高中理科数学第一轮复习第1课时直线的方程

1、直线的方程一、【知识精讲】（1）倾斜角：在平面直角坐标系中，把x轴绕直线L与x轴的交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角。当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。故倾斜角的范围是0，）。（2）斜率：不是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即k=tan。（3）过两点P(x1,y1),P(x2,y2),(x1x2)的直线的斜率公式 k=tan=（4）直线方程的几种形式：直线名称方程形式常数意义适用范围备注点斜式y-y0=k(x-x0)k斜率,(x0,y0)直线上定点k存在k不存在时 x= x0斜截式y=kx+bk斜率,b为y轴上截距k存在k不存在时 x= x0两点式(x1

2、,y1), (x2,y2)是线上两定点且(x1x2 ,y1,y2),不垂直x,y轴x1=x2时x=x1y1=,y2时y=,y1截距式,b 分别为x,y轴上截距不垂直x,y轴和过原点=b=0时y=kx一般式Ax+By+C=0A,B不同时为0任意直线A,B,C为0时,直线的特点注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。2、重难点（1） 由直线方程找出斜率与倾斜角；（2） 确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉，如：k-1,1,则（3） 灵活地设直线方程各形式，求解直线方程； 直线方程的五种形式之间的熟练转化。二、【例题选讲】例1、直线的倾斜角的取值范围是_。解:直线地斜率,练习: 直线ax+y

3、+1=0与连接A(2,3)、B(3,2)的线段相交,则a的取值范围是( ) A.1,2 B.2,+（,1） C. 2,1 D. 1,+（,2） 解：直线ax+y+1=0过定点C(0,1),当直线处在AC与BC之间时,必与线段AB相交,应满足或即或.选D。【思维点拨】斜率与倾斜角的范围之间不能想当然,要根据具体情况而定y例2 (优化设计P102例1) ABC的三个顶点A(3,-4),B(0,3),C(6,0).求它的三条边所在的直线方程。B(0,3)A(3,-4)xC(-6,0)O 解：由已知得直线BC在x轴、y轴上的截距分别为-6、3，利用截距式，直线BC的方程为，化为一般式为, AB在y轴上

4、的截距为3， 由斜截式得直线AB的方程为，化为一般式为，由点斜式得AC的方程为，化为一般式为【评注】本题考查了求直线方程的基本方法，合理选取直线方程的形式有利于提高解题的速度.例3 (优化设计P103例2) 已知两直线的交点为P（2，3），求过两点、（的直线方程。解法一：P（2，3）在已知直线上， 即 所求直线方程为 即【深化拓展】由“两点确定一条直线”，你有新的解法吗？解法二：P（2，3）在已知直线上， 直线过点、（，两点只能确定一条直线，所求直线方程为例4 (优化设计P103例3)一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1） 倾斜角是直线的倾斜角的两倍；（2） 与x

5、、y轴的正半轴交于A、B两点，且AOB的面积最小（O为坐标原点）解法一：（1）设所求直线倾斜角为，已知直线的倾斜角为，则=2，且tan=,tan=tan2,从而所求直线方程为（3） 设直线方程为，(,), 点P（3，2）代入得 得 从而 等号当且仅当时成立，这时，从而所求直线方程为【评注】此题（2）也可以转化成关于的一元函数后求解。（4） 解法二：设直线方程为，(,), 点P（3，2）代入得 ，解得 （ ，则，等号当且仅当 即时成立，这时，从而所求直线方程为 即【深化拓展】若求及的最小值，又该怎么解？解：显然直线斜率存在。设直线方程为y-2=k(x-3) (k0) 得点A(), B(0,2-3

6、k)，PAPB=,此时即直线为x+y-5=0OA+OB=()+ (2-3k) ,此时即直线为练习: 一条直线被两直线：4x+y+6=0,：3x5y6=0截得的线段的中点恰好为坐标原点,求这条直线的方程.解法一：由题意可设所求直线方程为y=kx,分别与,的方程联立得两交点的横坐标分别为与,令+=0得.从而所求直线方程为x+6y=0.解法二：设所求直线与,的交点分别为A,B.设,AB关于原点对称,又A,B分别在直线,上,4x0+y0+6=0且3x0+5y06=0,两式相加得x0+6y0=0.即点A在直线x+6y=0上,又直线x+6y=0过原点,故所求的直线方程为x+6y=0.【思维点拨】“设点而不求”是简化计算的一种十分重要的方法。例5、某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最大？并求面积的最大值（精确到1m2）解：在线段AB上任取一点P，过P作CD、DE的垂线，则AB的方程为，设p(x,20-),则S=(100-x)80-(20-) (0x30)得 (0x30)配方得：x=5，y=时S取最大值6017平方米三、【课堂小结】（1）由直线方程找出斜率与