坐标系转换教材

1、坐标系转换问题1.坐标系基础知识1.1 1954 年北京坐标系1954 年北京坐标系可以认为是前苏联 1942 年坐标系的延伸。它的原点不在 北京，而在前苏联的普尔科沃。相应的椭球为克拉索夫斯基椭球。1954 年北京坐标系建立以来，我国依据这个坐标系建成了全国天文大地网， 完成了大量的测绘任务。 但是随着测绘新理论、 新技术的不断发展， 人们发现该 坐标系存在如下缺点：（ 1 ）椭球参数有较大误差。克拉索夫斯基椭球参数与现代精确的椭球参数相 比，长半轴约大 109m。（ 2）参考椭球面与我国大地水准面存在着自西向东明显的系统性的倾斜，在 东部地区大地水准面差距最大达 +68m。着使得大比例尺地

2、图反映地图面的精度受 到影响，同时也对观测元素的归算提出了严格要求。（ 3）几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一。我国在处理重力数 据时采用赫尔默特 19001909年正常重力公式， 与这个公式相应的赫尔默特扁球 不是旋转椭球，它与克拉索夫斯基椭球是不一致的，这给实际工作带来了麻烦。（4）定向不明确。 椭球短轴的指向既不是国际上比较普遍采用的国际协议 （习 用）原点 CIO（ Conventional International Origin），也不是我国地极原点JYD1968.0 ；起始大地子午面也不是国际时间局 BIH（ Bureau International de I Heur

3、e）所定义的格林尼治平均天文台子午面，从而给坐标换算带来一些不便和 误差。另外，鉴于该坐标系是按局部平差逐步提供大地点成果的， 不是整体平差结果， 因而不可避免地出现一些矛盾和不够合理的地方。随着我国测绘事业的发展， 现在已经具备条件， 可以利用我国测量资料和其他 有关资料，建立起适合我国情况的新的坐标系。1.2 新 1954 北京坐标系新 1954 年北京坐标系，是由 1980 年国家大地坐标系转换得来的， 简称 BJ54新 ； 原 1954 年北京坐标系又称为旧 1954 年北京坐标系 BJ54旧 。由于在全国的以 GDZ80为基准的测绘成果建立之前， BJ54旧 的测绘成果仍将存在较长时

4、间，而 BJ54旧 与 GDZ80两者之间差距较大，给成果的使用带来不便，所以又建立了BJ54新 作为过渡坐标系。经过渡坐标系的转换， BJ54新和 BJ54旧的控制点的高 斯平面坐标，其差值在全国 80%地区内小于 5m，局部地区最大达 12.9m。BJ54新 是在 GDZ80基础上，改变 GDZ80相对应的 IUGG1975椭球几何参数为克 拉索夫斯基椭球参数，并将坐标原点（椭球中心）平移，使坐标轴保持平行而建 立起来的。BJ54新 的特点是：（ 1）采用克拉索夫斯基椭球参数。（2）是综合 GDZ80和 BJ54旧建立起来的参心坐标系。（3）采用多点定位，但椭球面与大地水准面在我国境内不是

5、最佳拟合。（ 4）定向明确，坐标轴与 GDZ80相平行，椭球短轴平行于地球质心指向地极原点 JYD1968.0方向，起始大地子午面平行于我国起始天文子午面， X Y Z 0 。（ 5）大地原点与 GDZ80相同，但大地起算数据不同。（6）大地高程基准采用 1956 年黄海高程系。（7）与 BJ54旧 相比，所采用的椭球参数相同， 其定位相近， 但定向不同。 BJ54旧 的坐标是局部平差结果，而 BJ54新 是 GDZ80整体平差结果的转换值，两者之间 无全国统一的转换参数，只能进行局部转换。1.3 1980 年国家大地坐标系为了适应我国大地测量发展的需要，在 1978年 4 月于西安召开的“全

6、国天 文大地网整体平差会议”上，参加会议的专家对建立我国比1954 年北京坐标系更精确的新大地坐标系进行了讨论和研究。到会专家普遍认为 1954 年北京坐标 系相对应的椭球参数不够精确， 其椭球面与我国大地水准面差距较大， 在东部经 济发达地区差距高达 60 余米，因而建立我国新的大地坐标系是必要的。该次会 议关于建立新大地坐标系提出了如下原则：（ 1）全国天文大地网整体平差要在新的坐标系的参考椭球面上进行。为此， 首先要建立一个新的大地坐标系，并命名为 1980 国家大地坐标系； （2）1980国家大地坐标系的大地原点固定在我国中部，具体选址是陕西省泾 阳县永乐镇；（3）采用国际大地测量和地

7、球物理联合会 1975 年推荐的四个地球椭球基本参 数（ a,J2,GM, ） ，并根据这四个参数求解椭球扁率和其他参数。（4）1980 国家大地坐标系的椭球短轴平行于地球质心指向我国地极原点JYD1968.0方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文台的子午面；（5）椭球定位参数以我国范围内高程异常值平方和等于最小为条件求解。1980国家大地坐标系就是根据以上原则在 1954 年北京坐标系基础上建立起来 的。1980 国家大地坐标系的特点是：(6) 采用 1975年国际大地测量与地球物理联合会( IUGG)第 16 届大会上推荐 的 4 个椭球基本参数。地球椭球长半径 a=6 378 140

8、m ，地心引力参数 GM=3.986 005×1014 m3 s2 ，地球重力场二阶带球谐系数 J2 =1.082 63×10 8，地球自转角速度 7.292115 10 5 rad s。根据物理大地测量学中的有关公式，可由上述 4 个参数算得 地球椭球扁率 a=1/298.257 ， 赤道的正常重力值 0 9.78032m s2 。(7) 参心大地坐标系是在 1954 年北京坐标系基础上建立起来的。(8) 椭球面同似大地水准面在我国境内最为密合，是多点定位。(9) 定向明确。 椭球短轴平行于地球质心指向地极原点 JYD1968.0方向，起始大地子午面平行于我国起始天文子午

9、面， X Y Z 0 。(10) 大地原点地处我国中部，位于西安市以北 60km处的泾阳县永乐镇，简称 西安原点。(11) 大地高程基准采用 1956 年黄海高程系。精度高，点位中误差± 0.84m。2. 坐标的换带计算为了限制高斯投影长度变形， 将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投 影带；或者为了抵偿长度变形，选择某一经度的子午线作为测区的中央子午线。 由于中央子午线的经度不同， 使得椭球面上统一的大地坐标系， 变成了各自独立 的平面直角坐标系， 就需要将一个投影带的平面直角坐标系， 换算成另外一个投 影带的平面直角坐标，称为坐标换带。2.1 坐标换带的方法坐标换带有直接换带计

10、算法和间接换带计算法两种。 目前采用间接换带计算 法，因此下面仅就此方法作一介绍。如将第一带(东带或西带)的平面坐标换算为第二带(西带或东带)的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标 x,y 和中央子午线的经度 L。按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标 B,L然后根据 B,L 和第二带的中央子午线经度 按高 斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标 x', y' 。由于在换带计算中， 把 椭球面上的大地坐标作为过渡坐标， 因而称为间接换带法。 这种方法理论上是严 密的，精度高，而且通用性强，他适用于 6°带与 6°带， 3°带与 3°带，

11、 6° 带与 3°带之间的坐标换带。如图所示，图( a)是 P 点在带平面直角坐标系的投影，它的平面直角坐 标是 P( x, y)1 ；图(b)是该 P点在带平面直角坐标系的投影，它的平面直角坐 标是 P(x, y)2 。假若已知 P(x, y)1要求 P( x, y) 2 ，或已知 P(x, y)2要求 P(x, y)1 ，这 就是所谓的邻带坐标换算。利用高斯投影正反算公式进行邻带坐标换算的实质是把椭球面上的大地坐 标作为过渡坐标。其解法是，首先利用高斯投影坐标反算公式，根据(x,y)1 换算成椭球面大地坐标 (B,l1)，进而得到 L L10 l1。然后再由大地坐标 (

12、B,l2) ，利用 高斯投影坐标正算公式，根据 (B,l2) 计算该点在度带的平面直角坐标 (x,y)2， 但在这一步计算时，要根据第带的中央子午线的经度 L02 计算 P 点在第带的2.2 坐标换带的实际应用在生产实践中通常有以下两种情况需要换带计算1） 控制网中的已知点位于相邻的两个投影带中。如图一图一：坐标换带示意图）中的附合导线，A,B,C,D 为已知高 级点。 A,B 两点位于西带内，具有西带的高斯平面直角坐标值； C,D两点位于东 带内，具有东带的高斯平面直角坐标值。 在坐标平差计算时， 就必须将它们的坐 标系统统一起来， 或是将 A,B 点的西带坐标值换算至东带， 或是将 C,D

13、 点的东带 坐标值换算至西带。（ 2） 国家控制点的坐标通常是 6°带的坐标，而在工程测量中往往需要采用带或 1.5 °带，这就产生了 6°带与 带或 1.5 °带之间的坐标换算问题。我们知道， 带的中央子午线中，有半数与 6°带的中央子午线重合。所以，由 6°带到 3°带的换算区分为 2 种情况： 3 °带与 6 °带的中央子午线重合 如图二所示， 3 °带第图二：坐标换带示意图）41带与 6°第 21 带的中央子午线重合。既然中央子午线一致，坐标系统也就一致。所以，图中P1 点在

14、6°带第21 带的坐标，也就是该点在 3°带第 41 带的坐标。在这种情况下， 6°带与 3° 带之间，不存在换带计算问题。 3 °带中央子午线与 6°带分带子午线不重合如图所示， 若已知 P2 点在 6°带 第 21 带的坐标，求它在 3 °带第 42 带的坐标。由于这 2 个投影带的中央子午线 不同，坐标系统不一致，必须进行换带计算。不过 P2点在 6°带第 21 带的坐标 与它在 3°第 41 带的坐标相同，所以 6°带到 3°带坐标换算，也可看作是 3° 带

15、到 3°带的邻带坐标换算。换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法 ，他适用于任何情况下的 换带计算工作。这种方法的程序是：首先将某投影带的已知平面坐标 (x1,y1) ,按 高斯投影坐标反算公式求得其大地坐标 (B,L);然后根据纬度 B 和对于所选定的 中央子午线的经差, 按高斯投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平面坐标 (x2, y2) 。例如，某点 A在新 54坐标系 6°带的平面坐标为 x2 =3589644.287 y2 =20679136.439求 A 点在 3°带的平面直角坐标( x2,y2 ) .首先确定 A 点所在投影带中央子午线经度。 由

16、横坐标的规定值可以直接判定， A点位于 6°带第 20 带，其中央子午线经度 L。=117°，横坐标的自然值为 y1=679136.493-500000=+179136.439m; 该坐标等同于 3°带第 39带的平面坐标。其次将已知的 6°带坐标反算为大地坐标。为此，可直接应用坐标反算公式 进行计算，其结果为B=32°24 57.6522 L=118 °54 15.2206 由大地经度 L可判断， A点位于 3°第 40带，中央子午线为 L。=120°。最后根据高斯投影坐标正算公式， 由已知的纬度 B 和经度 计

17、算 A 点在 3°带 第 40 带的平面直角坐标，得x2 =3588576.591 y2 =40396922.874其中横坐标 y2 为规定值。3. 坐标系转换首先，我们要弄清楚几种坐标表示方法。大致有三种坐标表示方法：经纬度 和高程，空间直角坐标，平面坐标和高程。我们通常说的西安 80 坐标是经纬度和高程这一种， 北京 54 坐标是平面坐标和高 程着一种。现在，再搞清楚转换的严密性问题，在同一个椭球里的转换都是严密的，而 在不同的椭球之间的转换这时不严密的。举个例子，在西安坐标和北京 54 坐标 之间是不存在一套转换参数可以全国通用的， 在每个地方会不一样， 因为它们是 两个不同的

18、椭球基准。那么，两个椭球间的坐标转换应该是怎样的呢？一般而言比较严密的是用七 参数法，即 X平移， Y平移，Z平移，X旋转，Y旋转， Z 旋转，尺度变化 K。要 求得七参数就需要在一个地区需要 3个以上的已知点，如果区域范围不大， 最远 点间的距离不大于 30Km（经验值） ，这可以用三参数， 即 X平移，Y平移，Z平移， 而将 X旋转， Y旋转， Z旋转，尺度变化 K视为 0，所以三参数只是七参数的一 种特例。在本软件中提供了计算三参数、七参数的功能。在一个椭球的不同坐标系中转换需要用到四参数转换，举个例子，在深圳既 有北京 54 坐标又有深圳坐标，在这两种坐标之间转换就用到四参数，计算四参

19、 数需要两个已知点。下面举例子说明：在湖北有一个测区，需要完成北京 54 坐标系到西安 80坐 标系的转换，整个转换过程是：坐标系转换北京 54 平面坐标七已知点转换为空间坐标七参数计算七 已 知 点四 参 数 转 换七参数转换四 参 数 计 算80 西安坐标系3.1 四参数转换如果区域范围不大，可采用 4 参数方法计算坐标转换，计算 4 参数法需要两 个已知点的 80 和 54 两套坐标。该方法计算简单且在一定范围内计算结果精度较 高，有一定的实用性。四参数即两个平移参数，一个旋转参数，一个尺度参数，四参数没有转换模 型，是强制转换。实例：湖北用户在一个测区内有一些点的北京 54 的坐标 ,

20、 现在希望将其转换为国家 80 坐标。用户有测区的七个 GPS C级点 (112.5 度带)控制点，这些控制点既有 北京 54 坐标也有国家 80 坐标，转换步骤为：参数计算首先在需进行坐标转换的区域内，选取两个或两个以上等级较高的国家一、 二等三角点，这两个或两个以上点需有 54 和 80 两套坐标成果，然后计算出 4 参数既： X坐标平移量、 Y坐标平移量、坐标变换尺度比因子 K，旋转角 (同 一条边在新、旧网中坐标轴的交角，单位为弧度 ) 。其计算公式为：X 平移量 1 (x1 cosy1 sin )K平移量 Y1 ( y1 cosx1 sin )KatanK X1 ( X2 cosY4

21、xin )其中， X1、Y1、X2、Y2为转换后的 80坐标， x1 、 y1 、 x2 、 y2为转换前的坐标。X1 X1 X2X 2 x1 x2Y3 Y1 Y2Y4 y1 y2( X 2Y3 X1 Y4) ( X1X2 Y3 Y4)参数转换坐标转换计算公式：X80 X 平移量 X54Kcos Y54K sinY80 Y平移量 X54K sinY54K cos式中： X平移量 、 Y平移量 为平移参数、 K 为坐标变换尺度比因子，为旋转角(单 位为弧度)， X54、 X 54为旋转前 54坐标值， X80、Y80为旋转后的 80坐标值3.2 七参数转换采用七参数方法计算坐标转换，主要是在较大

22、区域内进行的，转换需要在区 域内有 3 个以上的已知点， 且在 3 个点要有 54和 80的两套坐标， 最好是国家一 等三角点或高精度的 GPS点。七参数是三个平移参数，三个旋转参数，一个尺度参数。进行基准转换的算法也很多，较为常用的有布尔沙 - 沃尔夫( Bursa-Wolf ) 模型和莫洛金斯基(Molodensky)模型。在这里我们以布尔沙- 沃尔夫 ( Bursa-Wolf )模型为例祥述基准转换的方法。布尔沙 - 沃尔夫模型(在我国被简称为布尔沙模型)又被称为七参数转换 ( 7-ParameterTransformation )或七参数赫尔默特变换( 7-ParameterHelme

23、rt Transformation ), 如下图所示。在该模型中共采用了 7 个参数，分别是 3 个平 移参数TX 、 TY 、TZ ，3个旋转参数 X、 Y、 Z (也被称为 3 个欧拉角)和一个尺度参数 m 。假设有两个分别基于不同基准的空间直角坐标系 OA X AYAZA和K X ( X2cosY2xin )atan( X 2Y3 X1 Y4) ( X1X2 Y3 Y4 )OB X BYB Z B ，采用布尔沙模型将 X80 X平移量 X54K cosY54K sin 下坐标Y80 Y平移量 X54K sin Y54K cosx1y1x2y2转换为 OB XBYBZB 下坐标的步骤是：(

24、1) 从 X A正向看向原点 OA，以OA点为固定旋转点，将 OA XAYAZA绕 XA轴逆 时针旋转 XA,B 角，使经过旋转后的 YA轴与 OB X BYB ZB平面平行；(2) 从YA正向看向原点 OA，以OA点为固定旋转点， 将OA X AYAZA绕YA轴逆时 针旋转 YA,B 角，使经过旋转后的 XA 轴与OB XBYBZB 平面平行。显然，此时 ZA 轴也与 ZB 轴平行；(3) 从ZA正向看向原点 OA，以 OA点为固定旋转点，将 OA XAYAZA绕ZA轴逆 时针旋转 ZA,B角，使经过旋转后的 XA轴与 X B轴平行。显然，此时 OA XAYAZA 的三个坐标轴已与 OB X

25、BYB ZB 中相应的坐标轴平行；(4) 将OA X AYAZ A中的长度单位缩放 1 m倍，使其与 OB X BYB ZB的长度单位 一致；(5) 将OA X AYAZ A的原点分别沿 XA、YA和ZA轴移动 TXA,B、 TYA,B 和 TZA,B ， 使其与 OB XBYBZB 的原点重合。可用数学公式将该转换过程表达如下：XBTXA,BXAYBYA,B(1m)R3( ZA,B)R2(YA,B)R1(XA,B )YAZBZ A ,BZA式中：XA，YA，ZA和 XB，YB，ZB为某点分别在 OA XAYAZA和OB XBYBZB下的坐 标：XA,B， YA,B， ZA,B为由OA XAYAZA转换到 OB X BYBZ B的旋转参数； mA,B为由OA XAYAZA转换到 OB XBYBZB的尺度参数；TXA,B，TYA,B ，TZA,B 为由OA X AYAZ A转换到 OB X BYB Z B的平移参数；R1(XA,B ) 0cos X A,Bsin X A,B， R2 (YA ,B )R3 (ZA,B )0