常见离散型随机变量的分布列

1、4.常见离散型随机变量的分布列(1两点分布像这样的分布列叫做两点分布列.X01PP如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从分布，而称 p= P(X= 1为成功概率.(2超几何分布列一般地，在含有 M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有 X件次品，则事件X= k发生的概率为P(X= k =错误！ , k= 0,1,2,，m,其中m= minM, n，且nW N, M N, n, M , N N*.称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.X01mP1设离散型随机变量 X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(12X + 1

2、的分布列;(2|X 1|的分布列.【思路启迪】 利用Pi0,且所有概率之和为 1，求m；求2X + 1的值及其分布列；求|X 1|的值及其分布列.【解】由分布列的性质知：0. 2 + 0.1+ 0.1+ 0.3 + m= 1, m= 0.3.X01232X +11357丨x -1|1012首先列表为:4932若离散型随机变量 X的分布列为:X01P9c2 c3 8c则常数c =, P(X= 1 =.求离散型随机变量的分布列步骤是：(1找出随机变量 X的所有可能取值 Xi(i = 1,2,， ；(2求出取各值Xi的概率P(X = Xi； (3列表，求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确

3、常用类型有：(1由统计数据求离散型随机变量的分布列，关键是由统计数据利用事件发生的频率近似表示该事件的概率，由统计数据得到的分布列可以帮助我们更好地理解分(3由相互独立事件同时发生的概率求分布列无布列的作用和意义.(2由古典概型来求随机变量的分布列，这时需利用排列、组合求概率. 论是何种类型，都需要深刻理解随机变量的含义及概率分布.3.(2018年福建 >受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生 产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间 x(年&

4、gt;0<x <11<x W2x>20<x w2x>2轿车数量(辆>2345545每辆利润(万元>1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1>从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2>若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为Xi，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求 人,X2的分布列;(3>该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，因为资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产 哪种品牌的轿车？说明理由.【解】(1>设“甲品牌轿车首次

5、出现故障发生在保修期内”为事件A，贝U P(A> =错误！=错误!.(2>依题意得，Xi的分布列为X1123P错误！错误！错误！X2的分布列为X21.82.9P错误！错误！(3>由(2>得，E(Xi>= 1X错误！ + 2X错误！ + 3 X错误！=错误！ =2.86(万兀 >,E(X2>= 1.8X 错误！ + 2.9X 错误！ = 2.79(万元 > 因为E(X1>>E(X2>,所以应生产甲品牌轿车.4.(2018年湖南 >某商店试销某种商品20天，获得如下数据:日销售量(件>0123频数1595试销结束后(假设

6、该商品的日销售量的分布规律不变>，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货若发现存量少于2件，则当天进货补充至 3件，否则不进货，将频率视为概率.(1>求当天商店不进货的概率；(2>记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.解：(1>P(“当天商店不进货” >=P( “当天商品销售量为 0件” > + P(“当天商品销售量为1件” >=错误！ +错误！=错误！.(2>由题意知，X的可能取值为2,3.P(X= 2> = P(“当天商品销售量为 1件” >=错误！=错误！ ; P(X= 3>= P(“当

7、天商品销售量为 0件” > + P( “当天商品销售量为 2件” > + P( “当天商品销售量为 3件” >=错误！ +错误！ +错误！=错误！ 故X的分布列为X23P错误！错误！X的数学期望为E(X> = 2X错误！ + 3X错误！=错误！.5袋中装着标有数字 1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取 3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1>取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2>随机变量X的分布列；(3>计分介于20分到40分之间的概率.思路启迪】(1>是古

8、典概型；(2>关键是确定X的所有可能取值；(3>计分介于20分到40分之间的概率等于 X= 3与X= 4的概率之和. 【解】(1> “一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,贝U P(A> =错误！=错误!.(2>随机变量X的可能取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为P(X= 2> =错误！=错误！，P(X= 3> =错误！ +错误！=错误！，P(X = 4>=错误！ +错误！=错误！，P(X= 5> =错误！ +错误！=错误！ 随机变量X的分布列为X2345P错误！错误!错误！错误!(3>因为按3个小球上最大数字的 9

9、倍计分，所以当计分介于20分40分时，X的取值为3或4,所以所求概率为P = P(X = 3>+ P(X= 4> =错误！ +错误！=错误！ 6袋中装有黑球和白球共 7个，从中任取2个球都是白球的概率为 错误！ 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1球，甲先取，乙后取，然后 甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数.(1>求袋中原有白球的个数；(2>求随机变量X的分布列；(3>求甲取到白球的概率.解：(1>设袋中白球共有x个，根据已知条件 错误！=错误！，即 x2 X 6= 0，解

10、得 x= 3，或 x= 2(舍去 > .即袋中原有白球的个数为3.(2>X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2,3,4,5.因此，P(X = 1>=错误！=错误！，P(X= 2> =错误！=错误！，P(X= 3> =错误！=错误！，P(X = 4> =错误！=错误！，P(X= 5> =错误！=错误！.则随机变量X的分布列为：X12345P错误！错误！错误！错误！错误！(3>甲取到白球的概率为P = P(X = 1>+ P(X= 3> + P(X= 5> =错误！ +错误！ +错误！=错误！ 1.超几何分布是一种很

11、重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、取不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品 > 的件数、某种小球的个数如果一随机变量E服从超几何分布，那么事件 = k发生的概率为P(E= k> =错误！，k =0,1,2，m, m= min M , n.2 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.8杯，其颜色完全相7.(2018年江西 >某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯

12、都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为 2 800元；否则月工资定为 2 100元.令X表示此人选对 A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(1>求X的分布列；(2>求此员工月工资的期望.【解】(1>X的所有可能取值为：0,1,2,3,4, P(X= i> =错误! = (i = 0,1,2,3,4>，贝UX01234P错误！错误！错误！错误！错误！(2>令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为 2 100,2 800,3 500 ,贝U P(Y= 3 500> = P(X= 4> =错误！，P(Y= 2

13、 800> = P(X= 3> =错误！，P(Y= 2 100> = P(X< 2> =错误！，E(Y> = 3 500 X 错误！ + 2 800X 错误！ + 2 100X 错误！ = 2 280, 所以此员工月工资的期望为2 280元.8某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛测试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列.解：依题意，随机变量 X服从超几何分布，所以 P(X = k> =错误！(k= 0,1,2,3,4> . P(X= 0> =错误！=错误！，P(X = 1>=错误！=错误

14、！，P(X= 2> =错误！=错误！，P(X = 3> =错误！=错误！，P(X = 4> =错误！=错误！， X的分布列为X01234P错误！错误！错误！错误！错误！易错点对随机变量的意义理解不到位某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列.【正确解答】P(X = 1> = 0.9, P(X = 2>= 0.1 X 0.9= 0.09,P(X = 3> = 0.1 X 0.1 X 0.9= 0.009,P(X = 4> = 0.1 X 0.1 X 0.1 X 0.9= 0.000 9,当X=5时，只要前四次射击不中的都要射第5发子弹，第5发子弹可能射中也可能射不中.P(X = 5>= 0.15+ 0.14X 0.9= 0.14.耗用子弹数X的分布列为X12345P0.90.090.0090.000 90.000 1已知随机变量X的概率分