高中数学解题思想方法技巧全集27方程开门欲擒故纵

1、数学破题36计第27计 方程开门 欲擒故纵计名释义数学，顾名思义，是关于数的科学.于是，数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容函数、方程和不等式都是关于数的内容.方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题，函数研究的是“从数到象”，而方程相反，研究的是“从象到数（原象）”.方程解题步骤：（1）设x. 对数（原象x）先作假设；（2）放x. 把这个“假”x放到函数（笼子）中去.(3)关x. 按函数解析式的运算，列出一个等式方程（笼子关闭）.(4)擒x，解这个方程，把x抓出来.典例示范【例1】 求二项式展开式中的常数项.【分析】 这是数学运算中的“求值”问题，解决问题的

2、工具是函数和方程式，为了设方程，先得找函数.【解答】 由二项展开式的通项公式Tr+1=C【插语】 在n为常数的条件下，这是一个关于r的函数式T（r)=f(r)【续解】 由此得Tr+1=Cr=（-1）rCx欲Tr+1为常数，只须=0.【插语】 按“函数值”满足的条件，转入方程.【续解】 解方程，得r=4.故所求的常数项为T5=(-1)4C=210.【点评】 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程；“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”.【例2】 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.【解答】 令x=sin20°

3、;cos70°+sin10°sin50°，构造与之对应的对偶式y=cos20°sin70°+cos10°cos50°,则x+y=（sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)=sin90°+cos40°=1+cos40° x-y=（sin20°cos70°-cos20°sin70°）+(sin10°sin

4、50°-cos10°cos50°)=sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°- +得x=，故sin20°cos70°+sin10°sin50°=.【点评】 构造方程组，利用对偶方程组解决问题，是充分借助方程思想解题的方法之一.【例3】 已知双曲线C：（1-a2)x2+a2y2=a2(a>1)，设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y=-x相交于P点，一条以A为焦点，M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点P. 设PM的斜率为k，且k，求实数a

5、的取值范围.【解答】 由双曲线方程知A(0,1),则抛物线方程为 x2=-4(m-1)(y-m),由双曲线与直线相交解得点P的坐标为(-a,a)，又因为点P在抛物线上,a2=-4(m-1)(a-m) 而MP的斜率为k=，故m=ak+a.将m=ak+a代入得a2=-4(ak+a-1) (-ak),即4ak2+4(a-1)k-a=0 根据题意,方程在区间，上有实根.令f (k)=4ak2+4(a-1)k-a，则其对称轴方程为 k=<0a4. 实数a的取值范围为,4.【点评】 根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解.【例4】 （）已知数列cn，其中cn=2n+3

6、n，且数列cn+1-pcn为等比数列，求常数p的值；（）设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cn=an+bn，求证：数列cn不是等比数列.【解答】 （）由题意知c2-pc1，c3-pc2，c4-pc3成等比数列，(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3)，展开整理得 (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0.将c1=5，c2=13，c3=35，c4=97代入上式得p2=-5p+6=0，解得p=2或p=3.而当p=2时,=3; 当p=3时，=2.均适合.故满足条件的p的值为2或3.（）假设数列cn是等比数列，则c22=c1c3，即(a2+b2)2=(

7、a1+b1)(a3+b3)，故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2)，其中q，r分别是an，bn的公比.化简整理，得a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0，即(q-r)2=0，解得q=r.这与题设中两数列公比不相等矛盾，因此数列cn不是等比数列.【点评】 这里选取等比数列的前三项，根据等比中项的意义列方程求出p的值，再验证一般情况.第()问的反证法中，也是通过构建方程获证.对应训练1.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a1+a3+a5= .2.已知椭圆=1(a>b>0)，A,B的椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴

8、交于点P(x0,0)，求证：.3.设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列的前n项和，求Tn.参考答案1.分析 本式为二项式展开式中的偶数项系数和，而不是偶数项二项式系数和，不能直接用二项式系数性质求解，但可用赋值法构造方程求解.解：由于f (x)=(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5令x=1得：f (1)=(2-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 令x=-1得f (-1)=2-(-1)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35 两式相加再除以2得：a1+a3+a5=-121.2.证明 若AB的中点为M,AB的垂直平分线为l：y=k(x-x0) 由于l与x轴相交,因此k0，故kAB=.又kOM·（）=，故kOM =,OM所在直线方程为y=x,代入得x=k(x-x0).因此所证的结论变为方程的解在椭圆内的取值范围问题.故由上述方程解得x=x0. (x为点M的横坐标)但点M在椭圆=1内部，即-a<x0<a,解得-<x0<.点评 用方程思想解决某些范围问题特别简单,容易找出问题的突破口.3.设等差数列an的前n项和Sn=an2