变化率与导数导数的运算

1、【2013年高考会这样考】1 利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.2 考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导.【复习指导】本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.01KCJIZIHUDAQXUE -$ 考基自主导学基础梳理1 .函数y= f(x)从xi到X2的平均变化率 函数y = f(x)从X1到X2的平均变化率为 匸.X2 X1若Ax= X2- X!,勾=f(X2)f(Xi),则平均变化率可表示为号.2. 函数y= f(x)在x= xo处的导数(1) 定义称函数y= f(x)在x = x0处的瞬时变化率li

2、 Ax”0 fy=li Axn> 0 fXo+?为函数y = f(x)在x=Xo处的导数，记作f'(x°)或y'|x= xo,即LA,Ayf (X0)= li Axn» 0 ax.(2) 几何意义函数f(x)在点X0处的导数f' (X0)的几何意义是在曲线y= f(x)上点(X0, f(X0)处切线的斜率.相应地，切线方程为y f(x0) = f' (x0)(x X0).3. 函数f(x)的导函数称函数f' (x)= li Am>0 f X + %- f X为f(x)的导函数，导函数有时也记作y'.4. 基本初等函

3、数的导数公式原函数导函数若 f(x) = c则 f' (x) = 0若 f(x) = xn则f' (x) = nxn 1, n为自然数若 f(x)= xx>0,严 0)则f' (x) = 口厂1, 为有理数若 f(x) = sin x则 f' (x)= cos X若 f(x) = cos X贝U f' (x)= sin x若 f(x) = ax(a>0，且1)贝U f' (x) = axln a若 f(x)= ex则 f' (x) = ex若 f(x) = log ax(a>0，且 a 丰 1)则 f' (x)=

4、 xln a若 f(x)= In x1则 f' (x)=-x5导数四则运算法则f(X)±(x)'= f'(X)±' (x)；(2)f(x) g(x)' = f' (x)g(x) + f(x)g' (x);=f- xgx孕卷丄xgx(g(x)丰 0).6.复合函数的求导法则yx'= yu' u3复合函数y= f(g(x)的导数和函数y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为助蓉 < 博一个区别曲线y = f(x) “在”点P(xo, yo)处的切线与“过”点P(xo, yo)的切线的区别:

5、曲线y= f(x)在点P(xo, yo)处的切线是指 P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f' (xo)，是唯一的一条切线；曲线 y= f(x)过点P(xo, yo)的切线，是指切线经过 P点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.两种法则导数的四则运算法则.(2)复合函数的求导法则. 三个防范1 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2 要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别.3正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏. 双基自测1.下列求导过程中1 '吉(x)'1=亦;(logax

6、)'=Inx ' ln aB.2_22D._221xxxln axln ax,xln a :(a )= (eln a )= (e )= e In a = a In a其中正确的个数是().A. 1B. 2C. 3D . 4答案 D2. (人教B版教材习题改编)函数f(x)= (x+ 2a)(x a)222A . 2(x a )B . 2(x + a )2222C. 3(x a)D. 3(x + a )解析f ' (x) = (x a) + (x+ 2a)2(x a) = 3(x a ).答案 C3. (2011湖南)曲线y= 1在点M 'n 0处的切线的斜率为(

7、).sin x+ cos x 24的导数为().解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力.y'=cos x sin x+ cos x sin x cos x sin x1n121，把x=4代入得导数值为1.(s in x+ cos x j1 + sin 2x42答案B4. (2011 江西)若 f(x) = x2 2x 4ln x,则 f' (x)>0 的解集为().A. (0,+ )C. (2,+s )B. ( 1,0) U (2,+s )D. ( 1,0)42fx 2fx + 1 解析 令f' (x) = 2x 2 =>0,利用数轴标

8、根法可解得一1 v xv 0或xxx>2，又x>0，所以x> 2故选C.答案 Cy4T!J/Jz11/02 3£5 fi *5. 如图，函数f(x)的图象是折线段 ABC,其中A, B, C的坐标分别为(0,4), (2,0), (6,4), 则f(f(0) =; li Axn>0土壬匚吐=(用数字作答).答案 2 202KAOXIANGTANJIUDAOXU - - V 考向探究导桁考向一导数的定义【例1】？利用导数的定义求函数f(x)= x3在x= x0处的导数，并求曲线f(x)= x3在x = x0处切线与曲线f(x)= x3的交点.审题视点正确理解导数

9、的定义是求解的关键.f'(x0) = X呱f(X 一 f(X0)=x X0limx X0=X!lmX0 (x2 + XX0+ Xo)= 3X0.曲线f(x) = X3在X= X0处的切线方程为(3y = x ,23y = 3X0X 2x0,y x0= 3xo (x X0), 即 y = 3x°x 2x3，由得(x X0)2(x+ 2X0)= 0,解得 x= X0, X= 2X0.若 0，则交点坐标为(X0, x0), ( 2x0, 8x0)； 若X0= 0，则交点坐标为(0,0).冬：A "：；?|I： ”利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量(2)求平均变

10、化率Ay.Ax；Ay(3) 求极限 li Ax 0 A【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.证明 法一设y= f(x)是奇函数，即对定义域内的任意 x都有f( x) = f(x)f' (x) = li Ax 0f x+ Ax f xAx则 f' (- X)= li 碍 0f- X+Ax f 一 X=li 碍0f2S今严=f'(X)因此f' (x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数. 法二 设y= f(x)是奇函数，即对定义域内的任意 x都有 f( x) = - f(x),即 f(x)=- f(- x)因此 f' (

11、x)= - f( - x) '=-f( - x)'= f' (-x)则f' (x)为偶函数同理可证偶函数的导数是奇函数.考向二导数的运算【例2】？求下列各函数的导数:(i)y=x+ X5 丁 Sin Xx(2) y= (x+ 1)(x + 2)(x+ 3);(3) y= sin1 - 2cos2：；1 1戸 1- *x+ 1+ ,x；审题视点先把式子化为最简式再进行求导.x1+ x5 + sin x(1) - y=x-2 '+ (x3)'-2+ (x sin x)35 c 2 c -3-2=-x-2 + 3x 2x sin x + x cos x

12、.法 一y = (x?+ 3x+ 2)(x + 3) = x + 6x? + 11 x+ 6, y'= 3x2 + 12x+ 11.法二 y'= (x+ 1)(x+ 2) ' (x+ 3) + (x+ 1)(x+ 2)(x + 3)=(x + 1)' (x+ 2) + (x+ 1)(x+ 2)' (x+ 3) + (x + 1) (x+ 2) =(x+ 2+ x+ 1)(x+ 3)+ (x+ 1)(x+ 2)=(2x+ 3)(x+ 3) + (x+ 1)(x+ 2) =3x2 + 12x+ 11.x( x1(3) y= sin? cos2 =- qS&q

13、uot; x, ， f 1 )1,1y = sin x =- (sin x) =- ?cos x.=1 + 1 = 1 + G+ 1 -長=2 ()y= 1-& 1+yx (1-G【1+vx)1-x，(2)y'2 2sin x cos x.2sin x1.2 . sin x(3) y,= exln x+ ex 1= ex£+ In x .2232(4) / y= (x+ 1) (x 1)= (x+ 1)(x 1) = x + x x 1, y'= 3x2 + 2x 1.考向三求复合函数的导数【例3】？求下列复合函数的导数.(1)y= (2x 3)5; (2)y

14、= 3 x；2(3)y= sin(4)y= In (2x+ 5).审题视点正确分解函数的复合层次，逐层求导.解 (1)设 u= 2x 3,则 y= (2x 3)=e (2cos 2x sin 2x).,由y = u5与u = 2x 3复合而成， yz= fz (u) uz (x) = (u5)' (2x- 3) '= 5ux 2 =10u4= 10(2x 3)4.设 u = 3 x,贝U y=；3 x.1由y = u与u = 3 x复合而成.1 1 1 y，= f' (u) u (x) = (u?)' (3 x) '= ?u 2( 1)_ 11_13-x

15、=屮2= 3 x= 2x 6.2n(3) 设 y= uy'= (2sin 2x)(cos 2x)x 2= 2sin 4xx x y'= ( e )sin 2x+ e (cos 2x)x 2, u = sin v, v = 2x+3,Vx = 2u cos v -n_r 3.厂设 y厂 ln u, u厂 2x + 5,贝U yx'= yu, 1 , 2 y厂 k（2x+5）厂由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构,Uv=4sin 2x+ 3 cos 2x+则 yx'= yu2sin 4x+ 牛ux解这类问题(1)y'12 ,x2+ 1(4)

16、y'_11_寸 1 + x2 21 + x22x=1 + x2.的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把 复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.【训练3】求下列函数的导数:(1) y= .x2+ 1;(2)y= si n22x;(3) y= e xsin 2x;(4) y= In < 1 + x2.x2x= -2,x2+ 1KAQTIZHUANXIAHGTUPO - -a-净考题专项突破规范解答6如何求曲线上某一点的切线方程【问题研究】利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.而导致错误

17、.【解决方案】这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切线解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.1 一 a【示例】？(本题满分12分)(2010山东)已知函数f(x)= In x ax+ 1(a R). X(1)当a = 1时，求曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；1当a< 时，讨论f(x)的单调性.兀d汕"(1)求出在点(2, f(2)处的斜率及f(2)，由点斜式写出切线方程;(2)求f' (x),再对a分类讨论.2 解答示范(1)

18、当 a = 1 时，f(x) = In x+ x+ x 1,x2+ x 2x (0 ,+s )所以 f (x)=x7，x (0 ,+s ), (1 分)因此f' (2) = 1，即曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线斜率为1. 又 f(2) = In 2 + 2,所以曲线y= f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y (In 2 + 2)= x 2，即 x y+ In 2= 0.(3 分)21 a 4十./,、1a 1 ax 一 x+ 1 一 a(2)因为 f(x)= In x ax+1,所以 f (x) = x a+= x2，x (0 ,+ m ). (4 分) 令 g

19、(x) = ax2 x+ 1 a, x (0 , + ). 当 a= 0 时，g(x)= x+ 1, x (0 , + ),所以当 x (0,1)时，g(x)>0 ,此时f' (x)< 0,函数f(x)单调递减；当x (1, +s )时,g(x)< 0,此时f' (x) >0,函数f(x)单调递增；(6分) 当0时，由f' (x)= 0 ,即 ax2 x+ 1 a= 0,解得 x1 = 1, x2 =1 一 1.a1a. 当a= 2时，X1 = X2 , g(x)> 0恒成立，此时f' (x)< 0,函数f(x)在(0 , + )上单调递减；(7分)11b. 当 0< a<了时，-1> 1>0.2ax (0,1)时，g(x) > 0,此时 f' (x)< 0,函数 f(x)单调递减；x 1 , 1 时，g(x)< 0，此时 f'