0C=入0A + 0B ,且入+卩=1 ,人则B、C三点共线三角形重心 判断式在厶ABC中，若 GA +GB +GC=0,贝U G ABC的重心编辑本段向量共线的重要条件若b丰0，则a/b的重要条件是存在唯一实数入，使a=入b。a/b的重要条件是 xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。编辑本段向量垂直的充要条件a丄b的充要条件是 a?b=0。a丄b的充要条件是 xx'+yy'

8、=0。零向量0垂直于任何向量.平面向量易错点湖南 周友良周芬在平面向量的复习中， 首先要掌握其基本概念与运算. 如果不能正确理解向量的基础知 识，或在某些概念及公式的理解上存在模糊认识， 就会造成一些表面看起来正确而实际上错 误的判断，使解题思路走入误区，现例举如下，望同学们引起注意.一、对两向量夹角的定义理解不清而致错uuu uuur umr mu urn uuu例1 在边长为1的正三角形 ABC中，求ABgBC BCgCA CAgAB的值.uum uuu 错解：ABgBCuuu uuu uuu uuuBCgCA CAgABuuuuuiuABBCcos60011132 2 2 2 '

9、分析：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合.umr uuuBC CA cos60ouuuuuuuuiuCAABuuiu uuucos60ouuu uuu向量AB与BC , BC与CA , CA与iunAB的夹角通过平移后发现都不是60°,而是120°.这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的.uuu uuur uuu uuu uuu uuu 正解：ABgBC BCgCA CAgABuuu ulutAB BC cos120)uuLii uurBC CA cos12(fuuu uuuCA AB cos12(f11132 2 2 2 注意：向量a与b的夹角为锐角的充要条件是 ag

10、)> 且a与b不共线.这里，a与b不 共线不能忽略.二、对向量的数量积理解不透彻而致错例2向量a、b都是非零向量，且向量 a + 3b与7a b垂直，a 4b与7a b垂 直，求a与b的夹角.错解：由题意，得(a + 3b)g7ab) 0,(ab)g7ab) 0,将、展开并相减，得46agb二b2，1 b ，故 a = b，2将代入，得a2 b2,设a与b夹角为，则cosagoagb|b2b2/ 0o < < 180o，二60o.分析：上面解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由得到，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上.由于向量的数量积不满足消去律，所以

11、即使b，也不能随便约去.正解：设向量a、b的夹角为，由上面解法有 2ag)= b2，代入式、式均可得a2 b2，贝U a b ,agb 1cos-j-j| .adb 2又 0o < <0 ,60o.三、混淆点的坐标与向量的坐标而致错例 3 判断 ABC 的形状：A(1, 2) , B( 3,5) , C( 5,2).错解：/ 1 ( 3) ( 2) 5130,1 ( 5) ( 2) 29 0 , ( 3) ( 5) 5 2 25 0, ABC为钝角三角形.分析： 把点的坐标误认为向量的坐标，得出错误的结论 事实上， 由点的坐标可以确定有关向量的坐标，再通过计算向量的数量积，精确判断出三角形的形状uuuruuur正解： CA（6， 4