平行四边形知识点及同步练习含答案

1、n5)【学习目标】学科：数学教学内容：平行四边形的识别1 利用图形的旋转和简单的推理掌握平行四边形的简单识别方法.2 能综合运用平行四边形的特征与识别方法来解决实际问题.【基础知识概述】1 平行四边形的识别方法：(1) 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2) 方法1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3) 方法2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(4) 方法3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.(5) 方法4: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.注意：识别四边形为平行四边形有五种方法选择，应根据具体条件而定；“平行且相等”用符号 表示.2 平行四边形识别方法的选

2、择：已知条件选择的识别方法边一组对边相等方法2或方法4一组对边平行定义或方法4角一组对角相等方法1对角线方法33 平行四边形知识的运用：(1) 直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等 或互补，证明线段相等或倍分等.(2) 识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行.(3) 先识别一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题.4 平行四边形作图：(1) 常见的平行四边形的作图： 已知两邻边和夹角作平行四边形. 已知一边、一条对角线及它们夹角作平行四边形. 已知一边和两条对角线作平行四边形. 已知两邻边和一条对角线作平行四边形. 已知一边和一

3、个内角以及过这个角顶点的一条对角线作平行四边形.(2) 完成图形的关键步骤： 先由条件作出它们能确定的三角形. 然后再将三角形补成平行四边形.注意：作图前要先画草图，然后根据草图决定先画什么，再画什么.四边形的作图基本上都是先画三角形，再补成平行四边形，这也体现了将四边形知识化归成三角形问题的思想方法.【例题精讲】例1如图12-1-14所示，已知 二二二中，E, F分别是AD , BC的中点，AF与EB交 于G , CE与DF交于H，试说明四边形 EGFH为平行四边形.4分析：本题考查平行四边形的识别，那么多的识别方法中，选择哪一种呢？考虑到.|及中点，易知四边形 AFCE和EBFD都是平行四

4、边形，从而 GE / FH , GF / EH，如 若采取先确定识别方法，再找条件将会使解题复杂化.解：在中，ADgBC，已知E, F分别为AD , BC的中点，所以AEdLFC ,EDJ/BF，所以四边形 AFCE、EBFD都是平行四边形.所以 AF / EC, BE / FD .即GF /EH , GE/ FH .所以四边形 EGFH为平行四边形.说明：本题是由定义判定平行四边形，在判定四边形为平行四边形时，要充分利用已知条件选择判定方法.例2 如图12-1-15, 川 ，以AC为边长在其两侧各作一个正 ACP和厶ACQ，试 说明四边形BPDQ是平行四边形.解：*, AB / CD，/ 1

5、 = Z 2./ ACP和厶ACQ是正三角形， PA= QC,/ PAC=Z QCA = 60°, PA/ QC,四边形PCQA是平行四边形， PQ与AC平分.AC与PQ互相平分，BD与PQ互相平分,四边形BPDQ是平行四边形.思考：能否通过两组对边分别相等得到结论. 提示：能.易证 PAB与厶QCD重合， PB= QD，同理 PD= QB .四边形BPDQ是平行四边形.注意：合理选择平行四边形的识别方法.例3”已知四边形ABCD中，AC交BD于点0,如果只给出条件“ AB / CD”，那么还 不能判定四边形 ABCD为平行四边形，给出以下四种说法： 如果再加上条件“ BC = AD

6、 ”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形. 如果再加上条件“/ BAD =Z BCD”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形. 如果再加上条件“ AO = 0C”，那么四边形 ABCD 一定是平行四边形. 如果再加上条件“/ DBA =Z CAB ”，那么平行四边形 ABCD 一定是平行四边形.其中正确的说法是（）.A .和B .、和C.和D .、和解：用逐个筛选法.关于，由于 AB / CD，知/ ABD =Z CDB，如果AD = BC及DB = BD，一般不能得 到厶ABD与厶CDB重合，或者 ABD与厶CAD重合，这样证对边相等缺少充足理由.关于，由 AB / CD，知/ ABD

7、 =Z CDB，如果/ BAD =Z BCD，再用 BD = DB ,可得厶ABD与厶CDB重合，于是AB = DC , AB也DC，故得口AECD.关于，由 AB / CD 知，/ OAB =Z OCD，/ OBA = Z ODC，若 AO = 0。，则厶 AOB与厶COD重合，于是 AB = DC ,即AB也DC，故得.口'上二关于，由/ DBA =Z CAB，知OA = OB,又AB / CD知/ DBA =Z BDC，同理也会 有OC= OD，但OA不一定等于 OC,如12-1-16就是一个反例.综上所述，知正确，应选例4 如图12-1-17,在川 中，点 E、F在AC上，且

8、AF = CE,点G、H分别在AB、CD上，且 AC = CH , AC与GH相交于点 O,试说明（1）EG / FH ; （2）GH、EF互相平 分.图 12-1-17分析： 要证EG / FH，需证/ GEO = Z HFO , 要证/ GEO = Z HFO，需证/ AEG = Z CFH , 故先证 AGE与厶CHF完全重合.要证GH、CF互相平分，需证四边形 GFHE是平行四边形.解：四边形ABCD是平行四边形， AB / CD ,/ BAC = Z DCA .、/ AF = CE, AE = CF.TAG = GH, AGE与厶CHF重合.(2)连结 GF、EH ,/ GE平行且等

9、于 FH ,四边形GFHE是平行四边形，GH、EF互相平分.注意：用平行四边形的识别方法和特征可解决有关的相等或互补，线段相等或倍分，直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质解决有关问题.【中考考点】本节要求大家会用平行四边形的识别方法解决有关问题，并能和特征结合证题.【命题方向】本节多以填空题、证明题、综合题形式出现.【常见错误分析】错误：对角线平分的四边形是平行四边形.误区分析：错误在“对角线平分”不够准确，词意含糊，不知两条对角线是怎么平分， 应该改为“对角线互相平分”.正解：对角线互相平分的四边形是平行四边形.【学习方法指导】 平行四边形的特征与识别表

10、，对应记忆更有利于理解和区分.【同步达纲练习】一、填空题1 四边形任意相邻两个内角都互补，那么这个四边形是'2.川 中，AB = 2,BC = 3，/B、/C的平分线分别交 AD于E、F,则EF =3个四边形的边长依次是a、b、c、d，且 a22 2 2b c d 2ac 2bd，则这个四边形是.4. 把边长为4cm、5cm、6cm，两个完全重合的三角形拼成四边形，一共能拼成 种不同的四边形，其中有 个平行四边形.5. 在口ABCD中，如果/ A的余角比/ B的补角大10°,那么/ A =，/ B6. 分别过 ABC的顶点作它的对边的平行线，围成 A ' B '

11、; C',已知 A ' B ' C '的周长为4曲，则厶ABC的周长为 .二、选择题7. 能判定四边形 ABCD是平行四边形的题设是（）.A . AB / CD , AD = BCB . Z A = Z B ,Z C =Z DC. AB = CD , AD = BCD . AB = AD , CB = CD&下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）.A .一组对角相等B .两条对角线互相垂直C.两条对角线互相平分D .一对邻角和为180°三、解答题9. 在二二二|中，点E、F在AC上，且 AF = CE,点G、H分别在 AB、CD上，且 AG

12、 =CH , AC与GH交于0,试说明GH、EF互相平分.10. 画平行四边形，使两条对角线长分别为10 cm, 8 cm, 边长为7cm.11. 如图 12-1-19，在二二二中，E 是 AB 上一点，F 是 CD 上一点，且Z ADE =Z CBF , 四边形BFDE也是平行四边形吗？试说明理由.圏 12-1-1913. 且分别交 理由.在，川中，/ BAD和/ BCD的平分线分别交 BC、AD于E、F,如图 12-1-20,DC、BA的延长线于G、H，除二二二|外，指出图中其余的平行四边形.并说明图 12-1-2014.如图12-1-21，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角处种有一棵

13、大核桃树， 田村准备开挖池塘养鱼池，想池塘面积扩大一倍， 又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状， 请问田村能否实现这一设想？若能请你设计并画出图形；若不能，请说明理由.图 12-1-2115.如图12-1-22，已知四边形 ABCD是平行四边形,CE / BD , EF 丄 AB 于点 F, E、1D、A在一条直线上，那么有 DF -AE 请你说明理由.12. 在等腰 ABC中，AB = AC , D为底边 BC上一点，DE / AC交AB于E, DF / AB交AC于F,试说明AB = DE + DF .图 12-1-22参考答案【同步达纲练习】、1 平行四边形2. 13 平行四边形4. 6, 35. 40° 140°6. 2 cm、7. C 8. C三、9.略.10.略.11. 提示：证 ADE与厶CFB重合，可得 DE = BF, AE = CF./ ABCD为平行四边形， AB = DC , BE = DF ,四边形BFDE也是平行四边形.12. 由已知四边形 AEDF为平行四边形， EBD为等腰三角形，则DF = AE , DE = BE,所以 AB = AE + B