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文档简介
株洲市重点中学2025届高三下第一次测试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,其中个位、百位、方位……用纵式表示,十位、千位、十万位……用横式表示,则56846可用算筹表示为()A. B. C. D.3.已知命题,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围为()A. B. C. D.4.函数图像可能是()A. B. C. D.5.等比数列的前项和为,若,,,,则()A. B. C. D.6.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.且 B.且 C.且 D.且7.复数,若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,则等于()A. B. C. D.8.不等式组表示的平面区域为,则()A., B.,C., D.,9.已知函数的图象如图所示,则可以为()A. B. C. D.10.正项等比数列中,,且与的等差中项为4,则的公比是()A.1 B.2 C. D.11.数列{an},满足对任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.9912.在中,“”是“为钝角三角形”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点(1,1)处的切线与轴及直线=所围成的三角形面积为,则实数=____。14.在平面直角坐标系中,曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________.15.函数的极大值为______.16.如图是一个算法伪代码,则输出的的值为_______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.18.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为,焦距为4,且椭圆过点,过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点,点关于轴的对称点为,直线交轴于点.(1)求的周长;(2)求面积的最大值.19.(12分)平面直角坐标系中,曲线:.直线经过点,且倾斜角为,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程;(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求实数的值.20.(12分)已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)的图象与两坐标轴的交点分别为,若三角形的面积大于,求参数的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)求在区间上的最小值;(3)在(1)的条件下,若,求证:当时,恒有成立.22.(10分)已知,且.(1)请给出的一组值,使得成立;(2)证明不等式恒成立.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
计算,得到答案.【详解】根据题意,故,表示的复数在第一象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力和理解能力.2、B【解析】
根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案.【详解】解:根据题意可得,各个数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位用纵式表示;十位,千位,十万位用横式表示,用算筹表示应为:纵5横6纵8横4纵6,从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的.故选:.【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理,属于基础题.3、D【解析】
求出命题不等式的解为,是的必要不充分条件,得是的子集,建立不等式求解.【详解】解:命题,即:,是的必要不充分条件,,,解得.实数的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参数范围,其思路方法:(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解.(2)求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验.4、D【解析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C,当时,可分析函数值为正,即可判断选项.【详解】,,即函数为偶函数,故排除选项A,C,当正数越来越小,趋近于0时,,所以函数,故排除选项B,故选:D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,识别函数的图象,属于中档题.5、D【解析】试题分析:由于在等比数列中,由可得:,又因为,所以有:是方程的二实根,又,,所以,故解得:,从而公比;那么,故选D.考点:等比数列.6、B【解析】由且可得,故选B.7、A【解析】
先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,得到,再利用复数的除法求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,且复数,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义,属于基础题.8、D【解析】
根据题意,分析不等式组的几何意义,可得其表示的平面区域,设,分析的几何意义,可得的最小值,据此分析选项即可得答案.【详解】解:根据题意,不等式组其表示的平面区域如图所示,其中,,
设,则,的几何意义为直线在轴上的截距的2倍,
由图可得:当过点时,直线在轴上的截距最大,即,当过点原点时,直线在轴上的截距最小,即,故AB错误;
设,则的几何意义为点与点连线的斜率,由图可得最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确;故选:D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用,关键是对目标函数几何意义的认识,属于基础题.9、A【解析】
根据图象可知,函数为奇函数,以及函数在上单调递增,且有一个零点,即可对选项逐个验证即可得出.【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断,可知,为偶函数,不符合题意,排除B;其次,在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断,在上无零点,不符合题意,排除D;然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断,在上单调递减,不符合题意,排除C.故选:A.【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断,意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力,属于容易题.10、D【解析】
设等比数列的公比为q,,运用等比数列的性质和通项公式,以及等差数列的中项性质,解方程可得公比q.【详解】由题意,正项等比数列中,,可得,即,与的等差中项为4,即,设公比为q,则,则负的舍去,故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用,其中解答中熟记等比数列通项公式,合理利用等比数列的性质是解答的关键,着重考查了方程思想和运算能力,属于基础题.11、B【解析】
由为定值,可得,则是以3为周期的数列,求出,即求.【详解】对任意的,均有为定值,,故,是以3为周期的数列,故,.故选:.【点睛】本题考查周期数列求和,属于中档题.12、C【解析】分析:从两个方向去判断,先看能推出三角形的形状是锐角三角形,而非钝角三角形,从而得到充分性不成立,再看当三角形是钝角三角形时,也推不出成立,从而必要性也不满足,从而选出正确的结果.详解:由题意可得,在中,因为,所以,因为,所以,,结合三角形内角的条件,故A,B同为锐角,因为,所以,即,所以,因此,所以是锐角三角形,不是钝角三角形,所以充分性不满足,反之,若是钝角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件,故选D.点睛:该题考查的是有关充分必要条件的判断问题,在解题的过程中,需要用到不等式的等价转化,余弦的和角公式,诱导公式等,需要明确对应此类问题的解题步骤,以及三角形形状对应的特征.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、或1【解析】
利用导数的几何意义,可得切线的斜率,以及切线方程,求得切线与轴和的交点,由三角形的面积公式可得所求值.【详解】的导数为,可得切线的斜率为3,切线方程为,可得,可得切线与轴的交点为,,切线与的交点为,可得,解得或。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程,以及直线方程的运用,三角形的面积求法。14、【解析】
解法一:曲线上任取一点,利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值;解法二:曲线函数解析式为,由求出切点坐标,再计算出切点到直线的距离即可所求答案.【详解】解法一(基本不等式):在曲线上任取一点,该点到直线的距离为,当且仅当时,即当时,等号成立,因此,曲线上任意一点到直线距离的最小值为;解法二(导数法):曲线的函数解析式为,则,设过曲线上任意一点的切线与直线平行,则,解得,当时,到直线的距离;当时,到直线的距离.所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算,可转化为利用切线与直线平行来找出切点,转化为切点到直线的距离,也可以设曲线上的动点坐标,利用基本不等式法或函数的最值进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.15、【解析】
先求函的定义域,再对函数进行求导,再解不等式得单调区间,进而求得极值点,即可求出函数的极大值.【详解】函数,,,令得,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减,当时,函数取到极大值,极大值为.故答案为:.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查运算求解能力,求解时注意定义域优先法则的应用.16、5【解析】
执行循环结构流程图,即得结果.【详解】执行循环结构流程图得,结束循环,输出.【点睛】本题考查循环结构流程图,考查基本分析与运算能力,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析【解析】
运用数学归纳法证明即可得到结果化简,运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】(Ⅰ)数学归纳法证明时,①当时,成立;②当时,假设成立,则时所以时,成立综上①②可知,时,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【点睛】本题考查了数列的综合,运用数学归纳法证明不等式的成立,结合已知条件进行化简求出化简后的结果,利用放缩法求出不等式,然后两边同时取对数再进行证明,本题较为困难。18、(1)12(2)【解析】
(1)根据焦距得焦点坐标,结合椭圆上的点的坐标,根据定义;(2)求出椭圆的标准方程,设,联立直线和椭圆,结合韦达定理表示出面积,即可求解最大值.【详解】(1)设椭园的焦距为,则,故.则椭圆过点,由椭圆定义知:,故,因此,的周长;(2)由(1)知:,椭圆方程为:设,则,,,,,当且仅当在短轴顶点处取等,故面积的最大值为.【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程,根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值,涉及韦达定理的使用,综合性强,计算量大.19、(Ⅰ)(t为参数);(Ⅱ)或或.【解析】
试题分析:本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,用,化简表达式,得到曲线的极坐标方程,由已知点和倾斜角得到直线的参数方程;第二问,直线方程与曲线方程联立,消参,解出的值.试题解析:(1)即,.(2),符合题意考点:本题主要考查:1.极坐标方程,参数方程与直角方程的相互转化;2.直线与抛物线的位置关系.20、(1)(2)【解析】
(1)当时,不等式可化为:,再利用绝对值的意义,分,,讨论求解.(2)根据可得,得到函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为,再利用三角形面积公式由求解.【详解】(1)当时,不等式可化为:①当时,不等式化为,解得:②当时,不等式化为,解得:,③当时,不等式化为解集为,综上,不等式的解集为.(2)由题得,所以函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为,的面积为,由,得(舍),或,所以,参数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值函数的应用,还考查分类讨论的思想和运算求解的能力,属于中档题.21、(1)2;(2);(3)证明见解析【解析】
(1)先求出函数的定义域和导数,由已知函数在处取得极值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定义域为,分,和三种情况讨论,分别求得函数的最小值,即可
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