向量法求空间距离和角

1、用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的 三步曲”解 法：“作图、证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点.向 量进入高中教材，为立体几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用 向量方法简捷地解决这些问题.1求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角.(1)求异面直线所成的角设a、b分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角:-二arccos|方向向量，n是平面:的法面所成的角(3)求二面角:=arcsi n| |l| n|、在内a 丨，在内b 丨，其方向如图，则二面角 -1的平面角

2、:二arccos-归|a|b|法二、设1 mm，是二面角a | 一 P的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角Im |压|2求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求.(1)求点面距离到-的距离d =| AB法一、设n是平面:.的法向量，在内取一点B,则AABni法二、设A0 _ ：于O,利用AO _ :和点0在内i3的向量表示，可确定点0的位置，从而求出|A0|.(2)求异面直线的距离法一、找平面使b 且，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面一：的距离，又转化为点A到

3、 平面1的距离.法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设a、b分别 为异面直线a、b的方向向量，求n ( n丄a, n丄b),则 异面直线a、b的距离d =| AB|cos |= 11 (此方法移植|n|于点面距离的求法).则:等于向量DE与FCi的夹角或其补角, , DElFCI. |(II )如图DD,1 IDElU FCi |i+建B空间坐标系D_xyz，| DE j FC1二(1,0,2)，DB 二(2,2,0)设面EFBD的法|= 2. a向5由例1 .如图，在棱长为2的正方体 ABCDABCP中， 分别是棱ADABi的中点.(I) 求异面直线DE与FG所成的角；(II) 求BG和面

4、EFBD所成的角；(III )求Bi到面EFBD的距离解：(I)记异面直线DE与FCi所成的角为:-,得 n =(-2,2,1)又 BG =(-2,0,2)记BCi和面EFBD所成的角为二BCi和面EFBD所成的角为二.4(III )点Bi到面EFBD的距离d等于向量BB在面EFBD的法向量上的投影的绝对值,d设计说明：1.作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解.2 .解决（1）后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）.3 .完成这3道

5、小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求 角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决, 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧.例2.如图，三棱柱中，已知 A BCD是边长为1的正方形，四边形AA B B 是矩形，平面AA B B _平面ABCD。（I）若AAH =1，求直线AB到面DAC的距离.（II）试问：当AA的长度为多少时，二面角D - AC - A的大小为60 ?解：（I）如图建立空间坐标系 A xyz ,则da' -（-i,ia） dc =（o,i,o）设面DAC的法向量为厲=(x, y,1)贝S DA * 0qC n = o得 n

6、i(a,0,1)直线AB到面daC的距离d就等于点A到面daC的距离, 也等于向量ad在面daC的法向量上的投影的绝对值，d二园Awmi 2（II ）易得面AAC的法向量i i八2二,0）.向量n1,n2的夹角为60：由CE，宀狀T打2；、2冷得2当AA = 1时，二面角D-AC-A的大小为60；.设计说明：1 .通过（I），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法.2 .通过（II ）,复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况.例3 .正三棱柱ABC - ABQ的所有棱长均为2,P是侧棱

7、 AA上任意一点.（I）求证： 直线BiP不可能与平面ACGA垂直；（II ）当BG_BiP时，求二面角C-B.P-G的大小.证明：（I）如图建立空间坐标系O-xyz，设AP =a则 A,C,B,P 的坐标分别为(0,-1,0),(0,1,0),( 3,0,2)(0, -1,a) .AC =(0,2,0), RP (-.3,-1,a-2)AC UP =-2 0 , B1P 不垂直 AC-直线Bf不可能与平面ACGA垂直.(II)BC1 =(-3,1,2)，由 BG_BP，得 BCiLB1 =0即 2 2(a -2) =0. a =1又 BG 一 B1CBG 一 面CB1P二BG =（73,1,

8、2）是面CBf 的法向量. *设面GRP的法向量为n =（1,y,z），由 竺j B1C1 n = 0得n = （1, ：3, 一2、3），设二面角C 一 Bf 一 G的大小为:则cos 蠢 6|BG| n| 4.二面角C -BiP -G的大小为arccos± .4设计说明：1 .前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题x、z轴需要自己添加（也可不这样建立）.2 .第（1）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行.通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式：0_1 a|b|cos ） 解决空间角和距离的作用，当然，以上

9、所举例子，用传统方法去做，也是可行的， 甚至有的（例2）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问 题带来的高度的技巧性和随机性.向量法可操作性强运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工 具.充分体现出新教材新思想、新方法的优越性.这是继解析几何后用又一次用代 数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现.练习：1 .在正四面体S-ABC中，棱长为a , E,F分别为SA和BC的中点，求异面 直线BE和SF所成的角.（arccos-）32.在边长为1的菱形ABCD中，ABC =60 ,将菱形沿对角线AC折起，使 折 起后BD",求二面角B-AC-D的余弦值.(1)3 .在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，PD _底PD二AD二a,问平面PBA与平面PBC能否垂直？试说明理由.(不垂直)4 .在直三棱柱 ABC-ABQ 中，.A=90 , OQ,GP面，且Di分别为 BC,BQi，AA 的中点，且 AB=AC=AA,=2 .(1) 求Oi到面ACBi的距离；(子)(