四点共圆(一)复习课程

1、第二十四讲四点共圆（一）【知识要点】四点共圆的判定方法：1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。2、 若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点 共圆。5、若AB、CD两线段相交于P点，且PA PB PC PD，则A、B、C、D四点共圆。6、若AB、CD两线段延长后相交于 P点，且PA PB PC PD，贝U A、B、C、D四点共圆。7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线

2、的乘积，则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角 ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中能组成四 点共圆的组数是（）A、4组B、5组C 、6组D、7组BC例2、如图，A、B、C、D四点在同一圆上， AD的延长线与BC的延长线交于 E点，且EC ED 。（1）证明：CD / AB ；（2） 延长CD到F，延长DC到G，使得EF EG，证明：A、B、G、F四点共圆例3、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，点E , F分别在边AB , CD上，设ED与AF相交于点G，若B , C , F , E四点共圆，求证： AG GF DG GE .例4、已知点A(2,

3、0) , B(3,5)，直线|过点B与y轴交于点C(0 , c)，若0、A、B、C四点共圆，贝U c的值为()22285、17D、无法求出例5、在圆内接等腰三角形ABC的底边 BC上任取二点 D、E,延长 AD、AE分别交圆于 F、G ,求证：AD AF AE AG.例6、如图，D , E分别是AB , AC边上的点，且不与顶点重合，已知 AE m , AC n , AD , AB为方程x214x mn 0的两根.（1）证明：C，B，D，E四点共圆；（2）若 A 90，m 4，n 6，求C，B，D，E四点所在圆的半径.例7、如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为 E，弦BM与

4、CD交于点F （1）证明：A、E、F、M 四点共圆；（2）证明：AC2 BF BM AB2 .例8、如图，在平行四边形 ABCD中,BAD为钝角，且 AE BC , AFCD .（1）求证：A、E、C、F四点共圆;（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N 求证:BM ND.例10、A、B、C三点共线，O点在直线外，O, O2, 03分别为 0AB , OBC , OCA的外心求证: 0 , Oi, 02 , O3四点共圆.例11、如图，在 ABC中，AD , BE分别是 A , B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C , D , O , E四点共圆，DE 3,贝U ODE的内切圆半径为多少？

5、例12、如图，点F是 ABC外接圆弧 BC的中点，点D、E在边AC上，使得ADAB , BE EC。证明:B、 E、D、F四点共圆.例 13、如图，AH AC，EB BC，AE AK，BH BM (1) 求证：E、H、M、K四点共圆；(2) 若KE EH , CE 3求线段KM的长.CE ,又点0是ADF的例14、在 ABC的边AB , BC , CA上分别取D , E , F 使得DE BE , FE 外心.(1) 证明：D , E , F , O四点共圆；(2) 证明：0在 DEF的平分线上.0DF例15、如图，CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线 CD于点D , E、F分别为弦A

6、B与弦AC上的点，且BC AEDC AF，B、E、F、C 四点共圆.（1）证明:CA是 ABC外接圆的直径;（2）若 DB BEEA，求过 B、E、F、C的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.例16、如图，锐角 点.（1）求证：A ,F，点E为内切圆D与边AC的切 的度数.ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为D , F , E四点共圆；（2）若 C 50，求 DEF例17、如图，在正11ABC 中，点 D , E 分别在边 BC、AC 上，且 BD BC , CE CA, AD , BE 相 33交于点P，求证：（1） P , D , C , E四点共圆；（2） AP CP .EP【

7、强化训练】1、如图，AB是O O的直径，弦BD , CA的延长线相交于点 E , EF垂直BA的延长线于点F 求证：（1）BE DE AC CE CE2 ；（ 2）E，F，C，B 四点共圆.2、如图，已知 AP是O O的切线，P为切点，AC是O O的割线，与O O交于B , C两点，圆心O在 PAC 的内部，点M是BC的中点.（1）证明A , P , O , M四点共圆；（2）求 OAM APM的大小.3、如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线， 切点分别为B、C , F , AC的延长线交BE于E . AD DC , D为垂足.（1）求证：A、D、F、B四点共圆;DC的延长

8、线交（2）求证：EFBE于FB .F4、如图，已知 ABC中的两条角平分线 AD和CE相交于H , B 60 , F在AC上,且 AE AF(1)证明：B，D，H，E四点共圆；(2)证明：CE平分 DEF 5、如图，已知BA是O O的直径，AD是O O的切线，割线 BD、BF分别交O O于C、E ,连接AE、CE 求证：BE BF BC BD D6、如图，OO与O P相父于A、B两点，圆心P在O O上，OO的弦BC切OP于点B , CP及其延长线交O P 于 D ,E两点，过点E作EF CE，交CB的延长线于点F ( 1)求证：B、P、E、F四点共圆；(2)若CD 2, CB 2 2，求出由四

9、点B、P、E、F所确定圆的直径.7、如图所示，已知 PA切圆0于A，割线PBC交圆0于B、C , PD 于点E，连接CE并延长交圆0于点F，连接AF .AB于D，PD与A0的延长线相交-时，求圆0的半径.3(1)求证：B , C , E , D 四点共圆；(2)当 AB 12 , tan EAF8、如图， ABC是直角三角形，ABC 90 以AB为直径的圆 0交AC于点E点D是BC边的中点，连0D交圆0于点M (1)求证：0 , B , D , E四点共圆；(2)求证：2DE2 DM AC DM AB.9、如图所示，在RtABC中， ACB 90，点0为三角形外的一点， 以0为圆心，0C为半径

10、的圆与边 AB相 切，切点为E,圆0与边BC相交于D点，直径EF与边BC交于G点，连接AG 求证：AG/ED .10、如图，在 AGF中， AGF是直角，B是线段AG上一点，以AB为直径的半圆交 AF于D，连接DG交 半圆于点C ,延长AC交FG于E (1)求证D、C、E、F四点共圆；(2)若 GE 3 ，求 2GA的值.GB 2GF11、如图所示，AB是O O的直径，G为AB延长线上的一点， GCD是O O的割线，过点G作AB的垂线, 交AC的延长线于点 E，交AD的延长线于点F，过G作O O的切线，切点为 H 求证：(1) C , D , F , E 四点共圆；(2) GH 2 GE GF AAPOBFECDADCPOEBAFEBCDDE212、如图，已知PA与O O相切于点A , PBC为O O的割线，弦CD/AP , AD与BC相交于点E , F为CE. 214、如图， AD、BE